Анализ сингулярного спектра

Анализ сингулярного спектра, примененный к временному ряду F , с реконструированными компонентами, сгруппированными по трендам, колебаниям и шумам.

В анализе временных рядов , единственном числе спектральный анализ ( ССА ) представляет собой непараметрический спектральный метод оценки. Он сочетает в себе элементы классического анализа временных рядов , многомерной статистики , многомерной геометрии, динамических систем и обработки сигналов . Его корни лежат в классической Карунена (1946) -Loève (1945, 1978) спектральное разложение из временных рядов и случайных полей и в Mane (1981) -Takens (1981) теоремы вложения . SSA может помочь в декомпозиции временных рядов.на сумму компонентов, каждый из которых имеет значимую интерпретацию. Название «анализ сингулярного спектра» относится к спектру собственных значений в разложении по сингулярным значениям ковариационной матрицы , а не непосредственно к разложению в частотной области .

Краткая история [ править ]

Истоки SSA и, в более общем плане, методов обработки сигналов на основе подпространств восходят к восемнадцатому веку ( метод Прони ). ^{[ необходимая цитата ]} Ключевым достижением была формулировка спектрального разложения оператора ковариации случайных процессов Кари Каруненом и Мишелем Лоэвом в конце 1940-х годов (Loève, 1945; Karhunen, 1947).

Брумхед и Кинг (1986a, b) и Fraedrich (1986) предложили использовать SSA и многоканальный SSA (M-SSA) в контексте нелинейной динамики с целью восстановления аттрактора системы по измеренным временным рядам. Эти авторы предоставили расширение и более надежное применение идеи восстановления динамики из одного временного ряда на основе теоремы вложения . Несколько других авторов уже применили простые версии M-SSA к наборам метеорологических и экологических данных (Colebrook, 1978; Barnett and Hasselmann, 1979; Weare and Nasstrom, 1982).

Гил , Вотар и их коллеги (Vautard and Ghil, 1989; Ghil and Vautard, 1991; Vautard et al., 1992; Ghil et al., 2002) заметили аналогию между траекторной матрицей Брумхеда и Кинга, с одной стороны, и разложение Карунена – Лоэва ( анализ главных компонент во временной области), с другой стороны. Таким образом, SSA можно использовать в качестве метода во временной и частотной области для анализа временных рядов - независимо от реконструкции аттрактора, включая случаи, когда последний может дать сбой. В обзорной статье Ghil et al. (2002) является основой § Методологиираздел этой статьи. Важнейшим результатом работы этих авторов является то, что SSA может надежно восстановить «скелет» аттрактора, в том числе при наличии шума. Этот каркас образован наименее нестабильными периодическими орбитами, которые можно идентифицировать в спектрах собственных значений SSA и M-SSA. Идентификация и подробное описание этих орбит может дать очень полезные указатели на лежащую в основе нелинейную динамику.

Так называемая методология «Caterpillar» - это версия SSA, разработанная в бывшем Советском Союзе, независимо от основной работы SSA на Западе. Эта методология стала известна в остальном мире совсем недавно (Данилов, Жиглявский, Ред., 1997; Гольяндина и др., 2001; Жиглявский, Ред., 2010; Голяндина, Жиглявский, 2013; Голяндина и др., 2018). «Caterpillar-SSA» подчеркивает концепцию разделимости, концепцию, которая приводит, например, к конкретным рекомендациям по выбору параметров SSA. Этот метод подробно описан в § SSA в данной статье как инструмент без модели.

Методология [ править ]

На практике SSA - это непараметрический метод спектральной оценки, основанный на встраивании временного ряда в векторное пространство размерности . ССА протекает диагонализацию лаг-ковариационную матрицу из для получения спектральной информации о временных рядах, предполагается стационарными в слабом смысле. Матрица может быть оценена непосредственно из данных как матрица Теплица с постоянными диагоналями (Vautard and Ghil, 1989), то есть ее элементы зависят только от запаздывания :${\ Displaystyle \ {Икс (т): т = 1, \ ldots, N \}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle M \ times M}$${\ displaystyle {\ textbf {C}} _ ​​{X}}$${\ Displaystyle X (т)}$${\ displaystyle {\ textbf {C}} _ ​​{X}}$${\ displaystyle c_ {ij}}$${\ displaystyle | ij |}$

${\displaystyle c_{ij}={\frac {1}{N-|i-j|}}\sum _{t=1}^{N-|i-j|}X(t)X(t+|i-j|).}$

Альтернативный способ для вычисления , является использование «траектории» матрицу , которая образована лаг смещенной копий , которые долго; тогда${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}}$${\displaystyle N'\times M}$${\displaystyle {\textbf {D}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\it {X(t)}}}$${\displaystyle N'=N-M+1}$

${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}={\frac {1}{N'}}{\textbf {D}}^{\rm {t}}{\textbf {D}}.}$

Собственные векторы матрицы лаг-ковариации называются временными эмпирическими ортогональными функциями (EOF) . Собственные из счета для частичной дисперсии в направлении и суммой собственных значений, то есть след , дает общую дисперсию исходного временного ряда . Название метода происходит от сингулярных значений из${\displaystyle M}$${\displaystyle {\textbf {E}}_{k}}$${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}}$${\displaystyle \lambda _{k}}$${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}}$${\displaystyle {\textbf {E}}_{k}}$${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}}$${\displaystyle X(t)}$${\displaystyle \lambda _{k}^{1/2}}$${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}.}$

Декомпозиция и реконструкция [ править ]

Проецирование временного ряда на каждый EOF дает соответствующие временные главные компоненты (PC) :${\displaystyle {\textbf {A}}_{k}}$

${\displaystyle A_{k}(t)=\sum _{j=1}^{M}X(t+j-1)E_{k}(j).}$

Колебательный режим характеризуется парой почти равных собственных значений SSA и связанных с ними ПК, которые находятся в приблизительной фазовой квадратуре (Ghil et al., 2002). Такая пара может эффективно представлять нелинейные ангармонические колебания. Это связано с тем, что одна пара адаптивных к данным собственных мод SSA часто лучше улавливает базовую периодичность колебательного режима, чем методы с фиксированными базисными функциями , такими как синусы и косинусы, используемые в преобразовании Фурье .

