Теорема Зейферта – Ван Кампена

В математике теорема Зейферта -Ван Кампена алгебраической топологии (названная в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена ), иногда просто называемая теоремой Ван Кампена , выражает структуру фундаментальной группы топологического пространства в терминах фундаментальных групп двух открытых , линейно-связные подпространства, покрывающие . Поэтому его можно использовать для вычислений фундаментальной группы пространств, построенных из более простых.${\ Displaystyle Х}$${\ Displaystyle Х}$

Пусть X — топологическое пространство, являющееся объединением двух открытых и линейно связных подпространств U ₁ , U ₂ . Предположим , что U ₁ ∩ U ₂ линейно связно и непусто, и пусть x ₀ — точка в U ₁ ∩ U ₂ , которая будет использоваться в качестве базы всех фундаментальных групп. Отображения включения U ₁ и U ₂ в X индуцируют гомоморфизмы групп и . Тогда X является связным путем и и${\ displaystyle j_ {1}: \ pi _ {1} (U_ {1}, x_ {0}) \ to \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ displaystyle j_ {2}: \ pi _ {1} (U_ {2}, x_ {0}) \ to \ pi _ {1} (X, x_ {0})}$${\ Displaystyle j_ {1}}$${\ Displaystyle j_ {2}}$сформируйте коммутативную выталкивающую диаграмму:

Естественный морфизм k является изоморфизмом. То есть фундаментальная группа X является свободным произведением фундаментальных групп U ₁ и U ₂ с объединением . ^[1]${\ displaystyle \ pi _ {1} (U_ {1} \ cap U_ {2}, x_ {0})}$

Обычно морфизмы, индуцированные включением в этой теореме, сами по себе не являются инъективными, и более точный вариант утверждения — в терминах выталкивания групп.

К сожалению, приведенная выше теорема не вычисляет фундаментальную группу окружности, которая является наиболее важным базовым примером в алгебраической топологии. Причина в том, что окружность не может быть реализована как объединение двух открытых множеств со связным пересечением. Эту проблему можно решить, работая с фундаментальным группоидом на множестве базовых точек А, выбранных в соответствии с геометрией ситуации. Таким образом, для круга используются две базовые точки. ^[2]${\ Displaystyle \ пи _ {1} (Х, А)}$

Связное объединение двух несвязных пространств с набором базовых точек