В математике принцип отбора - это правило, утверждающее возможность получения математически значимых объектов путем выбора элементов из заданных последовательностей множеств. Теория принципов отбора изучает эти принципы и их связь с другими математическими свойствами. Принципы выбора в основном описывают покрывающие свойства, свойства теории меры и категории, а также локальные свойства в топологических пространствах, особенно в функциональных пространствах. Часто характеристика математического свойства с использованием принципа выбора является нетривиальной задачей, ведущей к новому пониманию характеризуемого свойства.
Основные принципы выбора
В 1924 году Карл Менгер [1] ввел следующее свойство базисности для метрических пространств: каждый базис топологии содержит последовательность множеств с исчезающими диаметрами, покрывающими пространство. Вскоре после этого Витольд Гуревич [2] заметил, что свойство базисности Менгера эквивалентно следующему селективному свойству: для каждой последовательности открытых покрытий пространства можно выбрать конечное число открытых множеств из каждого покрытия в последовательности, так что выбранные множества покрыть пространство. Топологические пространства, обладающие этим свойством покрытия, называются пространствами Менгера .
Переформулировка свойства Менгера Гуревичем была первым важным топологическим свойством, описанным принципом отбора. Позволять а также быть классами математических объектов. В 1996 году Мэрион Шиперс [3] представила следующие гипотезы выбора, улавливающие большое количество классических математических свойств:
- : Для каждой последовательности элементов из класса , есть элементы такой, что .
- : Для каждой последовательности элементов из класса , существуют конечные подмножества такой, что .
В случае, если классы а также состоят из крышек некоторого окружающего пространства, Шиперс также ввел следующий принцип выбора.
- : Для каждой последовательности элементов из класса , ни одно из которых не содержит конечного подпокрытия, существуют конечные подмножества такой, что .
Позже Боаз Цабан определил преобладание следующего родственного принципа:
- : Каждый член класса содержит член класса .
Определенные таким образом понятия являются принципами отбора . Реализация принципа выбора путем рассмотрения конкретных классов а также , дает свойство выбора (или: выборочного) . Однако эти термины используются в литературе как синонимы.
Вариации
Для набора и семья подмножеств , звезда в это набор .
В 1999 году Любиса Д.Р. Кочинац представил следующие принципы отбора звезд : [4]
- : Для каждой последовательности элементов из класса , есть элементы такой, что .
- : Для каждой последовательности элементов из класса , существуют конечные подмножества такой, что .
Покрывающие свойства
Покрывающие свойства составляют ядро теории принципов отбора. Свойства выбора, которые не являются покрывающими свойствами, часто изучаются с помощью импликаций в и из свойств выборочного покрытия связанных пространств.
Позволять быть топологическим пространством . Открытое покрытие из семейство открытых множеств, объединением которых является все пространство По техническим причинам мы также просим, чтобы все пространство не входит в состав обложки. Класс открытых покрытий пространства обозначается . (Формально,, но обычно пространство фиксируется в фоновом режиме.) Вышеупомянутое свойство Менгера, таким образом, . В 1942 году Фриц Ротбергер рассмотрел нулевые множества с сильной мерой Бореля и представил топологическую вариацию, позже названную пространством Ротбергера (также известное как Cпространство ). В обозначении выборок свойство Ротбергера - это свойство.
Открытая крышка из является точечно -конечным, если в нем бесконечно много элементов, и каждая точка принадлежит всем кроме конечного множества множеств . (Этот тип обложки рассматривался Герлиц и Надь в третьем пункте определенного списка в их статье. Список пронумерован греческими буквами, поэтому эти обложки часто называют-обложки .) Класс точечно-кофинитных открытых покрытий обозначается . Топологическое пространство называется пространством Гуревича, если оно удовлетворяет.
Открытая крышка из является -покрытие, если каждое конечное подмножество содержится в некоторых членах . Класс-обложки обозначается . Топологическое пространство называется γ-пространством, если оно удовлетворяет.
Используя гипотезы звездного отбора, можно получить такие свойства, как звезда-Менгер (), звезда-Ротбергер () и звезда-Гуревич ().
Диаграмма Шиперса
Есть 36 свойств выбора формы , для а также . Некоторые из них тривиальны (верны для всех пространств или не верны для всех пространств). Ограничивая внимание пространством Линделёфа , приведенная ниже диаграмма, известная как диаграмма Шиперса , [3] [5], представляет нетривиальные свойства выбора вышеуказанной формы, и каждое нетривиальное свойство выбора эквивалентно одному на диаграмме. Стрелки обозначают последствия.
Местные свойства
Принципы выбора также включают важные непокрытые свойства.
Позволять быть топологическим пространством, и . Класс наборов в пространстве в этом есть смысл в их закрытии обозначается . Класссостоит из счетных элементов класса. Класс последовательностей в которые сходятся к обозначается .