Ширина окна определяет самую длинную периодичность, фиксируемую SSA. Разделение сигнал-шум можно получить, просто изучив излом на «осыпной диаграмме» собственных значений или сингулярных значений в зависимости от . Точку, в которой происходит этот разрыв, не следует путать с «измерением» лежащей в основе детерминированной динамики (Vautard and Ghil, 1989).${\displaystyle M}$${\displaystyle \lambda _{k}}$${\displaystyle \lambda _{k}^{1/2}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k^{*}=S}$${\displaystyle D}$

Тест Монте-Карло (Allen and Smith, 1996; Allen and Robertson, 1996; Groth and Ghil, 2015) может применяться для определения статистической значимости колебательных пар, обнаруженных SSA. Весь временной ряд или его части, которые соответствуют трендам, колебательным режимам или шуму, могут быть восстановлены с помощью линейных комбинаций PC и EOF, которые обеспечивают реконструированные компоненты (RC) :${\displaystyle {\textbf {R}}_{K}}$

${\displaystyle R_{K}(t)={\frac {1}{M_{t}}}\sum _{k\in {\textit {K}}}\sum _{j={L_{t}}}^{U_{t}}A_{k}(t-j+1)E_{k}(j);}$

вот набор EOF, на котором основана реконструкция. Значения коэффициента нормализации , а также нижней и верхней границы суммирования и различаются между центральной частью временного ряда и окрестностями его конечных точек (Ghil et al., 2002).${\displaystyle K}$${\displaystyle M_{t}}$${\displaystyle L_{t}}$${\displaystyle U_{t}}$

Многовариантное расширение [ править ]

Многоканальный SSA (или M-SSA) является естественным расширением SSA для временных рядов векторов или карт с точками данных . В метеорологической литературе часто предполагается, что расширенный анализ EOF (EEOF) является синонимом M-SSA. Оба метода являются расширениями классического анализа главных компонент (PCA), но они различаются по акцентам: анализ EEOF обычно использует количество пространственных каналов, намного большее, чем количество временных лагов, тем самым ограничивая временную и спектральную информацию. В M-SSA, напротив, обычно выбирают . Часто M-SSA применяется к нескольким ведущим ПК пространственных данных с${\displaystyle L}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \{X_{l}(t):l=1,\dots ,L;t=1,\dots ,N\}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle L\leq M}$${\displaystyle M}$выбран достаточно большим, чтобы извлечь подробную временную и спектральную информацию из многомерного временного ряда (Ghil et al., 2002). Тем не менее, Groth и Ghil (2015) продемонстрировали возможные негативные эффекты сжатия этой дисперсии на скорость обнаружения слабых сигналов, когда количество сохраняемых ПК становится слишком маленьким. Такая практика может в дальнейшем негативно повлиять на разумную реконструкцию пространственно-временных паттернов таких слабых сигналов, и Groth et al. (2016) рекомендуют сохранять максимальное количество ПК, т . Е.${\displaystyle L}$${\displaystyle L=N}$

Groth и Ghil (2011) продемонстрировали, что классический M-SSA-анализ страдает проблемой вырождения, а именно, EOF плохо разделяются между различными колебаниями, когда соответствующие собственные значения аналогичны по размеру. Эта проблема является недостатком анализа главных компонентов в целом, а не только M-SSA в частности. Чтобы уменьшить эффекты смешения и улучшить физическую интерпретацию, Groth и Ghil (2011) предложили последующее вращение VARIMAX пространственно-временных EOF (ST-EOF) M-SSA. Чтобы избежать потери спектральных свойств (Plaut and Vautard 1994), они ввели небольшую модификацию обычного вращения VARIMAX.это действительно принимает во внимание пространственно-временную структуру ST-EOF. В качестве альтернативы была предложена замкнутая матричная формулировка алгоритма одновременного вращения EOF с помощью итерационных SVD-декомпозиций (Portes and Aguirre, 2016).

В M-SSA есть два подхода к прогнозированию, известные как рекуррентный и векторный. Расхождения между этими двумя подходами объясняются организацией единой матрицы траекторий каждой серии в матрицу блочных траекторий в многомерном случае. Две матрицы траекторий могут быть организованы либо как вертикальные (VMSSA), либо как горизонтальные (HMSSA), как было недавно введено в Hassani and Mahmoudvand (2013), и было показано, что эти конструкции приводят к лучшим прогнозам. Соответственно, у нас есть четыре различных алгоритма прогнозирования, которые можно использовать в этой версии MSSA (Hassani and Mahmoudvand, 2013).${\displaystyle {\textbf {X}}}$

Прогноз [ править ]

В этом подразделе мы сосредоточимся на явлениях, которые демонстрируют значительный колебательный компонент: повторение увеличивает понимание и, следовательно, уверенность в методе прогнозирования, который тесно связан с таким пониманием.

