Обобщенный метод пучка функций

Обобщенный метод карандаша функций ( GPOF ), также известный как метод карандаша матриц , представляет собой метод обработки сигналов для оценки сигнала или извлечения информации с комплексными экспонентами . Будучи похожим на методы Прони и оригинальные методы пучка функций, он, как правило, предпочтительнее других из-за его надежности и вычислительной эффективности. ^[1]

Этот метод был первоначально разработан Иньбо Хуа и Тапаном Саркаром для оценки поведения электромагнитных систем по их переходным характеристикам, основываясь на прошлой работе Саркара по оригинальному методу карандаша функций. ^{[1] [2]} Метод имеет множество приложений в электротехнике , в частности, связанных с проблемами вычислительной электромагнетизма , микроволновой техники и теории антенн . ^[1]

Метод [ править ]

Математическая основа [ править ]

Переходный электромагнитный сигнал может быть представлен как: ^[3]

${\ Displaystyle у (т) = Икс (Т) + N (Т) \ приблизительно \ сумма _ {я = 1} ^ {М} R_ {я} е ^ {s_ {я} т} + п (т); 0 \ leq t \ leq T,}$

куда

${\ Displaystyle у (т)}$ - наблюдаемый сигнал во временной области,

${\ Displaystyle п (т)}$- шум сигнала ,

${\ Displaystyle х (т)}$ это фактический сигнал,

${\ displaystyle R_ {i}}$- вычеты ( ),${\ displaystyle R_ {i}}$

${\ displaystyle s_ {i}}$являются полюсами системы, определяемые как ,${\ displaystyle s_ {i} = - \ alpha _ {i} + j \ omega _ {i}}$

${\ displaystyle \ alpha _ {я}}$коэффициенты демпфирования и

${\ displaystyle \ omega _ {я}}$- угловые частоты .

Та же последовательность, дискретизированная периодом в , может быть записана следующим образом:${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle y[kT_{s}]=x[kT_{s}]+n[kT_{s}]\approx \sum _{i=1}^{M}R_{i}z_{i}^{k}+n[kT_{s}];k=0,...,N-1;i=1,2,...,M}$,

где по тождествам Z-преобразования . Обобщенный пучок функций оценивает оптимальные и . ^[4]${\displaystyle z_{i}=e^{(-\alpha +j\omega )T_{s}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle z_{i}}$

Бесшумный анализ [ править ]

Для бесшумного случая производятся две матрицы, и : ^[3]${\displaystyle (N-L)\times L}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]={\begin{bmatrix}x(0)&x(1)&\cdots &x(L-1)\\x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L-1)&x(N-L)&\cdots &x(N-2)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L};}$ ${\displaystyle [Y_{2}]={\begin{bmatrix}x(1)&x(2)&\cdots &x(L)\\x(2)&x(3)&\cdots &x(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x(N-L)&x(N-L+1)&\cdots &x(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times L}}$

где определяется как параметр карандаша . и может быть разложен на следующие матрицы: ^[3]${\displaystyle L}$${\displaystyle Y_{1}}$${\displaystyle Y_{2}}$

${\displaystyle [Y_{1}]=[Z_{1}][B][Z_{2}]}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[Z_{1}][B][Z_{0}][Z_{2}]}$

куда

${\displaystyle [Z_{1}]={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{(N-L-1)}&z_{2}^{(N-L-1)}&\cdots &z_{M}^{(N-L-1)}\end{bmatrix}}_{(N-L)\times M};}$ ${\displaystyle [Z_{2}]={\begin{bmatrix}1&z_{1}&\cdots &z_{1}^{L-1}\\1&z_{2}&\cdots &z_{2}^{L-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&z_{M}&\cdots &z_{M}^{L-1}\end{bmatrix}}_{M\times L}}$

${\textstyle [Z_{0}]}$и являются диагональные матрицы с последовательно-размещены и значений, соответственно. ^[3]${\textstyle [B]}$${\textstyle M\times M}$ ${\textstyle z_{i}}$${\textstyle R_{i}}$

