Кольцо симметричных функций

В алгебре и в частности в алгебраической комбинаторике , то кольцо симметрических функций является пределом конкретных колец симметричных многочленов в п неизвестных, а п стремится к бесконечности. Это кольцо служит универсальной структурой, в которой отношения между симметричными многочленами могут быть выражены способом, не зависящим от числа неопределенных n (но его элементы не являются ни многочленами, ни функциями). Помимо прочего, это кольцо играет важную роль в теории представлений симметрической группы .

Кольцу симметрических функций можно придать копроизведение и билинейную форму, превратив его в положительную самосопряженную градуированную алгебру Хопфа, которая одновременно коммутативна и кокоммутативна.

Симметричные полиномы [ править ]

Изучение симметричных функций основано на изучении симметричных многочленов. В кольце многочленов от некоторого конечного набора неопределенных многочлен называется симметричным, если он остается неизменным всякий раз, когда неопределенные переменные каким-либо образом переставляются. Более формально, существует действие с помощью кольцевых автоморфизмов в симметрической группы S _п на кольце многочленов в п неизвестных, где перестановка действует на многочлен, одновременно с заменой каждого из неизвестных для другого в соответствии с используемой перестановки. Эти инварианты для этого действий образуют подкольцо симметричных полиномов. Если неопределенными являются X₁ , ..., X _n , то примерами таких симметричных многочленов являются

${\ Displaystyle X_ {1} + X_ {2} + \ cdots + X_ {n}, \,}$

${\ Displaystyle X_ {1} ^ {3} + X_ {2} ^ {3} + \ cdots + X_ {n} ^ {3}, \,}$

и

${\ Displaystyle X_ {1} X_ {2} \ cdots X_ {n}. \,}$

Несколько более сложный пример: X ₁ ³ X ₂ X ₃ + X ₁ X ₂ ³ X ₃ + X ₁ X ₂ X ₃ ³ + X ₁ ³ X ₂ X ₄ + X ₁ X ₂ ³ X ₄ + X ₁ X ₂ Х ₄ ³+ ... где суммирование включает все произведения третьей степени некоторой переменной и двух других переменных. Существует много конкретных видов симметричных многочленов, таких как элементарные симметричные многочлены , симметричные многочлены с суммой степеней , мономиальные симметричные многочлены , полные однородные симметричные многочлены и многочлены Шура .

Кольцо симметричных функций [ править ]

Большинство отношений между симметричными многочленами не зависят от числа неопределенностей n , за исключением того, что некоторые многочлены в отношении могут требовать, чтобы n было достаточно большим, чтобы их можно было определить. Например , тождество Ньютона для полинома суммы третьей степени p ₃ приводит к

${\ displaystyle p_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) = e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ^ {3} -3e_ {2} ( X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) e_ {1} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) + 3e_ {3} (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ,}$

где обозначают элементарные симметричные многочлены; эта формула действительна для всех натуральных чисел n , и единственная заметная зависимость от нее состоит в том, что e _k ( X ₁ , ..., X _n ) = 0 всякий раз, когда n  <  k . Хотелось бы написать это как личность ${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle p_{3}=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3}}$

который совершенно не зависит от n , и это можно сделать в кольце симметричных функций. В этом кольце есть элементы e _k для всех целых k  ≥ 1, и любой элемент кольца может быть задан полиномиальным выражением от элементов e _k .

Определения [ править ]

Кольцо симметрических функций может быть определенно над любым коммутативным кольцом R , и будет обозначать Л _R ; основной случай для R  =  Z . Кольцо Λ _R является фактически градуированным R - алгебра . Для этого есть две основные конструкции; первый, приведенный ниже, можно найти в (Stanley, 1999), а второй, по существу, приведен в (Macdonald, 1979).

Как кольцо формальных степенных рядов [ править ]

Самая простая (хотя и несколько тяжелая) конструкция начинается с кольца формальных степенных рядов над R от бесконечного (счетного) числа неопределенных; элементы этого кольца степенных рядов представляют собой формальные бесконечные суммы членов, каждое из которых состоит из коэффициента из R, умноженного на моном, где каждый моном является произведением конечного числа конечных степеней неопределенностей. Можно определить Λ _R как его подкольцо, состоящее из тех степенных рядов S, которые удовлетворяют ${\displaystyle R[[X_{1},X_{2},...]]}$