Анализ сингулярного спектра (SSA) и метод максимальной энтропии (MEM) были объединены для предсказания множества явлений в метеорологии, океанографии и климатической динамике (Ghil et al., 2002 и ссылки в нем). Во-первых, «шум» отфильтровывается путем проецирования временного ряда на подмножество ведущих EOF, полученных с помощью SSA; выбранное подмножество должно включать статистически значимые колебательные режимы. Опыт показывает, что этот подход работает лучше всего, когда частичная дисперсия, связанная с парами RC, которые фиксируют эти моды, велика (Ghil and Jiang, 1998).

Предварительно отфильтрованные RC затем экстраполируются методом наименьших квадратов в модель авторегрессии AR [ p ], коэффициенты которой дают MEM-спектр оставшегося «сигнала». Наконец, расширенные RC используются в процессе реконструкции SSA для получения прогнозных значений. Причина, по которой этот подход - через предварительную фильтрацию SSA, AR-экстраполяцию RC и реконструкцию SSA - работает лучше, чем обычное прогнозирование на основе AR, объясняется тем фактом, что отдельные RC являются узкополосными сигналами, в отличие от исходного, зашумленного времени. серия X ( t ) (Penland et al., 1991; Keppenne, Ghil, 1993). Фактически оптимальный порядок p полученный для отдельных RC значительно ниже, чем тот, который дается стандартным информационным критерием Akaike (AIC) или аналогичными.

Заполнение пространственно-временного разрыва [ править ]

Версия SSA для заполнения пробелов может использоваться для анализа наборов данных с неравномерной выборкой или содержащих недостающие данные (Кондрашов и Гил, 2006; Кондрашов и др., 2010). Для одномерных временных рядов процедура заполнения пробелов SSA использует временные корреляции для заполнения недостающих точек. Для многомерного набора данных при заполнении пробелов с помощью M-SSA используются как пространственные, так и временные корреляции. В любом случае: (i) оценки недостающих точек данных производятся итеративно, а затем используются для вычисления самосогласованной матрицы лаг-ковариации и ее EOF ; и (ii) перекрестная проверка используется для оптимизации ширины окна.${\displaystyle {\textbf {C}}_{X}}$${\displaystyle {\textbf {E}}_{k}}$${\displaystyle M}$ и количество ведущих режимов SSA для заполнения пропусков с помощью итеративно оцененного «сигнала», в то время как шум отбрасывается.

Как инструмент без модели [ править ]

Области применения SSA очень широки: климатология, морские науки, геофизика, инженерия, обработка изображений, медицина, эконометрика. Поэтому были предложены различные модификации SSA, и разные методологии SSA используются в практических приложениях, таких как выделение тренда , обнаружение периодичности , сезонная корректировка , сглаживание , снижение шума (Голяндина и др., 2001).

Базовый SSA [ править ]

SSA можно использовать как безмодельный метод, так что его можно применять к произвольным временным рядам, включая нестационарные временные ряды. Основная цель SSA - разложить временной ряд на сумму интерпретируемых компонентов, таких как тренд, периодические компоненты и шум, без каких-либо априорных предположений о параметрической форме этих компонентов.

Рассмотрим временной ряд с действительными значениями длины . Пусть будет некоторое целое число, называемое длиной окна и .${\displaystyle \mathbb {X} =(x_{1},\ldots ,x_{N})}$${\displaystyle N}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \ (1<L<N)}$${\displaystyle K=N-L+1}$

Основной алгоритм [ править ]

1 шаг: встраивание.

Сформируем матрицу траекторий ряда , которая представляет собой матрицу${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle L\!\times \!K}$

${\displaystyle \mathbf {X} =[X_{1}:\ldots :X_{K}]=(x_{ij})_{i,j=1}^{L,K}={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&\ldots &x_{K}\\x_{2}&x_{3}&x_{4}&\ldots &x_{K+1}\\x_{3}&x_{4}&x_{5}&\ldots &x_{K+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{L}&x_{L+1}&x_{L+2}&\ldots &x_{N}\\\end{bmatrix}}}$

где - запаздывающие векторы размера . Матрица является матрицей Ганкеля, что означает, что у нее равные элементы на антидиагоналях .${\displaystyle X_{i}=(x_{i},\ldots ,x_{i+L-1})^{\mathrm {T} }\;\quad (1\leq i\leq K)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle x_{ij}}$${\displaystyle i+j=\,{\rm {const}}}$

2-й шаг: Разложение по сингулярным значениям (SVD).

Выполните сингулярное разложение (SVD) матрицы траектории . Набор и обозначит на собственных значениях из принятых в порядке убывания величины ( ) и ортонормированной системой собственных векторов матрицы , соответствующей эти собственные значения.${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{L}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$${\displaystyle \lambda _{1}\geq \ldots \geq \lambda _{L}\geq 0}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{L}}$${\displaystyle \mathbf {S} }$

Установите (обратите внимание, что для типичного реального сериала) и . В этих обозначениях SVD матрицы траекторий можно записать как${\displaystyle d=\mathop {\mathrm {rank} } \mathbf {X} =\max\{i,\ {\mbox{such that}}\ \lambda _{i}>0\}}$${\displaystyle d=L}$${\displaystyle V_{i}=\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }U_{i}/{\sqrt {\lambda _{i}}}}$ ${\displaystyle (i=1,\ldots ,d)}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {X} _{1}+\ldots +\mathbf {X} _{d},}$

куда

${\displaystyle \mathbf {X} _{i}={\sqrt {\lambda _{i}}}U_{i}V_{i}^{\mathrm {T} }}$

- матрицы ранга 1; они называются элементарными матрицами . Коллекции будут называться й eigentriple (сокращенно ЕТ) от СВД. Векторы являются левыми сингулярными векторами матрицы , числа являются сингулярными значениями и обеспечивают сингулярный спектр ; это дает имя SSA. Векторы называются векторами главных компонент (ПК).${\displaystyle ({\sqrt {\lambda _{i}}},U_{i},V_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle {\sqrt {\lambda _{i}}}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle {\sqrt {\lambda _{i}}}V_{i}=\mathbf {X} ^{\mathrm {T} }U_{i}}$

3-й шаг: восьмеричная группировка.

