Полином Костанта

В математике , в Костантом полиномы , названные в честь Bertram Костантом , обеспечивают явную основу кольца многочленов над кольцом многочленов , инвариантных относительно конечной группы отражений в виде корневой системы .

Фон [ править ]

Если группа отражений W соответствует группе Вейля компактной полупростой группы K с максимальным тором T , то многочлены Костанта описывают структуру когомологий де Рама обобщенного флагового многообразия K / T , также изоморфного G / B, где G это комплексификация из K и B является соответствующей подгруппой Борель . Арманд Борель показал, что его кольцо когомологийизоморфна фактору кольца многочленов по идеалу, порожденному инвариантными однородными многочленами положительной степени. Это кольцо уже рассматривал Клод Шевалле при установлении основ когомологий компактных групп Ли и их однородных пространств с Андре Вейлем , Жан-Луи Кошюлем и Анри Картаном ; существование такого базиса было использовано Шевалле для доказательства того, что кольцо инвариантов само является кольцом многочленов. Подробное описание полиномов Костанта было дано Бернштейном, Гельфандом и Гельфандом (1973) и независимо Демазюр (1973).как инструмент для понимания исчисления Шуберта многообразия флагов. Многочлены Костанта связаны с многочленами Шуберта, комбинаторно определенными Ласку и Шютценбергером (1982) для классического многообразия флагов, когда G = SL (n, C ). Их структура определяется разностными операторами, связанными с соответствующей корневой системой .Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFLascouxSchützenberger1982 ( справка )

Steinberg (1975) определила аналогичную основу , когда кольцо многочленов заменяются кольцом экспонента в весовой решетке . Если К является односвязно , это кольцо может быть идентифицировано с представлением кольца R ( T ) и W -инвариантного подкольцом с R ( K ). Базис Стейнберга снова был мотивирован проблемой топологии однородных пространств; основа возникает при описании Т - эквивариантная K-теории о К / Т .

Определение [ править ]

Пусть Φ является корневой системы в конечномерном реальном пространстве скалярное произведение V с группой Вейля W . Пусть Φ ⁺ - множество положительных корней, а ∆ - соответствующее множество простых корней. Если α корень, то s _α обозначает соответствующий оператор отражения. Корни рассматриваются как линейные многочлены на V с использованием скалярного произведения α ( v ) = (α, v ). Выбор Δ порождает порядок Брюа на группе Вейля, определяемый способами минимальной записи элементов как продуктов простого корневого отражения. Минимальная длина для elenet s обозначается . Выберите элемент${\ Displaystyle \ ell (s)}$v в V такое, что α ( v )> 0 для любого положительного корня.

Если α _i - простой корень с оператором отражения s _i

${\ Displaystyle s_ {я} х = х-2 {(х, \ альфа _ {я}) \ над (\ альфа _ {я}, \ альфа _ {я})} \ альфа _ {я},}$

тогда соответствующий оператор разделенной разности определяется как

${\ displaystyle \ delta _ {i} f = {ff \ circ s_ {i} \ over \ alpha _ {i}}.}$

Если и s имеет сокращенное выражение${\ displaystyle \ ell (s) = m}$

${\ displaystyle s = s_ {i_ {1}} \ cdots s_ {i_ {m}},}$

тогда

${\ displaystyle \ delta _ {s} = \ delta _ {i_ {1}} \ cdots \ delta _ {i_ {m}}}$

не зависит от приведенного выражения. более того

${\ displaystyle \ displaystyle \ delta _ {s} \ delta _ {t} = \ delta _ {st}}$

если и 0 в противном случае.${\displaystyle \ell (st)=\ell (s)+\ell (t)}$

Если ш ₀ является самым длинным элементом из W , элемент наибольшей длины или , что эквивалентно элемента отправки Ф ⁺ к -ф ⁺ , то

${\displaystyle \delta _{w_{0}}f={\sum _{s\in W}{\rm {det}}\,s\,f\circ s \over \prod _{\alpha >0}\alpha }.}$

В более общем смысле

${\displaystyle \delta _{s}f={{\rm {det}}\,s\,f\circ s+\sum _{t<s}a_{s,t}\,f\circ t \over \prod _{\alpha >0,\,s^{-1}\alpha <0}\alpha }}$

для некоторых констант a _{s , t} .

