Симметричная функция Стэнли
В математике и особенно в алгебраической комбинаторике симметрические функции Стэнли представляют собой семейство симметричных полиномов , введенных Ричардом Стэнли ( 1984 ) в его исследовании симметрической группы перестановок .
Формально симметричная функция Стэнли F w ( x 1 , x 2 , ...), индексируемая перестановкой w , определяется как сумма некоторых фундаментальных квазисимметричных функций . Каждое слагаемое соответствует редуцированному разложению w , то есть способу записи w как произведения минимально возможного числа смежных транспозиций . Они были введены Стэнли в ходе перечисления редуцированных разложений перестановок и, в частности, его доказательства того, что перестановка w 0 = n ( n − 1)...21 (записанная здесь воднострочная запись ) имеет точно
уменьшенные разложения. (Здесь обозначает биномиальный коэффициент n ( n − 1)/2, а ! обозначает факториал .)
Симметричная функция Стэнли F w однородна со степенью , равной числу инверсий w . В отличие от других хороших семейств симметрических функций, симметричные функции Стэнли имеют много линейных зависимостей и поэтому не образуют базиса кольца симметрических функций . Когда симметричная функция Стэнли расширяется по базису функций Шура , все коэффициенты являются неотрицательными целыми числами .
Симметричные функции Стэнли обладают тем свойством, что они являются устойчивым пределом полиномов Шуберта .