Разбейте набор индексов на непересекающиеся подмножества .${\displaystyle \{1,\ldots ,d\}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle I_{1},\ldots ,I_{m}}$

Пусть . Тогда результирующая матрица, соответствующая группе , определяется как . Результирующие матрицы вычисляются для групп, и теперь сгруппированное SVD-расширение может быть записано как${\displaystyle I=\{i_{1},\ldots ,i_{p}\}}$${\displaystyle \mathbf {X} _{I}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {X} _{I}=\mathbf {X} _{i_{1}}+\ldots +\mathbf {X} _{i_{p}}}$${\displaystyle I=I_{1},\ldots ,I_{m}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$

${\displaystyle \mathbf {X} =\mathbf {X} _{I_{1}}+\ldots +\mathbf {X} _{I_{m}}.}$

4-й шаг: диагональное усреднение.

Каждая матрица сгруппированного разложения ханкелизируется, а затем полученная матрица Ганкеля преобразуется в новый ряд длины с использованием взаимно однозначного соответствия между матрицами Ганкеля и временными рядами. Диагональное усреднение, примененное к результирующей матрице, дает восстановленный ряд . Таким образом, исходный ряд раскладывается на сумму реконструированных подсерий:${\displaystyle \mathbf {X} _{I_{j}}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \mathbf {X} _{I_{k}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {X} }}^{(k)}=({\widetilde {x}}_{1}^{(k)},\ldots ,{\widetilde {x}}_{N}^{(k)})}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle x_{n}=\sum \limits _{k=1}^{m}{\widetilde {x}}_{n}^{(k)}\ \ (n=1,2,\ldots ,N).}$

Эта декомпозиция является основным результатом алгоритма SSA. Декомпозиция имеет смысл, если каждую восстановленную подсерию можно классифицировать как часть тренда или некоторого периодического компонента или шума.

Теория разделимости SSA [ править ]

Два основных вопроса, на которые пытается ответить теория SSA: (a) какие компоненты временных рядов могут быть разделены SSA, и (b) как выбрать длину окна и сделать правильную группировку для извлечения желаемого компонента. Многие теоретические результаты можно найти в Golyandina et al. (2001, гл.1 и 6).${\displaystyle L}$

Тренд (который определяется как медленно меняющийся компонент временного ряда), периодические компоненты и шум асимптотически разделимы как . На практике это фиксировано, и нас интересует приблизительная разделимость между компонентами временного ряда. Можно использовать ряд показателей приблизительной разделимости, см. Голяндина и др. (2001, гл.1). Длина окна определяет разрешающую способность метода: большие значения обеспечивают более точное разложение на элементарные компоненты и, следовательно, лучшую разделимость. Длина окна${\displaystyle N\rightarrow \infty }$${\displaystyle N}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$определяет самую длинную периодичность, фиксируемую SSA. Тенденции могут быть извлечены путем группировки собственных троек с медленно меняющимися собственными векторами. Синусоида с частотой меньше 0,5 дает два приблизительно равных собственных значения и два собственных вектора синусоиды с одинаковыми частотами и сдвинутыми фазами.${\displaystyle \pi /2}$

Разделение двух компонентов временного ряда можно рассматривать как выделение одного компонента при наличии возмущения со стороны другого компонента. Теория возмущений SSA разработана Некруткиным (2010) и Hassani et al. (2011).

Прогноз SSA [ править ]

Если для некоторого ряда дает SVD-шаг в Basic SSA , то этот ряд называется временным рядом ранга (Голяндина и др., 2001, гл.5). Подпространство, натянутое на ведущие собственные векторы, называется подпространством сигналов . Это подпространство используется для оценки параметров сигнала при обработке сигналов , например ESPRIT для оценки частоты с высоким разрешением. Кроме того, это подпространство определяет линейное однородное рекуррентное соотношение (LRR), определяющее ряд, которое можно использовать для прогнозирования. Продолжение серии с помощью LRR аналогично прямому линейному предсказанию при обработке сигналов.${\displaystyle \mathbb {X} }$${\displaystyle d<L}$${\displaystyle d}$${\displaystyle d}$

Пусть серия управляется минимальным LRR . Выберем , быть собственными векторами (левыми сингулярными векторами матрицы траектории), которые обеспечиваются шагом SVD SSA. Тогда этот ряд регулируется LRR , где выражаются через (Голяндина и др., 2001, гл. 5), и может продолжаться тем же LRR.${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{d}b_{k}x_{n-k}}$${\displaystyle L>d}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{d}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{L-1}a_{k}x_{n-k}}$${\displaystyle (a_{L-1},\ldots ,a_{1})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{d}}$

Это составляет основу алгоритмов рекуррентного и векторного прогнозирования SSA (Голяндина и др., 2001, гл.2). На практике сигнал искажается возмущением, например шумом, и его подпространство оценивается SSA приблизительно. Таким образом, прогнозирование SSA может применяться для прогнозирования компонента временного ряда, который приблизительно регулируется LRR и приблизительно отделен от остатка.

