Набор мозаичных плиток , или setiset , порядка n - это набор из n форм или частей, обычно плоских, каждый из которых может быть выложен плиткой меньшими копиями полного набора из n фигур. То есть n фигур могут быть собраны n различными способами, чтобы создать более крупные копии самих себя, причем увеличение в масштабе одинаково в каждом случае. На рис. 1 показан пример для n = 4 с использованием декомино четкой формы . Концепция может быть расширена за счет включения предметов более высокого измерения. Название setisets было придумано Ли Саллоусом в 2012 году [1] [2]но проблема нахождения таких множеств для n = 4 была задана десятилетиями ранее Ч. Дадли Лэнгфордом, а примеры для полиаболо (открытого Мартином Гарднером , Уэйдом Э. Филпоттом и другими) и полиимино (открытого Морисом Дж. Повахом) опубликовано Гарднером. [3]
Примеры и определения [ править ]
Из приведенного выше определения следует, что setiset, состоящий из n идентичных частей, - это то же самое, что и «самовоспроизводящийся тайл» или rep-tile , из которых setisets, следовательно, являются обобщением. [4] Наборы, использующие n различных форм, такие как рисунок 1, называются идеальными . На рис. 2 показан пример для n = 4, который является несовершенным, поскольку две формы компонентов одинаковы.
Формы, используемые в setiset, не обязательно должны быть соединенными областями. Разрешены также непересекающиеся фишки, состоящие из двух или более разделенных островов. Такие части описываются как отключенные или слабо связанные (когда острова соединяются только в одной точке), как показано в наборе, показанном на рисунке 3.
Наименьшее количество штук в сетисете - две. Рисунок 4 инкапсулирует бесконечное семейство порядка 2 setisets каждая из которых состоит из двух треугольников, P и Q . Как показано, последние могут быть соединены шарниром, чтобы получить составной треугольник, имеющий ту же форму, что и P или Q , в зависимости от того, полностью ли шарнир открыт или полностью закрыт. Таким образом, этот необычный образец представляет собой пример шарнирного вскрытия .
Инфляция и дефляция [ править ]
Свойства наборов означают, что их части образуют мозаику замещения или мозаику, в которой прототипы могут быть разрезаны или объединены, чтобы получить меньшие или большие дубликаты самих себя. Ясно, что двойные действия по формированию все больших и больших копий (известное как раздувание) или еще меньших и меньших разрезов (дефляция) могут повторяться бесконечно. Таким образом, наборы могут создавать непериодические мозаики. Однако ни одна из непериодических мозаик, обнаруженных до сих пор , не может считаться апериодической , потому что прототипы всегда можно переставить, чтобы получить периодическую мозаику. На рис. 5 показаны первые две стадии раздувания набора порядка 4, приводящие к непериодической мозаике.
Петли [ править ]
Помимо саморазлагающихся наборов плиток, которые можно интерпретировать как петли длиной 1, существуют более длинные петли или замкнутые цепочки наборов, в которых каждый набор разбивает свой преемник. [5] На рисунке 6 показана пара взаимно мозаичных наборов декомино , другими словами, цикл длины 2. Саллоус и Скотель провели исчерпывающий поиск наборов четвертого порядка, состоящих из октимино . В дополнение к семи обычным сетистам (т. Е. Петлям длиной 1) они обнаружили поразительное разнообразие петель любой длины, максимум до 14. Общее количество идентифицированных петель составило почти полтора миллиона. Еще предстоит провести дополнительные исследования в этой области, но можно с уверенностью предположить, что другие формы также могут иметь петли. [6]
Способы строительства [ править ]
На сегодняшний день для создания наборов использовались два метода. В случае наборов, состоящих из форм, таких как полимино , которые влекут за собой целые размеры частей, возможен поиск методом грубой силы с помощью компьютера, если n - количество задействованных частей, не является запретительным. Легко показать, что тогда n должно быть полным квадратом . [4] Рисунки 1, 2, 3, 5 и 6 - все примеры, найденные этим методом.
В качестве альтернативы существует метод, с помощью которого можно разрезать несколько копий повторяющегося тайла определенными способами, чтобы получить формы, которые создают наборы. На рисунках 7 и 8 показаны наборы, созданные с помощью этого средства, в которых каждая часть представляет собой объединение 2 и 3 повторяющихся плиток соответственно. На Рисунке 8 можно увидеть, как 9 частей наверху вместе соединяют 3 формы повторяющихся плиток ниже, в то время как каждая из 9 частей сама формируется объединением 3 таких форм повторяющихся плиток. Следовательно, каждая фигура может быть выложена более мелкими дубликатами всего набора из 9. [4]
Ссылки [ править ]
- ^ Sallows Ли (декабрь 2012). «О наборах самонесущей плитки». Математический журнал . 85 (5): 323–333. DOI : 10.4169 / math.mag.85.5.323 .
- ↑ Алехандро Эриксон о наборах мозаичных плиток
- ^ Polyhexes и Polyaboloes в математической Волшебное шоу , Мартин Гарднер, Кнопф, 1977, стр 146-159
- ^ a b c Саллоуз, Ли (апрель 2014 г.). «Подробнее о наборах самонесущей плитки». Математический журнал . 87 (2): 100–112. DOI : 10.4169 / math.mag.87.2.100 .
- ^ Геометрическая Hidden Gems Жан-Поль Delahaye в Scilogs , 07 апреля 2013
- ^ Веб-сайт Self-Tile Sets
Внешние ссылки [ править ]
- Веб-сайт Self-Tile Sets
