Демпфирование - это влияние внутри колебательной системы или на нее , которое снижает или предотвращает ее колебания. В физических системах затухание вызывается процессами, которые рассеивают энергию, запасенную в колебаниях. [1] Примеры включают вязкое сопротивление (вязкость жидкости может препятствовать колебательной системе, вызывая ее замедление) в механических системах, сопротивление в электронных генераторах , а также поглощение и рассеяние света в оптических генераторах . Демпфирование, не основанное на потерях энергии, может быть важным в других колебательных системах, например, в биологических системах и велосипедах [2](напр. подвеска (механика) ). Не следует путать с трением , которое представляет собой диссипативную силу, действующую на систему. Трение может быть причиной или быть фактором демпфирования.
Коэффициент демпфирования - это безразмерная мера, описывающая, как колебания в системе затухают после возмущения. Многие системы демонстрируют колебательное поведение, когда они выходят из положения статического равновесия . Например, масса, подвешенная на пружине, может, если ее потянуть и отпустить, подпрыгнет вверх и вниз. При каждом отскоке система стремится вернуться в свое положение равновесия, но проскакивает его. Иногда потери (например, фрикционные ) демпфируют систему и могут вызывать постепенное затухание амплитуды колебаний до нуля или ослабление . Коэффициент затухания - это мера, описывающая, насколько быстро колебания затухают от одного отскока к другому.
Коэффициент демпфирования - это системный параметр, обозначаемый ζ (дзета), который может варьироваться от незатухающего ( ζ = 0 ), слабозатухающего ( ζ <1 ) до критически затухающего ( ζ = 1 ) до чрезмерного демпфирования ( ζ > 1 ).
Поведение колебательных систем часто представляет интерес в самых разных дисциплинах, включая технику управления , химическую инженерию , машиностроение , строительную инженерию и электротехнику . Физическая величина, которая колеблется, сильно варьируется и может быть колебанием высокого здания на ветру или скоростью электродвигателя , но нормализованный или безразмерный подход может быть удобным для описания общих аспектов поведения.
Колебательные случаи
В зависимости от степени демпфирования система демонстрирует различные колебательные режимы и скорости.
- Там, где система пружина-масса полностью без потерь, масса будет колебаться бесконечно, причем каждый отскок будет иметь одинаковую высоту с последним. Этот гипотетический случай называется незатухающим .
- Если бы система содержала большие потери, например, если бы эксперимент с пружиной и массой проводился в вязкой жидкости, масса могла бы медленно возвращаться в исходное положение, никогда не превышая ее. Этот случай называется сверхдемпфированием .
- Обычно масса имеет тенденцию выходить за пределы своего исходного положения, а затем возвращаться, снова превышая ее. При каждом выбросе некоторая энергия в системе рассеивается, и колебания затухают до нуля. Этот случай называется недемпфированным.
- Между случаями с избыточным и недостаточным демпфированием существует определенный уровень демпфирования, при котором система просто не сможет перескочить и не совершит ни одного колебания. Этот случай называется критическим демпфированием . Ключевое различие между критическим демпфированием и избыточным демпфированием состоит в том, что при критическом демпфировании система возвращается в состояние равновесия за минимальное время.
Затухающая синусоида
Затухать синусоидой или затухающая синусоида является синусоидальной функцией , амплитуда которого приближается к нулю при возрастании времени, соответствующем underdamped случае затухающих систем второго порядка, или underdamped дифференциальных уравнений второго порядка. [3] Затухающие синусоидальные волны обычно встречаются в науке и технике , где гармонический осциллятор теряет энергию быстрее, чем подается. Истинная синусоида, начинающаяся в момент времени = 0, начинается в начале координат (амплитуда = 0). Косинусоидальная волна начинается с максимального значения из-за разницы фаз от синусоиды. Данная синусоидальная форма волны может иметь промежуточную фазу, имеющую как синусоидальную, так и косинусоидальную составляющие. Термин «затухающая синусоида» описывает все такие затухающие формы волны, независимо от их начальной фазы.
Наиболее распространенная форма демпфирования, которая обычно принимается, - это форма, встречающаяся в линейных системах. Эта форма представляет собой экспоненциальное затухание, при котором внешняя огибающая последовательных пиков представляет собой кривую экспоненциального затухания. То есть, когда вы соединяете максимальную точку каждой последующей кривой, результат напоминает функцию экспоненциального затухания. Общее уравнение для экспоненциально затухающей синусоиды может быть представлено как:
где:
- - мгновенная амплитуда в момент времени t ;
- - начальная амплитуда огибающей;
- - скорость убывания, обратная единицам времени независимой переменной t ;
- - фазовый угол при t = 0;
- - угловая частота .