1. S инвариантно относительно любой перестановки неопределенных, и
2. степени мономов, входящих в S , ограничены.

Обратите внимание, что из-за второго условия степенные ряды используются здесь только для того, чтобы позволить бесконечное количество членов фиксированной степени, а не для суммирования членов всех возможных степеней. Это необходимо, потому что элемент, который содержит, например, член X _1, должен также содержать член X _i для каждого i  > 1, чтобы быть симметричным. В отличие от всего кольца степенных рядов, подкольцо Λ _R градуируется общей степенью мономов: в силу условия 2 каждый элемент Λ _R является конечной суммой однородных элементов Λ _R (которые сами по себе являются бесконечными суммами членов равных степень). Для любого k  ≥ 0 элементe _k  ∈ Λ _R определяется как формальная сумма всех произведений k различных неопределенных, которая, очевидно, однородна степени k .

Как алгебраический предел [ править ]

Другая конструкция Λ _R требует немного больше времени для описания, но лучше показывает связь с кольцами R [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} симметричных многочленов от n неопределенностей. Для каждого n существует сюръективный кольцевой гомоморфизм ρ _n из аналогичного кольца R [ X ₁ , ..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} с еще одним неопределенным на R [ X ₁ , ..., X_n ] ^{S _n} , определяемый установкой последнего неопределенного X _{n +1} в 0. Хотя ρ _n имеет нетривиальное ядро, ненулевые элементы этого ядра имеют степень не менее(они кратны X ₁ X ₂ ... Х _{п +1} ). Это означает, что ограничение ρ _n на элементы степени не выше n является биективным линейным отображением и ρ _n ( e _k ( X ₁ , ..., X _{n +1} )) =  e _k ( X${\displaystyle n+1}$₁ , ..., X _n ) для всех k  ≤  n . Обратное к этому ограничению однозначно продолжается до гомоморфизма колец φ _n из R [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} в R [ X ₁ , ..., X _{n +1} ] ^{S _{n +1}} , как следует, например, из основной теоремы о симметричных многочленах . Поскольку образы φ _n ( e _k ( X ₁ , ..., X_n )) =  e _k ( X ₁ , ..., X _{n +1} ) для k  = 1, ..., n по-прежнему алгебраически независимы над  R , гомоморфизм φ _n инъективен и может рассматриваться как (отчасти необычное) включение колец; применение φ _n к многочлену равносильно сложению всех одночленов, содержащих новое неопределенное значение, полученное симметрией от уже имеющихся одночленов. Кольцо Λ _R тогда является «объединением» ( прямым пределом ) всех этих колец, подверженных этим включениям. Поскольку все φ _nсовместимы с градуировкой по полной степени участвующих колец, Λ _R получает структуру градуированного кольца.

Эта конструкция немного отличается от конструкции (Macdonald, 1979). Эта конструкция использует только сюръективные морфизмы ρ _n без упоминания инъективных морфизмов φ _n : она строит однородные компоненты Λ _R отдельно и снабжает их прямую сумму кольцевой структурой, используя ρ _n . Также замечено, что результат можно описать как обратный предел в категории градуированных колец. Однако это описание несколько затемняет важное свойство, типичное для прямогопредел инъективных морфизмов, а именно, что каждый отдельный элемент (симметрическая функция) уже точно представлен в некотором объекте, используемом в конструкции предела, здесь кольцо R [ X ₁ , ..., X _d ] ^{S _d} . Достаточно взять в качестве d степень симметрической функции, так как часть в степени d этого кольца изоморфно отображается в кольца с большим количеством неопределенных посредством φ _n для всех n  ≥  d . Это означает, что для изучения отношений между отдельными элементами нет принципиальной разницы между симметричными многочленами и симметричными функциями.

Определение отдельных симметричных функций [ править ]

Название «симметричная функция» для элементов Λ _R является неправильным : ни в одной конструкции элементы не являются функциями, и на самом деле, в отличие от симметричных многочленов, никакая функция независимых переменных не может быть связана с такими элементами (например, e ₁ будет сумма всех бесконечно многих переменных, которая не определена, если на переменные не наложены ограничения). Однако название традиционное и хорошо известное; его можно найти как в (Macdonald, 1979), где говорится (сноска на стр. 12)

Элементы Λ (в отличие от элементов Λ _n ) больше не являются многочленами: они представляют собой формальные бесконечные суммы одночленов. Поэтому мы вернулись к старой терминологии симметричных функций.

(здесь Λ _n обозначает кольцо симметрических многочленов от n неопределенных), а также в (Stanley, 1999).

