Когерентные когомологии пучков

В математике , особенно в алгебраической геометрии и теории комплексных многообразий , когерентные когомологии пучков — это метод получения функций с заданными свойствами. Многие геометрические вопросы можно сформулировать как вопросы о существовании сечений линейных расслоений или более общих когерентных пучков ; такие сечения можно рассматривать как обобщенные функции. Когомологии предоставляют вычислительные инструменты для создания сечений или объяснения того, почему они не существуют. Он также предоставляет инварианты, позволяющие отличить одно алгебраическое многообразие от другого.

Большая часть алгебраической геометрии и комплексной аналитической геометрии формулируется в терминах когерентных пучков и их когомологий.

Когерентные пучки можно рассматривать как обобщение векторных расслоений . Существует понятие когерентного аналитического пучка на комплексном аналитическом пространстве и аналогичное понятие когерентного алгебраического пучка на схеме . В обоих случаях заданному пространству соответствует пучок колец , пучок голоморфных функций или регулярных функций , а когерентные пучки определяются как полная подкатегория категории -модулей (т. е. пучки -модулей ) . ${\ Displaystyle Х}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {X}}$

Векторные расслоения, такие как касательное расслоение, играют фундаментальную роль в геометрии. В более общем случае для замкнутого подмногообразия с включением векторное расслоение на определяет когерентный пучок на , пучок прямого образа , который равен нулю вне . Таким образом, многие вопросы о подмногообразиях можно выразить в терминах когерентных пучков на . ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle я: Y \ к X}$ ${\ Displaystyle Е}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ displaystyle i_ {*} E}$ ${\ Displaystyle Y}$ ${\ Displaystyle Х}$ ${\ Displaystyle Х}$

В отличие от векторных расслоений, когерентные пучки (в аналитическом или алгебраическом случае) образуют абелеву категорию , поэтому они замкнуты относительно таких операций, как взятие ядер , изображений и коядер . На схеме квазикогерентные пучки являются обобщением когерентных пучков, включая локально свободные пучки бесконечного ранга.