К другим важным параметрам относятся:
- Частота :, количество циклов в единицу времени. Выражается в обратных единицах времени., или герц .
- Постоянная времени :, время уменьшения амплитуды в e раз .
- Период полураспада - это время, за которое огибающая экспоненциальной амплитуды уменьшается в 2 раза. Он равен что примерно .
- Коэффициент демпфирования: - безразмерная характеристика скорости затухания относительно частоты, приблизительно , или точно .
- Фактор добротности :- еще одна безразмерная характеристика величины демпфирования; высокий Q указывает на медленное затухание относительно колебаний.
Определение коэффициента демпфирования
Коэффициент затухания является параметром, как правило , обозначается через г (греческой буквы дзета), [4] , который характеризует частотный отклик в виде обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка . Это особенно важно при изучении теории управления . Это также важно в гармоническом осцилляторе . В общем, системы с более высокими коэффициентами демпфирования (один или больше) будут демонстрировать больший эффект демпфирования. Системы с недостаточным демпфированием имеют значение меньше единицы. Системы с критическим демпфированием имеют коэффициент демпфирования ровно 1 или, по крайней мере, очень близок к нему.
Коэффициент демпфирования представляет собой математическое средство выражения уровня демпфирования в системе относительно критического демпфирования. Для затухающего гармонического осциллятора с массой m , коэффициентом демпфирования c и жесткостью пружины k его можно определить как отношение коэффициента демпфирования в дифференциальном уравнении системы к критическому коэффициенту демпфирования:
где уравнение движения системы
а соответствующий критический коэффициент демпфирования равен
или же
где
- - собственная частота системы.
Коэффициент демпфирования безразмерен и представляет собой отношение двух коэффициентов одинаковых единиц.
Вывод
Использование собственной частоты гармонического осциллятора и определение коэффициента демпфирования выше, мы можем переписать это как:
Это уравнение является более общим, чем просто система масса-пружина, а также применимо к электрическим цепям и другим областям. Это можно решить с помощью подхода.
где C и s - комплексные константы, причем s удовлетворяет
Два таких решения для двух значений s, удовлетворяющих уравнению, могут быть объединены для получения общих реальных решений с колебательными и затухающими свойствами в нескольких режимах:
- Незатухающий
- Это тот случай, когда соответствует незатухающему простому гармоническому осциллятору, и в этом случае решение имеет вид , как и ожидалось. Этот случай чрезвычайно редок в мире природы, и наиболее близкими примерами являются случаи, когда трение было целенаправленно снижено до минимальных значений.
- Недостаточно демпфированный
- Если s - пара комплексных значений, то каждый член комплексного решения представляет собой убывающую экспоненту в сочетании с колеблющейся частью, которая выглядит как . Этот случай имеет место для , и называется недостаточно демпфированным (например, эластичный трос).
- Сверхдемпфированный
- Если s - пара действительных значений, то решение представляет собой просто сумму двух убывающих экспонент без колебаний. Этот случай имеет место для , и называется сверхдемпфированием . Ситуации, в которых чрезмерное демпфирование практично, имеют тенденцию иметь трагические последствия, если происходит превышение, обычно электрическое, а не механическое. Например, посадка самолета на автопилоте: если система пролетит мимо и выпустит шасси слишком поздно, это приведет к катастрофе.
- Критически затухающий
- Случай, когда представляет собой границу между случаями сверхдемпфирования и недостаточного демпфирования и называется критическим демпфированием . Это оказывается желательным результатом во многих случаях, когда требуется инженерное проектирование демпфирующего генератора (например, механизма закрытия двери).
Q - фактор и скорость распада
Q - фактор , коэффициент демпфирования ζ , и экспоненциальной скорости распада α связаны таким образом, что [5]
Когда система второго порядка (то есть, когда система underdamped), она имеет два комплексно - сопряженных полюсов, каждый имеет действительную часть из; то есть параметр скорости распадапредставляет собой скорость экспоненциального затухания колебаний. Более низкий коэффициент демпфирования подразумевает меньшую скорость затухания, и поэтому системы с очень слабым демпфированием колеблются в течение длительного времени. [6] Например, высококачественный камертон с очень низким коэффициентом демпфирования имеет длительные колебания, которые очень медленно затухают после удара молотком.