Чтобы определить симметричную функцию, нужно либо указать непосредственно степенной ряд, как в первой конструкции, либо дать симметричный многочлен от n неопределенностей для каждого натурального числа n способом, совместимым со второй конструкцией. Выражение в неопределенном количестве неопределенных может делать и то, и другое, например

${\displaystyle e_{2}=\sum _{i<j}X_{i}X_{j}\,}$

может рассматриваться как определение элементарной симметричной функции, если число неопределенных бесконечно, или как определение элементарного симметричного многочлена от любого конечного числа неопределенностей. Симметричные многочлены для одной и той же симметрической функции должны быть совместимы с морфизмами ρ _n (уменьшение числа неопределенностей достигается приравниванием некоторых из них к нулю, так что коэффициенты любого одночлена в оставшихся неопределенных не изменяются), а их степень должна остаются ограниченными. (Примером семейства симметричных многочленов, не удовлетворяющего обоим условиям, является ; семейство не выполняет только второе условие.) Любой симметричный многочлен от n${\displaystyle \Pi _{i=1}^{n}X_{i}}$${\displaystyle \Pi _{i=1}^{n}(X_{i}+1)}$неопределенные можно использовать для построения совместимого семейства симметричных многочленов, используя морфизмы ρ _i для i  <  n, чтобы уменьшить количество неопределенных, и φ _i для i  ≥  n, чтобы увеличить количество неопределенных (что составляет сложение всех одночленов в новые неопределенные, полученные симметрией от уже имеющихся одночленов).

Ниже приведены основные примеры симметричных функций.

• В мономиальных симметрических функциях м _α . Предположим, что α = (α ₁ , α ₂ , ...) - последовательность неотрицательных целых чисел, только конечное число которых ненулевое. Тогда мы можем рассмотреть моном, определенный как α: X ^α = X ₁ ^{α ₁} X ₂ ^{α ₂} X ₃ ^{α ₃} .... Тогда m _α - симметричная функция, определяемая X ^α , т.е. сумма всех мономов, полученных из X ^αпо симметрии. Для формального определения определим β ~ α, чтобы означать, что последовательность β является перестановкой последовательности α, и положим

${\displaystyle m_{\alpha }=\sum \nolimits _{\beta \sim \alpha }X^{\beta }.}$

Эта симметричная функция соответствует мономиальному симметричному многочлену m _α ( X ₁ , ..., X _n ) для любого n, достаточно большого, чтобы иметь моном X ^α . Различные мономиальные симметрические функции параметризуются целочисленными разбиениями (каждый m _α имеет уникальный репрезентативный моном X ^λ с частями λ _i в слабо убывающем порядке). Поскольку любая симметрическая функция, содержащая любой из мономов некоторого m _αдолжен содержать все из них с тем же коэффициентом, каждая симметричная функция может быть записана в виде R -линейной комбинации мономиальных симметричных функций, и , следовательно, различные мономиальные симметрические функции образуют базис Л _R как R - модуль .

• В элементарных симметрических функциях е _К , для любого натурального числа к ; имеем e _k  =  m _α, где . Как степенной ряд, это сумма всех различных произведений k различных неопределенных. Эта симметричная функция соответствует элементарному симметричному многочлену e _k ( X ₁ , ..., X _n ) для любого n  ≥  k .${\displaystyle X^{\alpha }=\Pi _{i=1}^{k}X_{i}}$
• Сумма мощности симметрических функций р _к , для любого положительного целого числа к ; есть p _k  =  m _{( k )} , мономиальная симметрическая функция для монома X ₁ ^k . Эта симметричная функция соответствует степенному симметричному полиному p _k ( X ₁ , ..., X _n ) =  X ₁ ^k + ... + X _n ^k для любого n  ≥ 1.
• Полная однородная симметричные функции ч _к , для любого натурального числа к ; ч _к является суммой всех мономиальных симметричных функций м _{& alpha} ;, где α представляет собой разбиение на  к . Как степенной ряд, это сумма всех одночленов степени k , что и послужило причиной его названия. Эта симметричная функция соответствует полному однородному симметрическому многочлену h _k ( X ₁ , ..., X _n ) для любого n  ≥  k .
• Функции Шура s _λ для любого разбиения λ, которое соответствует многочлену Шура s _λ ( X ₁ , ..., X _n ) для любого n, достаточно большого, чтобы иметь моном X ^λ .

