Прони анализ ( метод Прони ) был разработан Гаспара де Прони Riche в 1795 году , однако, практическое применение метода ожидало цифрового компьютера. [1] Подобно преобразованию Фурье , метод Прони извлекает ценную информацию из однородно дискретизированного сигнала и строит серию затухающих комплексных экспонент или затухающих синусоид . Это позволяет оценить частоту, амплитуду, фазу и компоненты затухания сигнала.
Метод
Позволять быть сигналом, состоящим из равномерно расположенные образцы. Метод Прони подходит для функции
к наблюдаемому . После некоторых манипуляций с использованием формулы Эйлера получается следующий результат. Это позволяет более прямое вычисление терминов.
где:
- - собственные значения системы,
- компоненты демпфирования,
- компоненты угловой частоты
- - фазовые составляющие,
- - амплитудные составляющие ряда, а
- это мнимая единица ().
Представления
Метод Прони - это, по сути, разложение сигнала с помощью комплексные экспоненты с помощью следующего процесса:
Регулярно пробовать таким образом -я часть образцы могут быть записаны как
Если состоит из затухающих синусоид, тогда будут пары комплексных экспонент, такие что
где
Поскольку суммирование комплексных экспонент является однородным решением линейного разностного уравнения , будет существовать следующее разностное уравнение:
Ключ к методу Прони заключается в том, что коэффициенты в разностном уравнении связаны со следующим полиномом:
Эти факты приводят к следующим трем шагам к методу Прони:
1) Постройте и решите матричное уравнение для значения:
Обратите внимание, что если , может потребоваться обобщенная обратная матрица для нахождения значений .
2) После нахождения значения находят корни (при необходимости численно) многочлена
В Корень -й степени этого многочлена будет равен .
3) С ценит значения являются частью системы линейных уравнений, которые можно использовать для решения значения:
где уникальные ценности используются. Можно использовать обобщенную обратную матрицу, если больше, чем используются образцы.
Обратите внимание, что решение для приведет к двусмысленности, поскольку только было решено, и для целого числа . Это приводит к тем же критериям выборки Найквиста, которым подчиняются дискретные преобразования Фурье:
Смотрите также
- Обобщенный метод пучка функций
- Вычисление разложения Прони с использованием авторегрессионного анализа
- Применение разложения Прони в частотно-временном анализе
Заметки
- ^ Hauer, JF; Демер, CJ; Шарф, LL (1990). «Первые результаты анализа Прони сигналов отклика энергосистемы». IEEE Transactions on Power Systems . 5 : 80–89. DOI : 10.1109 / 59.49090 . ЛВП : 10217/753 .
Рекомендации
- Carriere, R .; Моисей, Р.Л. (1992). «Моделирование радиолокационных целей высокого разрешения с использованием модифицированного оценщика Прони». Транзакции IEEE по антеннам и распространению . 40 : 13–18. DOI : 10.1109 / 8.123348 .
- Слюсарь, В. И. (1998). «Интерпретация метода Прони для решения долгосрочных задач» (PDF) . Радиоэлектроника и системы связи . 41 (1): 35–39.