Логарифмический декремент
Для недостаточно демпфированных колебаний коэффициент демпфирования также связан с логарифмическим декрементом . Коэффициент затухания может быть найден для любых двух пиков, даже если они не являются смежными. [7] Для соседних пиков: [8]
- где
где x 0 и x 1 - амплитуды любых двух последовательных пиков.
Как показано на правом рисунке:
где , - амплитуды двух последовательных положительных пиков и , - амплитуды двух последовательных отрицательных пиков.
Процент превышения
В теории управления , перерегулирование относится к выходу превышает его окончательное, стационарное значение. [9] Для пошагового ввода , то процент перерегулирование (РО) представляет собой максимальное значение минус значение шага , деленное на значение шага. В случае единичного шага перерегулирование - это просто максимальное значение реакции на скачок минус один.
Процент превышения (PO) связан с коэффициентом демпфирования ( ζ ) следующим образом:
И наоборот, коэффициент демпфирования ( ζ ), который приводит к заданному процентному превышению, определяется как:
Примеры и приложения
Вязкое сопротивление
Представьте, что вы роняете предмет. Пока этот объект падает в воздухе, единственная сила, действующая против него, - это сопротивление воздуха. Если вы уроните объект в воду или масло, он начнет замедляться с большей скоростью, пока в конечном итоге не остановится. Это концепция вязкого сопротивления. Применение этой концепции в повседневной жизни объясняет физику автоматических дверей или дверей с защитой от захлопывания. [10]
Демпфирование в электрических системах
Электрические системы, работающие с переменным током (AC), используют резисторы для гашения электрического тока, поскольку они являются периодическими. Диммерные переключатели или ручки регулировки громкости являются примерами демпфирования в электрической системе. [10]
Магнитное демпфирование
Кинетическая энергия, вызывающая колебания, рассеивается в виде тепла электрическими вихревыми токами, которые индуцируются при прохождении через полюса магнита катушкой или алюминиевой пластиной. Другими словами, сопротивление, вызванное магнитными силами, замедляет работу системы. Примером применения этой концепции в реальном мире являются тормоза на американских горках. [11]
Рекомендации
- ^ Steidel (1971). Введение в механические колебания . Джон Вили и сыновья. п. 37.
затухающий - термин, используемый при изучении вибрации для обозначения рассеяния энергии.
- ^ JP Meijaard; JM Papadopoulos; А. Руина и А. Л. Шваб (2007). «Линеаризованные уравнения динамики для баланса и управляемости велосипеда: эталон и обзор». Труды Королевского общества А . 463 (2084): 1955–1982. Bibcode : 2007RSPSA.463.1955M . DOI : 10.1098 / rspa.2007.1857 . S2CID 18309860 .
возмущения наклона и поворота угасают, казалось бы, приглушенным образом. Однако система не имеет истинного демпфирования и сохраняет энергию. Энергия наклонных и рулевых колебаний передается на скорость движения, а не рассеивается.
- ^ Douglas C. Giancoli (2000). [ Физика для ученых и инженеров с современной физикой (3-е издание) ]. Прентис Холл. п. 387 ISBN 0-13-021517-1
- ^ Альциатор, Дэвид Г. (2007). Введение в мехатронику и измерения (3-е изд.). Макгроу Хилл. ISBN 978-0-07-296305-2.
- ^ Уильям МакКи. Зиберт. Цепи, сигналы и системы . MIT Press.
- ^ Мин Рао и Хаймин Цю (1993). Техника АСУ ТП: учебник для инженеров-химиков, механиков и электриков . CRC Press. п. 96. ISBN 978-2-88124-628-9.
- ^ https://www.brown.edu/Departments/Engineering/Courses/En4/Notes/vibrations_free_damped/vibrations_free_damped.htm
- ^ https://pm-engr.com/damping-evaluation-2/
- ^ Куо, Бенджамин С. и Голнараги М.Ф. (2003). Системы автоматического управления (Восьмое изд.). Нью-Йорк: Уайли. п. §7.3 с. 236–237. ISBN 0-471-13476-7.
- ^ а б «демпфирование | Определение, типы и примеры» . Британская энциклопедия . Проверено 9 июня 2021 .
- ^ «Вихревые токи и магнитное затухание | Физика» . course.lumenlearning.com . Проверено 9 июня 2021 .
11. Британика, Энциклопедия. «Демпфирование». Британская энциклопедия, Британская энциклопедия, Inc., www.britannica.com/science/damping.
12. OpenStax, Колледж. «Физика». Lumen , course.lumenlearning.com/physics/chapter/23-4-eddy-currents-and-mintage-damping/.