- Пространство является Фреше – Урысоном тогда и только тогда, когда он удовлетворяет по всем пунктам .
- Пространство является сильно Фреше – Урысона тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет по всем пунктам .
- Пространство имеет счетную плотность тогда и только тогда, когда он удовлетворяет по всем пунктам .
- Пространство имеет счетную герметичность вентилятора тогда и только тогда, когда он удовлетворяет по всем пунктам .
- Пространство имеет счетную сильную веерную герметичность тогда и только тогда, когда он удовлетворяет по всем пунктам .
Топологические игры
Между принципами отбора и топологическими играми существует тесная связь .
Игра Менгера
Позволять быть топологическим пространством. Игра Менгера играл на это игра для двух игроков, Алисы и Боба. У него есть иннинг на каждое натуральное число.. На иннинг, Алиса выбирает открытую крышку из , а Боб выбирает конечное подмножество из . Если семья это прикрытие пространства , то Боб выигрывает игру. В противном случае выигрывает Алиса.
Стратегия для игрока является функция , определяющая ход игрока, учитывая предыдущие ходы обоих игроков. Стратегия для игрока является выигрышной, если каждая игра, в которой этот игрок придерживается этой стратегии, выиграна этим игроком.
- Топологическое пространство - это тогда и только тогда, когда у Алисы нет выигрышной стратегии в игре играл на этом пространстве. [2] [3]
- Позволять - метрическое пространство. У Боба есть выигрышная стратегия в игре играл в космосе тогда и только тогда, когда пространство является -компактный. [6] [7]
Обратите внимание, что среди пространств Линделёфа метризуемость эквивалентна регулярным и счетным до второго, поэтому предыдущий результат может быть альтернативно получен путем рассмотрения ограниченных информационных стратегий . [8] Маркова стратегия одна , которая использует только последний ход противника и текущего круглого числа.
- Позволять быть обычным пространством. У Боба есть выигрышная марковская стратегия в игре играл в космосе тогда и только тогда, когда пространство является -компактный.
- Позволять - пространство с подсчетом секунд. У Боба есть выигрышная марковская стратегия в игре играл в космосе тогда и только тогда, когда у него есть выигрышная стратегия точной информации.
Аналогичным образом мы определяем игры для других принципов выбора из данной диаграммы Шиперса. Во всех этих случаях топологическое пространство обладает свойством из диаграммы Шиперса тогда и только тогда, когда у Алисы нет выигрышной стратегии в соответствующей игре. [9] Но в целом это неверно; Фрэнсис Джордан продемонстрировал пространство, в котором у Алисы есть выигрышная стратегия, но принцип выбора терпит неудачу. [10]
Примеры и свойства
- Каждый пространство - это пространство Линделёфа .
- Каждое σ-компактное пространство (счетное объединение компактных пространств) является.
- .
- .
- Предполагая гипотезу континуума , есть наборы действительных чисел, свидетельствующие о том, что вышеуказанные последствия не могут быть отменены. [5]
- Каждый набор Лузин является но нет . [11] [12]
- Каждый набор Серпинского - это Гуревич. [13]
Подмножества реальной линии (с индуцированной топологией подпространства ), обладающие свойствами принципа выбора, в первую очередь пространства Менгера и Гуревича, могут быть охарактеризованы их непрерывными образами в пространстве Бэра . Для функций, написать если для всех, кроме конечного числа натуральных чисел . Позволять быть подмножеством . Наборявляется ограниченным , если существует такая функция такой, что для всех функций . Наборявляется доминирующим, если для каждой функции есть функция такой, что .
Связи с другими полями
Общая топология
- Каждый пространство - это D-пространство . [15]
Пусть P - свойство пространств. Пространствоэто продуктивно Р , если для каждого пространствасо свойством P , пространство продуктаобладает свойством P .
- Каждое отделимое продуктивно паракомпактное пространство - это.
- Если исходить из гипотезы континуума , каждое продуктивное пространство Линделёфа продуктивно[16]
- Позволять быть подмножество реальной линии, и быть скудным подмножеством реальной линии. Тогда наборскудный. [17]
Теория меры
- Каждый подмножество реальной линии является нулевым набором сильной меры . [11]
Функциональные пространства
Позволять - тихоновское пространство , и - пространство непрерывных функций с топологией поточечной сходимости .