Многовариантное расширение [ править ]

Многоканальный многомерный SSA (или M-SSA) является естественным расширением SSA для анализа многомерных временных рядов, где размер разных одномерных рядов не обязательно должен быть одинаковым. Матрица траекторий многоканальных временных рядов состоит из связанных матриц траекторий отдельных временных рядов. В остальном алгоритм такой же, как и в одномерном случае. Систему рядов можно прогнозировать аналогично рекуррентным и векторным алгоритмам SSA (Голяндина, Степанов, 2005). MSSA имеет множество приложений. Он особенно популярен при анализе и прогнозировании экономических и финансовых временных рядов с короткими и длинными рядами (Patterson et al., 2011, Hassani et al., 2012, Hassani and Mahmoudvand, 2013). Другое многомерное расширение - это 2D-SSA, которое можно применять к двумерным данным, таким как цифровые изображения (Голяндина и Усевич, 2010).Аналог матрицы траекторий строится путем перемещения 2D окон размером${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$.

MSSA и причинно-следственная связь [ править ]

При анализе временных рядов часто возникает вопрос, может ли одна экономическая переменная помочь в прогнозировании другой экономической переменной. Один из способов решения этого вопроса был предложен Грейнджером (1969), в котором он формализовал концепцию причинности. Комплексный тест на причинно-следственную связь, основанный на MSSA, недавно был введен для измерения причинно-следственной связи. Тест основан на точности прогнозирования и предсказуемости направления изменения алгоритмов MSSA (Hassani et al., 2011 и Hassani et al., 2012).

MSSA и EMH [ править ]

Результаты прогнозирования MSSA могут быть использованы при рассмотрении противоречий между гипотезами эффективного рынка (EMH). EMH предполагает, что информация, содержащаяся в ценовом ряду актива, отражается «мгновенно, полностью и постоянно» в текущей цене актива. Поскольку ряды цен и информация, содержащаяся в них, доступны всем участникам рынка, никто не может извлечь выгоду, пытаясь воспользоваться информацией, содержащейся в истории цен актива, торгуя на рынках. Это оценивается с использованием двух серий с разной длиной рядов в многомерной системе анализа SSA (Hassani et al. 2010).

MSSA, SSA и бизнес-циклы [ править ]

Деловые циклы играют ключевую роль в макроэкономике и представляют интерес для множества игроков в экономике, включая центральные банки, политиков и финансовых посредников. Недавно были внедрены основанные на MSSA методы отслеживания бизнес-циклов, которые, как было показано, позволяют надежно оценивать циклическое положение экономики в режиме реального времени (de Carvalho et al., 2012 и de Carvalho and Rua, 2017) .

MSSA, SSA и единичный корень [ править ]

Применимость SSA к любому типу стационарных рядов или рядов с детерминированным трендом была расширена на случай ряда со стохастическим трендом, также известного как ряд с единичным корнем. В Hassani and Thomakos (2010) и Thomakos (2010) дается основная теория свойств и применения SSA в случае рядов из единичного корня, а также несколько примеров. Показано, что SSA в таких рядах создает особый вид фильтра, форма и спектральные свойства которого выводятся, и что прогнозирование единственной восстановленной компоненты сводится к скользящему среднему. SSA в единичных корнях, таким образом, обеспечивает "оптимизирующую" непараметрическую основу для сглаживания рядов с единичным корнем. Эта линия работы также распространяется на случай двух серий, каждая из которых имеет единичный корень, но коинтегрирована.Применение SSA в этой двумерной структуре дает сглаженный ряд общего корневого компонента.

Заполнение пробелов [ править ]

Версии SSA, заполняющие пробелы, могут использоваться для анализа наборов данных с неравномерной выборкой или содержащих недостающие данные (Schoellhamer, 2001; Голяндина, Осипов, 2007).

Schoellhamer (2001) показывает, что простая идея формально вычислить приблизительные внутренние продукты, опуская неизвестные члены, применима для длинных стационарных временных рядов. Голяндина и Осипов (2007) используют идею заполнения недостающих элементов в векторах, взятых из данного подпространства. Рекуррентное и векторное прогнозирование SSA можно рассматривать как частные случаи заполнения алгоритмов, описанных в статье.

Обнаружение структурных изменений [ править ]

SSA можно эффективно использовать в качестве непараметрического метода мониторинга временных рядов и обнаружения изменений . Для этого SSA выполняет отслеживание подпространства следующим образом. SSA применяется последовательно к начальным частям ряда, строит соответствующие подпространства сигналов и проверяет расстояния между этими подпространствами и запаздывающими векторами, сформированными из нескольких самых последних наблюдений. Если эти расстояния становятся слишком большими, предполагается, что в серии произошли структурные изменения (Голяндина и др., 2001, гл.3; Москвина, Жиглявский, 2003).

Таким образом, SSA можно использовать для обнаружения изменений не только в тенденциях, но и в изменчивости ряда, в механизме, определяющем зависимость между различными рядами, и даже в структуре шума. Этот метод оказался полезным для решения различных инженерных задач (например, Mohammad and Nishida (2011) в робототехнике).