Набор

${\displaystyle \displaystyle d=|W|^{-1}\prod _{\alpha >0}\alpha .}$

и

${\displaystyle \displaystyle P_{s}=\delta _{s^{-1}w_{0}}d.}$

Тогда P _s - однородный многочлен степени .${\displaystyle \ell (s)}$

Эти многочлены являются многочленами Костанта .

Свойства [ править ]

Теорема . Многочлены Костанта образуют свободный базис кольца многочленов над W-инвариантными многочленами.

Фактически матрица

${\displaystyle \displaystyle N_{st}=\delta _{s}(P_{t})}$

является унитреугольным для любого полного порядка, такого что s ≥ t влечет .${\displaystyle \ell (s)\geq \ell (t)}$

Следовательно

${\displaystyle \displaystyle {\rm {det}}\,N=1.}$

Таким образом, если

${\displaystyle \displaystyle f=\sum _{s}a_{s}P_{s}}$

с _сек , инвариантное относительно W , то

${\displaystyle \displaystyle \delta _{t}(f)=\sum _{s}\delta _{t}(P_{s})a_{s}.}$

Таким образом

${\displaystyle \displaystyle a_{s}=\sum _{t}M_{s,t}\delta _{t}(f),}$

куда

${\displaystyle \displaystyle M=N^{-1}}$

другая унитреугольная матрица с полиномиальными элементами. Это можно проверить непосредственно , что _s инвариантна относительно W .

Фактически δ _i удовлетворяет свойству вывода

${\displaystyle \delta _{i}(fg)=\delta _{i}(f)g+(f\circ s_{i})\delta _{i}(g).}$

Следовательно

${\displaystyle \delta _{i}\delta _{s}(f)=\sum _{t}\delta _{i}(\delta _{s}(P_{t}))a_{t})=\sum _{t}(\delta _{s}(P_{t})\circ s_{i})\delta _{i}(a_{t})+\sum _{t}\delta _{i}\delta _{s}(P_{t})a_{t}.}$

С

${\displaystyle \delta _{i}\delta _{s}=\delta _{s_{i}s}}$

или 0, то

${\displaystyle \sum _{t}\delta _{s}(P_{t})\,\delta _{i}(a_{t})\circ s_{i}=0}$

так что в силу обратимости N

${\displaystyle \displaystyle \delta _{i}(a_{t})=0}$

для всех I , т.е. _т инвариантна относительно W .

Основа Штейнберга [ править ]

Как и выше, пусть Φ - корневая система в вещественном внутреннем пространстве V , а Φ ⁺ - подмножество положительных корней. Из этих данных получаем подмножество Δ = {α ₁ , α ₂ , ..., α _n } простых корней, сопутствующие корни

${\displaystyle \displaystyle \alpha _{i}^{\vee }=2(\alpha _{i},\alpha _{i})^{-1}\alpha _{i},}$

и фундаментальные веса λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _n как двойственный базис сопутствующих корней.

Для каждого элемента s в W пусть ∆ _s - подмножество ∆, состоящее из простых корней, удовлетворяющих s ⁻¹ α <0, и положим

${\displaystyle \lambda _{s}=s^{-1}\sum _{\alpha _{i}\in \Delta _{s}}\lambda _{i},}$

где сумма рассчитывается в вес решетки P .

Набор линейных комбинаций экспонент e ^μ с целыми коэффициентами для μ в P становится кольцом над Z, изоморфным групповой алгебре P или, что эквивалентно, кольцу представления R ( T ) группы T , где T - максимальный тор в K - односвязная, связная компактная полупростая группа Ли с системой корней Φ. Если W есть группа Вейля Ф, то представление кольца R ( K ) из K может быть идентифицирован с R ( Т ) ^Вт .

Теорема Стейнберга . Экспоненты λ _s ( s в W ) образуют свободный базис кольца экспонент над подкольцом W - инвариантных экспонент.

Обозначим через ρ полусумму положительных корней, а через A обозначим оператор антисимметризации

${\displaystyle A(\psi )=\sum _{s\in W}(-1)^{\ell (s)}s\cdot \psi .}$

Положительные корни β с положительным s β можно рассматривать как набор положительных корней для корневой системы на подпространстве V ; корни - те, которые ортогональны s.λ _s . Соответствующая группа Вейля равна стабилизатор λ _s в Вт . Он порождается простыми отражениями s _j, для которых s α _j является положительным корнем.