Там нет суммы мощности симметричной функции р ₀ : хотя возможно (и в некоторых контекстах естественных) , чтобы определить , как симметричный многочлен в п переменных, эти значения не совместимы с морфизмами р _п . «Дискриминант» - еще один пример выражения, задающего симметричный полином для всех n , но не определяющего никакой симметричной функции. Выражения, определяющие полиномы Шура как частное чередующихся многочленов, в чем-то похожи на выражение для дискриминанта, но многочлены s _λ ( X ₁ , ..., X _n${\displaystyle p_{0}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\Sigma _{i=1}^{n}X_{i}^{0}=n}$${\displaystyle \textstyle (\prod _{i<j}(X_{i}-X_{j}))^{2}}$) оказываются совместимыми для изменения n и, следовательно, определяют симметричную функцию.

Принцип, связывающий симметричные многочлены и симметричные функции [ править ]

Для любой симметричной функции P соответствующие симметричные многочлены от n неопределенностей для любого натурального числа n могут быть обозначены как P ( X ₁ , ..., X _n ). Из второго определения кольца симметрических функций следует следующий фундаментальный принцип:

Если P и Q являются симметричными функциями степени d , то одна имеет тождество симметричных функций тогда и только тогда, когда у одной есть тождество P ( X ₁ , ..., X _d ) =  Q ( X ₁ , ..., X _d ) симметричных многочленов от d неопределенностей. В этом случае фактически P ( X ₁ , ..., X _n ) =  Q ( X ₁ , ..., X _n ) для любого числа${\displaystyle P=Q}$п неопределенных.

Это потому, что всегда можно уменьшить количество переменных, заменив некоторые переменные нулем, и можно увеличить количество переменных, применяя гомоморфизмы φ _n ; определение этих гомоморфизмов гарантирует, что φ _n ( P ( X ₁ , ..., X _n )) =  P ( X ₁ , ..., X _{n +1} ) (и аналогично для Q ) всякий раз, когда n  ≥  d . См. Доказательство тождественности Ньютона для эффективного применения этого принципа.

Свойства кольца симметричных функций [ править ]

Личности [ править ]

Кольцо симметричных функций - удобный инструмент для записи тождеств между симметричными многочленами, не зависящими от числа неопределенных: в Λ _R такого числа нет, однако по вышеуказанному принципу любое тождество в Λ _R автоматически дает тождества кольца симметричных многочлены над R от любого числа неопределенностей. Некоторые фундаментальные идентичности

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{i}h_{k-i}=0=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}h_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k>0,}$

который показывает симметрию между элементарными и полными однородными симметричными функциями; эти соотношения объясняются в рамках полного однородного симметричного полинома .

${\displaystyle ke_{k}=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}p_{i}e_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0,}$

в тождества Ньютона , которые также имеют вариант для полных однородных симметрических функций:

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}p_{i}h_{k-i}\quad {\mbox{for all }}k\geq 0.}$

Структурные свойства Λ _R [ править ]

Важные свойства Λ _R включают следующее.

1. Набор мономиальных симметричных функций параметризованных перегородок образуют базис Л _R как градуированного R - модуль , те , параметризованных разбиений д будучи однородным степени г ; то же самое верно для набора функций Шура (также параметризованных разбиениями).
2. Λ _R является изоморфной как градуированного R - алгебры на кольца многочленов R [ Y ₁ , Y ₂ , ...] в бесконечно многих переменных, где Y _я в заданной степени  I для всех I  > 0, один изоморфизм является тот , который переводит Y _i в e _i  ∈ Λ _R для каждого  i .
3. Существует инволютивный автоморфизм ω группы Λ _R, который меняет местами элементарные симметрические функции e _i и полную однородную симметрическую функцию h _i для всех i . Он также отправляет каждую симметричную функцию p _i суммирования степеней в (−1) ^{i −1}  p _i и переставляет функции Шура между собой, меняя местами s _λ и s _{λ ^t,} где λ ^t - транспонированное разбиение λ.

Свойство 2 составляет суть основной теоремы о симметричных многочленах . Сразу подразумеваются некоторые другие свойства:

• Подкольцо Л _R порождается своими элементами степени не более п изоморфна кольцу симметрических многочленов над R в п переменных;
• Ряд Гильберта-Пуанкаре Л _R является , то производящая функция из разбиений (это также следует из свойства 1);${\displaystyle \textstyle \prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-t^{i}}}}$
• Для любого n  > 0 R -модуль, образованный однородной частью Λ _R степени n , по модулю его пересечения с подкольцом, порожденным его элементами степени строго меньше n , не имеет ранга 1 и (образ ) e _n является генератором этого R -модуля;
• Для каждого семейства симметрических функций ( f _i ) _{i > 0,} в котором f _i однороден степени  i и дает генератор свободного R -модуля предыдущей точки (для всех i ), существует альтернативный изоморфизм градуированных R -алгебры из R [ Y ₁ , Y ₂ , ...], как указано выше, в Λ _R, который отправляет Y _i в f _i ; другими словами, семейство ( f _i ) _{i > 0}образует множество свободных полиномиальных образующих Л _R .