Связь между SSA и другими методами [ править ]

SSA и авторегрессия . Типичная модель для SSA - это , где (сигнал, удовлетворяющий LRR) и - шум. Модель AR есть . Несмотря на то, что эти две модели выглядят похожими, они очень разные. SSA рассматривает AR только как компонент шума. AR (1), который представляет собой красный шум, является типичной моделью шума для SSA Монте-Карло (Allen and Smith, 1996).${\displaystyle x_{n}=s_{n}+e_{n}}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}s_{n-k}}$${\displaystyle e_{n}}$${\displaystyle x_{n}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}x_{n-k}+e_{n}}$

SSA и спектральный анализ Фурье . В отличие от анализа Фурье с фиксированным базисом функций синуса и косинуса, SSA использует адаптивный базис, генерируемый самим временным рядом. В результате базовая модель в SSA является более общей, и SSA может извлекать амплитудно-модулированные компоненты синусоидальной волны с частотами, отличными от . Методы, связанные с SSA, такие как ESPRIT, могут оценивать частоты с более высоким разрешением, чем спектральный анализ Фурье .${\displaystyle k/N}$

SSA и линейные рекуррентные отношения . Пусть сигнал моделируется серией, которая удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению ; то есть ряд, который может быть представлен как сумма произведений экспоненциальной, полиномиальной и синусоидальной волновых функций. Сюда входит модель суммы сброшенных синусоид , комплексная форма которой имеет вид . Методы, связанные с SSA, позволяют оценивать частоты и экспоненциальные множители (Голяндина, Жиглявский, 2013, раздел 3.8). Коэффициенты можно оценить методом наименьших квадратов . Расширение модели, где заменяются многочленами от , также можно рассматривать в рамках методов, связанных с SSA (Badeau et al., 2008).${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}s_{n-k}}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k}C_{k}\rho _{k}^{n}e^{i2\pi \omega _{k}n}}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$${\displaystyle \rho _{k}}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle C_{k}}$${\displaystyle n}$

SSA и методы подпространства сигнала . SSA можно рассматривать как метод, основанный на подпространстве, поскольку он позволяет оценить подпространство сигнала размерности с помощью .${\displaystyle r}$${\displaystyle \mathop {\mathrm {span} } (U_{1},\ldots ,U_{r})}$

SSA и модели пространства состояний . Основная модель, лежащая в основе SSA, - это где и шум. Формально эта модель относится к общему классу моделей пространства состояний. Специфика SSA заключается в том, что оценка параметров является второстепенной задачей в SSA, а процедуры анализа данных в SSA являются нелинейными, поскольку они основаны на SVD либо траектории, либо матрицы лаг-ковариации.${\displaystyle x_{n}=s_{n}+e_{n}}$${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{r}a_{k}s_{n-k}}$${\displaystyle e_{n}}$

SSA и независимый компонентный анализ (ICA). SSA используется ICA для слепого разделения источников в качестве этапа предварительной обработки (Pietilä et al., 2006). С другой стороны, ICA может использоваться как замена шага SVD в алгоритме SSA для достижения лучшей разделимости (Голяндина, Жиглявский, 2013, раздел 2.5.4).

SSA и регрессия . SSA может извлекать полиномиальные и экспоненциальные тренды. Однако, в отличие от регрессии, SSA не предполагает какой-либо параметрической модели, которая может дать значительное преимущество, когда исследовательский анализ данных выполняется без очевидной модели (Голяндина и др., 2001, гл.1).

SSA и линейные фильтры . Реконструкция ряда с помощью SSA может рассматриваться как адаптивная линейная фильтрация. Если длина окна мала, то каждый собственный вектор генерирует линейный фильтр ширины для реконструкции середины ряда , . Фильтрация не является причинной. Однако так называемая SSA последней точки может использоваться в качестве причинного фильтра (Голяндина, Жиглявский, 2013, раздел 3.9).${\displaystyle L}$${\displaystyle U_{i}=(u_{1},\ldots ,u_{L})^{\mathrm {T} }}$${\displaystyle 2L-1}$${\displaystyle {\widetilde {x}}_{s}}$${\displaystyle L\leq s\leq K}$

SSA и оценка плотности . Поскольку SSA может использоваться как метод сглаживания данных, его можно использовать как метод непараметрической оценки плотности (Голяндина и др., 2012).

См. Также [ править ]

• Многожильный метод
• Кратковременное преобразование Фурье
• Оценка спектральной плотности

Ссылки [ править ]

