Квазисимметричная функция

В алгебре и в частности в алгебраической комбинаторике , A квазисимметрическим функция является любой элемент в кольце квазисимметрических функций , которые в свою очередь подкольцо формальных степенных рядов кольца со счетным числом переменных. Это кольцо обобщает кольцо симметрических функций . Это кольцо может быть реализовано как конкретный предел колец квазисимметричных многочленов от n переменных, когда n стремится к бесконечности. Это кольцо служит универсальной структурой, в которой отношения между квазисимметричными многочленами могут быть выражены способом, не зависящим от числа n переменных (но его элементы не являются ни многочленами, ни функциями).

Определения

Кольцо квазисимметричных функций , обозначается QSym, может быть определен над любым коммутативным кольцом R , такими как целые числа . Квазисимметричные функции - это степенные ряды ограниченной степени от переменных с коэффициентами в R , которые инвариантны относительно сдвига в том смысле, что коэффициент монома равен коэффициенту монома для любой строго возрастающей последовательности натуральных чисел, индексирующих переменные, и любого положительного целочисленная последовательность показателей. ^[1] Большая часть исследований квазисимметричных функций основана на изучении симметричных функций .${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, \ dots}$${\displaystyle x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{k}^{\alpha _{k}}}$${\displaystyle x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}}$${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}$${\displaystyle (\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})}$

Квазисимметричная функция от конечного числа переменных является квазисимметричным многочленом . Оба симметричных и квазисимметрические полиномы могут быть охарактеризованы с точкой зрения действия в симметрических группы на кольце многочленов в переменных . Одно из таких действий переставляет переменные, изменяя полином , итеративно меняя местами пары переменных, имеющих последовательные индексы. Эти многочлены, не измененные всеми такими перестановками, образуют подкольцо симметричных многочленов. Второе действие условно переставляет переменные, изменяя полином , меняя местами пары переменных, кроме${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})}$в одночленах, содержащих обе переменные. Эти многочлены, не измененные всеми такими условными перестановками, образуют подкольцо квазисимметричных многочленов. Одна квазисимметричная функция от четырех переменных - это полином${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}}$

${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}.\,}$

Простейшая симметрическая функция, содержащая эти мономы, - это

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}^{2}x_{2}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{4}+x_{1}^{2}x_{3}x_{4}+x_{2}^{2}x_{3}x_{4}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}x_{4}+x_{1}x_{3}^{2}x_{4}+x_{2}x_{3}^{2}x_{4}\\{}+x_{1}x_{2}x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}x_{4}^{2}+x_{1}x_{3}x_{4}^{2}+x_{2}x_{3}x_{4}^{2}.\,\end{aligned}}}$

Важные основы

QSym является градуированным R - алгебра , разлагающийся , как

${\displaystyle \operatorname {QSym} =\bigoplus _{n\geq 0}\operatorname {QSym} _{n},\,}$

где это - продолжительность всех квазисимметричных функций, однородны степени . Две естественных основами для являются мономиальным базисом и фундаментальная основа индексируется композициями из , обозначаются . Мономиальный базис состоит из всех формальных степенных рядов ${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}}$ ${\displaystyle \{M_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \{F_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{k})}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha \vDash n}$${\displaystyle M_{0}=1}$

${\displaystyle M_{\alpha }=\sum _{i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}}x_{i_{1}}^{\alpha _{1}}x_{i_{2}}^{\alpha _{2}}\cdots x_{i_{k}}^{\alpha _{k}}.\,}$

Фундаментальный базис состоит из всех формальных степенных рядов. ${\displaystyle F_{0}=1}$

${\displaystyle F_{\alpha }=\sum _{\alpha \succeq \beta }M_{\beta },\,}$

где означает, что мы можем получить , сложив вместе смежные части , например, (3,2,4,2)   (3,1,1,1,2,1,2). Таким образом, когда кольцо является кольцом рациональных чисел , мы имеем${\displaystyle \alpha \succeq \beta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \succeq }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \operatorname {QSym} _{n}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{M_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}=\operatorname {span} _{\mathbb {Q} }\{F_{\alpha }\mid \alpha \vDash n\}.\,}$

Тогда можно определить алгебру симметрических функций как подалгебру QSym, натянутую на мономиальные симметрические функции и все формальные степенные ряды, где сумма берется по всем композициям, которые перестраиваются в разбиение . Тем более, что у нас есть . Например, и${\displaystyle \Lambda =\Lambda _{0}\oplus \Lambda _{1}\oplus \cdots }$ ${\displaystyle m_{0}=1}$${\displaystyle m_{\lambda }=\sum M_{\alpha },}$${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Lambda _{n}=\Lambda \cap \operatorname {QSym} _{n}}$${\displaystyle F_{(1,2)}=M_{(1,2)}+M_{(1,1,1)}}$${\displaystyle m_{(2,1)}=M_{(2,1)}+M_{(1,2)}.}$

Другие важные основы для квазисимметричных функций включают основу квазисимметричных функций Шура ^[2] и основы, связанные с перечислением в матроидах. ^{[3] [4]}

Приложения

Квазисимметричные функции применялись в перечислительной комбинаторике, теории симметрических функций, теории представлений и теории чисел. Приложения квазисимметричных функций включают перечисление P-разбиений, ^{[5] [6]} перестановок, ^{[7] [8] [9] [10]} таблиц, ^[11] цепочки множеств, ^{[11] [12]} редуцированные разложения в конечных Группы Кокстера (через симметрические функции Стэнли ), ^[11] и парковочные функции. ^[13] В теории симметричных функций и теории представлений, приложения включают изучение полиномов Шуберта , ^{[14] [15]}Многочлены Макдональда, ^[16] алгебры Гекке, ^[17] и многочлены Каждана – Люстига. ^[18] Часто квазисимметричные функции обеспечивают мощный мост между комбинаторными структурами и симметричными функциями.

Связанные алгебры

Как градуированная алгебра Хопфа, двойственное кольцо квазисимметричных функций является кольцом некоммутативных симметрических функций. Каждая симметрическая функция также является квазисимметричной функцией, и, следовательно, кольцо симметричных функций является подалгеброй кольца квазисимметричных функций.

Кольцо квазисимметричных функций является конечным объектом в категории градуированных алгебр Хопфа с одним характером. ^[19] Следовательно, любая такая алгебра Хопфа имеет морфизм в кольцо квазисимметричных функций.

Одним из примеров этого является алгебра пиков . ^[20]

Другие родственные алгебры

Malvenuto-Reutenauer алгебра ^[21] является алгеброй Хопфа на основе перестановок , что связывает кольца симметричных функций, квазисимметричных функций и некоммутативных симметричных функций , (обозначается Sym, QSym и Nsym соответственно), как показано в следующей коммутативной диаграммы. Упомянутая выше двойственность между QSym и NSym отражена в главной диагонали этой диаграммы.

Многие родственные алгебры Хопфа были построены из моноидов Хопфа в категории видов Агияром и Маджаханом. ^[22]

Можно также построить кольцо квазисимметричных функций от некоммутирующих переменных. ^{[23] [24]}

использованная литература

внешние ссылки

• Семинар BIRS по квазисимметричным функциям