- удовлетворяет если и только если является Фреше – Урысоном тогда и только тогда, когдаявляется сильным Фреш-Урысон . [18]
- удовлетворяет если и только если имеет счетную прочную вентиляционную герметичность . [19]
- удовлетворяет если и только если имеет счетную вентиляторную герметичность . [20] [5]
Смотрите также
- Компактное пространство
- Сигма-компакт
- Пространство менгера
- Пространство Гуревича
- Пространство Ротбергера
Рекомендации
- ^ Менгер, Карл (1924). Einige Überdeckungssätze der punktmengenlehre . Sitzungsberichte der Wiener Akademie . 133 . С. 421–444. DOI : 10.1007 / 978-3-7091-6110-4_14 . ISBN 978-3-7091-7282-7.
- ^ а б Гуревич, Витольд (1926). "Über eine verallgemeinerung des Borelschen Theorems". Mathematische Zeitschrift . 24 (1): 401–421. DOI : 10.1007 / bf01216792 .
- ^ а б в Шиперс, Мэрион (1996). «Комбинаторика открытых покрытий I: теория Рамсея» . Топология и ее приложения . 69 : 31–62. DOI : 10.1016 / 0166-8641 (95) 00067-4 .
- ^ Коцинац, Любиса Д.Р. (2015). «Принципы отбора звезд: опрос» . Хайямский математический журнал . 1 : 82–106.
- ^ а б в Просто, Винфрид; Миллер, Арнольд; Шиперс, Мэрион; Шептицкий, Пол (1996). «Комбинаторика открытых крышек II». Топология и ее приложения . 73 (3): 241–266. arXiv : math / 9509211 . DOI : 10.1016 / S0166-8641 (96) 00075-2 .
- ^ Шиперс, Мэрион (1995-01-01). «Прямое доказательство теоремы Телгарского» . Труды Американского математического общества . 123 (11): 3483–3485. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1995-1273523-1 . ISSN 0002-9939 .
- ^ Телгарский, Растислав (01.06.1984). «Об играх Топсе» . Mathematica Scandinavica . 54 : 170–176. DOI : 10,7146 / math.scand.a-12050 . ISSN 1903-1807 .
- ^ Стивен, Клонц (31.07.2017). «Применение ограниченных информационных стратегий в игре Менгера» . Комментарии Mathematicae Universitatis Carolinae . Карлов университет в Праге, Karolinum Press. 58 (2): 225–239. DOI : 10.14712 / 1213-7243.2015.201 . ISSN 0010-2628 .
- ^ Павликовский, Януш (1994). «Неопределенные множества открытых игр» . Fundamenta Mathematicae . 144 (3): 279–285. ISSN 0016-2736 .
- ^ Иордания, Фрэнсис (2020). «О неустойчивости топологической игры, связанной с созвучием». Топология и ее приложения . Elsevier BV. 271 : 106990. дои : 10.1016 / j.topol.2019.106990 . ISSN 0166-8641 .
- ^ а б Ротбергер, Фриц (1938). "Eine Verschärfung der Eigenschaft C" . Fundamenta Mathematicae . 30 : 50–55. DOI : 10,4064 / фм-30-1-50-55 .
- ^ Гуревич, Витольд (1927). "Über Folgen stetiger Funktionen" . Fundamenta Mathematicae . 9 : 193–210. DOI : 10,4064 / фм-9-1-193-210 .
- ^ Фремлин, Дэвид; Миллер, Арнольд (1988). «О некоторых свойствах Гуревича, Менгера и Ротбергера» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 129 : 17–33. DOI : 10,4064 / фм-129-1-17-33 .
- ^ а б Recław, Иренеуш (1994). «Каждый набор Лусина не определен в игре по открытию точки» . Fundamenta Mathematicae . 144 : 43–54. DOI : 10,4064 / фм-144-1-43-54 .
- ^ Ауричи, Леандро (2010). «D-пространства, топологические игры и принципы выбора» (PDF) . Топология трудов . 36 : 107–122.
- ^ Шевчак, Петр; Цабан, Боаз (2016). «Произведение пространств Менгера, II: общие пространства». arXiv : 1607.01687 [ math.GN ].
- ^ Гэлвин, Фред; Миллер, Арнольд (1984). " γ {\ displaystyle \ gamma} -множества и другие особые множества действительных чисел » . Топология и ее приложения . 17 (2): 145–155. doi : 10.1016 / 0166-8641 (84) 90038-5 .
- ^ Герлитс, Дж .; Надь, З. (1982). "Некоторые свойства C ( Икс ) {\ Displaystyle C (X)} Я» . Топология и ее приложения . 14 (2):. 151-161 DOI : 10,1016 / 0166-8641 (82) 90065-7 .
- ^ Сакаи, Масами (1988). "Имущество C ″ {\ displaystyle C ''} и функциональные пространства» . Труды Американского математического общества . 104 (9): 917-919. DOI : 10,1090 / S0002-9939-97-03897-5 .
- ^ Архангельский, Александр (1986). «Пространства Гуревича, аналитические множества и веерность пространств функций». Советская математика. Докл . 2 : 396–399.