Этот раздел может содержать чрезмерное количество цитат . Пожалуйста, подумайте об удалении ссылок на ненужные или сомнительные источники , объединении цитат, где это возможно, или, при необходимости, отметке содержания для удаления. ( Октябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Акаике, Х. (1969): "Подбор моделей авторегрессии для прогнозирования", Ann. Inst. Стат. Матем., 21, 243–247.
• Аллен, М.Р. и А.В. Робертсон (1996): «Отличие модулированных колебаний от цветного шума в многомерных наборах данных», Clim. Дин. , 12, 775–784.
• Аллен, М.Р. и Л.А. Смит (1996) "Монте-Карло SSA: обнаружение нерегулярных колебаний в присутствии цветного шума". Журнал климата , 9 (12), 3373–3404.
• Бадо, Р., Дж. Ричард и Б. Дэвид (2008): «Эффективность ESPRIT для оценки смесей комплексных экспонент, модулированных полиномами». IEEE Transactions по обработке сигналов , 56 (2), 492–504.
• Барнетт Т.П. и К. Хассельманн (1979): «Методы линейного прогнозирования с применением к океаническим и атмосферным полям в тропической части Тихого океана», Rev. Geophys., 17, 949–968.
• Э. Боззо, Р. Карниел и Д. Фасино (2010): «Связь между анализом сингулярного спектра и анализом Фурье: теория и применение к мониторингу вулканической активности», Comput. Математика. Прил. 60 (3), 812–820
• Брумхед, Д.С., и Г.П. Кинг (1986a): «Получение качественной динамики из экспериментальных данных», Physica D , 20, 217–236.
• Брумхед, Д.С. и Г.П. Кинг (1986b): «О качественном анализе экспериментальных динамических систем». Нелинейные явления и хаос , Саркар С. (Ред.), Адам Хильгер, Бристоль, 113–144.
• Колебрук Дж. М. (1978): «Непрерывные записи планктона: зоопланктон и окружающая среда, Северо-Восточная Атлантика и Северное море», Oceanol. Акта , 1, 9–23.
• Данилов Д. и Жиглявский А. (Ред.) (1997): Основные компоненты временных рядов: метод гусеницы , Издательство Санкт-Петербургского университета. (На русском.)
• де Карвальо, М., Родригес, П.С. и Руа, А. (2012): «Отслеживание бизнес-цикла в США с помощью анализа сингулярного спектра» . Экон. Lett. , 114, 32‒35.
• де Карвальо, М., и Руа, А. (2017): «Прогнозирование разрыва выпуска в США в реальном времени: анализ сингулярного спектра в действии» . Int. J. Прогнозирование , 33, 185–198.
• М. Гил и Р. Вотар (1991): «Междекадные колебания и тенденция потепления во временных рядах глобальной температуры», Nature , 350, 324–327.
• Элснер, Дж. Б. и Цонис, А. А. (1996): Анализ сингулярного спектра. Новый инструмент в анализе временных рядов , Plenum Press.
• Fraedrich, K. (1986) "Оценка размеров погодных и климатических аттракторов". J. Atmos. Sci. 43, 419–432.
• М. Гил и Р. Вотар (1991): «Междекадные колебания и тенденция потепления во временных рядах глобальной температуры», Nature , 350, 324–327.
• Гил М. и Цзян Н. (1998): "Современные возможности прогнозирования Эль-Ниньо / Южного колебания", Geophys. Res. Lett. , 25, 171–174, 1998.
• Гил М., Аллен Р.М., Деттингер М.Д., Идей К., Кондрашов Д. и др. (2002) «Современные спектральные методы для климатических временных рядов» , Rev. Geophys. 40 (1), 3.1–3.41.
• Golyandina, Н. А. Коробейники и А. Zhigljavsky (2018): сингулярный спектральный анализ с R . Springer Verlag. ISBN  3662573784 .
• Голяндина, Н., В. Некруткин и А. Жиглявский (2001): Анализ структуры временных рядов: SSA и связанные методы . Чепмен и Холл / CRC. ISBN 1-58488-194-1 . 
• Голяндина, Н., Осипов Е. (2007) «Метод« Гусеница »-SSA для анализа временных рядов с пропущенными значениями», J. Stat. Строить планы. Вывод 137 (8), 2642–2653.
• Н. Голяндина, А. Пепелышев, А. Стеланд (2012): «Новые подходы к непараметрической оценке плотности и выбору параметров сглаживания», Ж. вычисл . Стат. Data Anal. 56 (7), 2206–2218.
• Голяндина, Н. и Д. Степанов (2005): «Подходы на основе SSA к анализу и прогнозированию многомерных временных рядов» . В: Материалы 5-го Санкт-Петербургского семинара по моделированию, 26 июня - 2 июля 2005 г. , Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург, с. 293–298.
• Голяндина, Н. и К. Усевич (2010): «2D-расширение сингулярного спектрального анализа: алгоритм и элементы теории». В кн . : Матричные методы: теория, алгоритмы и приложения (ред. В. Ольшевский, Е. Тыртышников). World Scientific Publishing, 449–473.
• Голяндина, Н., Жиглявский А. (2013) Анализ сингулярного спектра для временных рядов . Сводки Springer в статистике, Springer, ISBN 978-3-642-34912-6 . 
• Грот А., Феликс Ю., Кондрашов Д. и Гил М. (2016): «Межгодовая изменчивость температурного поля в северной части Атлантического океана и ее связь с воздействием ветрового напряжения», Journal of Climate , doi: 10.1175 / jcli-d-16-0370.1 .
• Грот, А. и М. Гил (2011): «Анализ многомерного сингулярного спектра и путь к фазовой синхронизации», Physical Review E 84, 036206, DOI : 10.1103 / PhysRevE.84.036206 .
• Грот, А. и М. Гил (2015): « Повторный визит к анализу сингулярного спектра Монте-Карло (SSA): обнаружение кластеров осцилляторов в многомерных наборах данных», Journal of Climate , 28, 7873-7893, DOI : 10.1175 / JCLI-D-15 -0100,1 .
• Харрис, Т. и Х. Ян (2010): «Фильтрация и частотная интерпретация анализа сингулярного спектра». Physica D 239, 1958–1967.