Пусть M и N - матрицы

${\displaystyle M_{ts}=t(\lambda _{s}),\,\,N_{st}=(-1)^{\ell (t)}\cdot t(\psi _{s}),}$

где ψ _s задается весом s ⁻¹ ρ - λ _s . Тогда матрица

${\displaystyle B_{s,s^{\prime }}=\Omega ^{-1}(NM)_{s,s^{\prime }}={A(\psi _{s}\lambda _{s^{\prime }}) \over \Omega }}$

треугольна относительно любого полного порядка на W, такого что s ≥ t влечет . Стейнберг доказал, что элементы B являются W -инвариантными экспоненциальными суммами. Более того, все его диагональные элементы равны 1, поэтому у него есть определитель 1. Следовательно, его обратный C имеет такой же вид. Определять${\displaystyle \ell (s)\geq \ell (t)}$

${\displaystyle \varphi _{s}=\sum C_{s,t}\psi _{t}.}$

Если х - произвольная экспоненциальная сумма, то отсюда следует, что

${\displaystyle \chi =\sum _{s\in W}a_{s}\lambda _{s}}$

с _евой в W -инвариантной экспоненциальную суммы

${\displaystyle a_{s}={A(\varphi _{s}\chi ) \over \Omega }.}$

Действительно, это единственное решение системы уравнений

${\displaystyle t\chi =\sum _{s\in W}t(\lambda _{s})\,\,a_{s}=\sum _{s}M_{t,s}a_{s}.}$

Ссылки [ править ]

• Бернштейн, штат Индиана; Гельфанд И.М .; Гельфанд С.И. (1973) "Клетки Шуберта и когомологии пространств G / P", Успехи матем. Обзоры , 28 (3): 1-26, DOI : 10,1070 / RM1973v028n03ABEH001557
• Билли, Сара К. (1999), "Многочлены Костанта и кольцо когомологий для G / B.", Duke Math. J. , 96 : 205-224, CiteSeerX  10.1.1.11.8630 , DOI : 10,1215 / S0012-7094-99-09606-0
• Бурбаки, Николя (1981), Groupes et algèbres de Lie, Chapitres 4, 5 и 6 , Masson, ISBN 978-2-225-76076-1
• Картан, Анри (1950), "Различия в понятиях; применение к группам Ли и другим различным операциям группы Ли", Colloque de Topologie (espaces Fibrés), Брюссель : 15–27
• Картан, Анри (1950), "La transgression dans un groupe de Lie et dans un espace fibré main", Colloque de Topologie (espaces Fibrés), Брюссель : 57–71
• Chevalley, Клод (1955), "Инварианты конечных групп, порожденные отражениями", Amer. J. Math. , 77 (4): 778-782, DOI : 10,2307 / 2372597 , JSTOR  2372597
• Демазюр, Мишель (1973), "Invariants symétriques entiers des groupes de Weyl et torsion", Invent. Математика. , 21 (4): 287-301, DOI : 10.1007 / BF01418790
• Greub, Вернер; Гальперин, Стивен; Ванстон, Рэй (1976), Связи, кривизна и когомологии. Том III: Когомологии главных расслоений и однородных пространств , Чистая и прикладная математика, 47-III, Academic Press
• Хамфрис, Джеймс Э. (1994), Введение в алгебры Ли и теорию представлений (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-90053-7
• Костант, Бертрам (1963), "Когомологии алгебры Ли и обобщенные клетки Шуберта", Ann. математики. , 77 (1): 72-144, DOI : 10,2307 / 1970202 , JSTOR  1970202
• Костант, Бертрам (1963), "Представления группы Ли на кольцах многочленов", Amer. J. Math. , 85 (3): 327-404, DOI : 10,2307 / 2373130 , JSTOR  2373130
• Костант, Бертрам ; Кумар, Шраван (1986), "Нильское кольцо Гекке и когомологии G / P для группы Каца – Муди G.", Proc. Natl. Акад. Sci. США , 83 (6): 1543–1545, DOI : 10.1073 / pnas.83.6.1543 , PMC  323118 , PMID  16593661
• Ален, Ласку ; Шютценбергер, Марсель-Поль (1982), «Полиномы Шуберта [многочлены Шуберта]», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 294 : 447–450
• МакЛеод, Джон (1979), Формула Куннета в эквивариантной K-теории , Lecture Notes in Math., 741 , Springer, pp. 316–333
• Steinberg, Роберт (1975), "Об одной теореме Pittie", Топология , 14 (2): 173-177, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (75) 90025-7