Этот последний пункт применим, в частности, к семейству ( h _i ) _{i > 0} полных однородных симметрических функций. Если R содержит поле  из рациональных чисел , это также относится к семейству ( р _I ) _{я > 0} суммарных мощности симметричных функций. Это объясняет, почему первые n элементов каждого из этих семейств определяют наборы симметричных многочленов от n переменных, которые являются свободными полиномиальными генераторами этого кольца симметричных многочленов.${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Тот факт, что полные однородные симметрические функции образуют набор свободных полиномиальных образующих Λ _R, уже показывает существование автоморфизма ω, переводящего элементарные симметрические функции в полные однородные функции, как указано в свойстве 3. Тот факт, что ω является инволюцией Λ _R следует из симметрии между элементарными и полными однородными симметричными функциями, выраженными первым набором соотношений, приведенных выше.

Кольцо симметрических функций Λ _Z является Exp кольца целых чисел Z . Это также естественное лямбда-кольцо ; по сути, это универсальное лямбда-кольцо в одном генераторе.

Генерация функций [ править ]

Первое определение Λ _R как подкольца позволяет элегантно выразить производящие функции нескольких последовательностей симметричных функций. В отличие от упомянутых ранее отношений, которые являются внутренними для Λ _R , эти выражения включают операции , выполняемые в R [[ X ₁ , X ₂ , ...; t ]], но вне его подкольца Λ _R [[ t ]], поэтому они имеют смысл только в том случае, если симметричные функции рассматриваются как формальные степенные ряды от неопределенных X _i . Мы будем писать "( X${\displaystyle R[[X_{1},X_{2},...]]}$) "после симметричных функций, чтобы подчеркнуть эту интерпретацию.

Производящая функция для элементарных симметричных функций есть

${\displaystyle E(t)=\sum _{k\geq 0}e_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }(1+X_{i}t).}$

Аналогично для полных однородных симметрических функций

${\displaystyle H(t)=\sum _{k\geq 0}h_{k}(X)t^{k}=\prod _{i=1}^{\infty }\left(\sum _{k\geq 0}(X_{i}t)^{k}\right)=\prod _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{1-X_{i}t}}.}$

Очевидный факт, объясняющий симметрию между элементарными и полными однородными симметричными функциями. Производящая функция для симметричных функций степенной суммы может быть выражена как${\displaystyle E(-t)H(t)=1=E(t)H(-t)}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{k>0}p_{k}(X)t^{k}=\sum _{k>0}\sum _{i=1}^{\infty }(X_{i}t)^{k}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {X_{i}t}{1-X_{i}t}}={\frac {tE'(-t)}{E(-t)}}={\frac {tH'(t)}{H(t)}}}$

((Macdonald, 1979) определяет P ( t ) как Σ _{k > 0}  p _k ( X ) t ^{k −1} , и поэтому в его выражениях отсутствует множитель t по сравнению с приведенными здесь). Два окончательных выражения, включающие формальные производные производящих функций E ( t ) и H ( t ), подразумевают тождества Ньютона и их варианты для полных однородных симметрических функций. Эти выражения иногда записывают как

${\displaystyle P(t)=-t{\frac {d}{dt}}\log(E(-t))=t{\frac {d}{dt}}\log(H(t)),}$

что равносильно тому же, но требует, чтобы R содержало рациональные числа, так что логарифм степенного ряда с постоянным членом 1 определяется ( ).${\displaystyle \textstyle \log(1-tS)=-\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}(tS)^{i}}$

См. Также [ править ]

• Личности Ньютона
• Квазисимметричная функция

Ссылки [ править ]

• Макдональд, И. Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Оксфордские математические монографии. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii + 180 стр. ISBN  0-19-853530-9 MR 553598
• Макдональд, И. Г. Симметричные функции и многочлены Холла. Второе издание. Оксфордские математические монографии. Оксфордские научные публикации. The Clarendon Press, Oxford University Press, Нью-Йорк, 1995. x + 475 стр.  ISBN 0-19-853489-2 MR 1354144 
• Стэнли, Ричард П. Перечислительная комбинаторика , Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (в твердой обложке) ISBN 0-521-78987-7 (в мягкой обложке).