• Хассани, Х. и Д. Томакос, (2010): «Обзор сингулярного спектрального анализа для экономических и финансовых временных рядов». Статистика и ее интерфейс 3 (3), 377-397.
• Хассани, Х., А. Софи и А. Жиглявский (2011): «Прогнозирование ежедневного обменного курса с помощью анализа сингулярного спектра». Нелинейный анализ: приложения реального мира 11, 2023-2034.
• Хассани, Х., З. Сю и А. Жиглявский (2011): "Анализ сингулярного спектра на основе теории возмущений". Нелинейный анализ: приложения реального мира 12 (5), 2752-2766.
• Хассани, Х., С. Херави и А. Жиглявский (2012): «Прогнозирование промышленного производства Великобритании с помощью многомерного сингулярного спектрального анализа». Журнал прогнозирования 10.1002 / for.2244
• Хассани, Х., А. Жиглявский, К. Паттерсон и А. Софи (2011): «Комплексный тест на причинность, основанный на анализе сингулярного спектра». В: Иллари, П.М., Руссо, Ф., Уильямсон, Дж. (Ред.) Причинность в науке , 1-е изд., С. 379. Издательство Оксфордского университета, Лондон.
• Хассани, Х., и Махмудванд, Р. (2013). Многомерный сингулярный спектральный анализ: общий взгляд и новый подход к векторному прогнозированию. Международный журнал энергетики и статистики 1 (1), 55-83.
• Кеппенн, К.Л. и М. Гил (1993): «Адаптивная фильтрация и прогнозирование многомерных сигналов с шумом: приложение к субгодовой изменчивости атмосферного углового момента», Intl. J. Bifurcation & Chaos , 3, 625–634.
• Кондрашов Д. и М. Гил (2006): "Пространственно-временное заполнение недостающих точек в наборах геофизических данных" , Нелин. Геофизические процессы. , 13, 151–159.
• Кондрашов, Д., Ю. Шприц, М. Гил, 2010: "Заполнение пробелов в данных о солнечном ветре с помощью сингулярного спектрального анализа", Geophys. Res. Летт , 37, L15101,
• Мохаммад Ю. и Т. Нишида (2011) «О сравнении алгоритмов обнаружения точек изменения на основе SSA». IEEE SII , 938–945.
• Москвина, В., и А. Жиглявский (2003) "Алгоритм, основанный на анализе сингулярного спектра для обнаружения точки изменения". Commun Stat Simul Comput 32, 319–352.
• Некруткин, В. (2010) "Возмущения сигнальных подпространств для длинных сигналов". J. Stat. Интерфейс 3, 297–319.
• Паттерсон, К., Х. Хассани, С. Херави и А. Жиглявский (2011) "Анализ многомерного сингулярного спектра для прогнозирования изменений данных в реальном времени". Журнал прикладной статистики 38 (10), 2183-2211.
• Penland, C., Ghil, M., and Weickmann, KM (1991): «Адаптивная фильтрация и спектры максимальной энтропии в применении к изменениям атмосферного углового момента», J. Geophys. Res. , 96, 22659–22671.
• Пиетила, А., М. Эль-Сегайер, Р. Вигарио и Э. Песонен (2006) «Слепое разделение сердечных шумов из записей сердца». В: Rosca J, et al. (eds) Независимый анализ компонентов и слепое разделение сигналов, Лекционные заметки по информатике , том 3889, Springer, стр 470–477.
• Портес, Л.Л. и Агирре, Л.А. (2016): «Формулировка матрицы и алгоритм разложения по сингулярным числам для структурированного вращения варимакс в многомерном сингулярном спектральном анализе», Physical Review E , 93, 052216, DOI : 10.1103 / PhysRevE.93.052216 .
• де Прони, Г. (1795) «Экспериментальный и аналитический опыт по ле-лоис-де-ла-дилатабилит де-флюидов élastiques et sur celles de la force Expansive de la vapeur de l'eau et la vapeur de l'alkool à différentes températures». J. de l'Ecole Polytechnique , 1 (2), 24–76.
• Саней, С. и Х. Хассани (2015) Анализ сингулярного спектра биомедицинских сигналов . CRC Press, ISBN 9781466589278 - CAT № K20398. 
• Schoellhamer, D. (2001) "Анализ сингулярного спектра для временных рядов с отсутствующими данными". Geophys. Res. Lett. 28 (16), 3187–3190.
• Томакос, Д. (2010) "Медианное несмещенное оптимальное сглаживание и тренд. Извлечение". Журнал современных прикладных статистических методов 9,144-159.
• Р. Вотар и М. Гил (1989): «Анализ сингулярного спектра в нелинейной динамике с приложениями к палеоклиматическим временным рядам», Physica D , 35, 395–424.
• Vautard, R., Yiou, P., and M. Ghil (1992): "Анализ сингулярного спектра: инструментарий для коротких, зашумленных хаотических сигналов", Physica D , 58, 95-126.
• Weare, BC, и JN Nasstrom (1982): «Примеры расширенного эмпирического анализа ортогональных функций», Mon. Weather Rev. , 110, 784–812.
• Жиглявский, А. (приглашенный редактор) (2010) "Спецвыпуск по теории и практике сингулярного спектрального анализа временных рядов". Стат. Интерфейс 3 (3)

Внешние ссылки [ править ]

• Бесплатное программное обеспечение инструментария для анализа сингулярного спектра - метода нескольких конусов (SSA-MTM) от Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе.
• kSpectra Toolkit для Mac OS X от SpectraWorks.
• Caterpillar-SSA Документы и программное обеспечение от Gistat Group.
• Эффективная реализация SSA в R
• Примеры в R с пакетом Rssa
• Примененный SSA в R
• SSA и фазовая синхронизация в R
• Многомерный фильтр сингулярного спектра для отслеживания бизнес-циклов
• Демонстрация в Excel для анализа сингулярного спектра с использованием VBA
• Учебник по сингулярному спектральному анализу с помощью Matlab
• Учебное пособие по многоканальному сингулярному спектральному анализу с помощью Matlab
• Сингулярный спектральный анализ в Юлии