Если , то обобщенные собственные этого пучка матриц${\textstyle M\leq L\leq N-M}$

${\displaystyle [Y_{2}]-\lambda [Y_{1}]=[Z_{1}][B]([Z_{0}]-\lambda [I])[Z_{2}]}$

дают полюса системы, которые есть . Тогда обобщенные собственные векторы могут быть получены с помощью следующих тождеств: ^[3]${\displaystyle \lambda =z_{i}}$${\displaystyle p_{i}}$

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{1}]p_{i}=p_{i};}$    ${\displaystyle i=1,...,M}$

${\displaystyle [Y_{1}]^{+}[Y_{2}]p_{i}=z_{i}p_{i};}$    ${\displaystyle i=1,...,M}$

где обозначает обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза , также известное как псевдообратное преобразование. Разложение по сингулярным числам может использоваться для вычисления псевдообратного преобразования.${\displaystyle ^{+}}$

Фильтрация шума [ править ]

Если в системе присутствует шум и они объединены в общую матрицу данных, то : ^[3]${\textstyle [Y_{1}]}$${\textstyle [Y_{2}]}$${\textstyle [Y]}$

${\displaystyle [Y]={\begin{bmatrix}y(0)&y(1)&\cdots &y(L)\\y(1)&y(2)&\cdots &y(L+1)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\y(N-L-1)&y(N-L)&\cdots &y(N-1)\end{bmatrix}}_{(N-L)\times (L+1)}}$

где зашумленные данные. Для эффективной фильтрации L выбирается между и . Разложение по сингулярным значениям на урожайности:${\displaystyle y}$${\textstyle {\frac {N}{3}}}$${\textstyle {\frac {N}{2}}}$${\textstyle [Y]}$

${\displaystyle [Y]=[U][\Sigma ][V]^{H}}$

В этом разложении, и являются унитарными матрицы с соответствующими собственными векторами и и являются диагональной матрицей с особыми значениями из . Верхний индекс обозначает сопряженное транспонирование . ^{[3] [4]}${\textstyle [U]}$${\textstyle [V]}$ ${\textstyle [Y][Y]^{H}}$${\textstyle [Y]^{H}[Y]}$${\textstyle [\Sigma ]}$${\textstyle [Y]}$${\textstyle H}$

Затем выбирается параметр для фильтрации. Особые значения после , которые ниже порога фильтрации, обнуляются; для произвольного сингулярного значения порог обозначается следующей формулой: ^[1]${\textstyle M}$${\textstyle M}$${\textstyle \sigma _{c}}$

${\displaystyle {\frac {\sigma _{c}}{\sigma _{max}}}=10^{-p}}$,

${\textstyle \sigma _{max}}$и p - максимальное сингулярное значение и значащие десятичные цифры соответственно. Для данных со значащими цифрами с точностью до p особые значения, указанные ниже , считаются шумом. ^[4]${\textstyle 10^{-p}}$

${\textstyle [V_{1}']}$и получаются путем удаления последней и первой строки и столбца отфильтрованной матрицы соответственно; столбцы представляют . Отфильтрованные и матрицы получаются как: ^[4]${\textstyle [V_{2}']}$${\textstyle [V']}$${\textstyle M}$${\textstyle [\Sigma ]}$${\textstyle [\Sigma ']}$${\textstyle [Y_{1}]}$${\textstyle [Y_{2}]}$

${\displaystyle [Y_{1}]=[U][\Sigma '][V_{1}']^{H}}$

${\displaystyle [Y_{2}]=[U][\Sigma '][V_{2}']^{H}}$

Предварительная фильтрация может использоваться для борьбы с шумом и улучшения отношения сигнал / шум (SNR). ^[1] Метод полосового матричного карандаша (BPMP) представляет собой модификацию метода GPOF с использованием полосовых фильтров FIR или IIR . ^{[1] [5]}

GPOF может обрабатывать сигнал / шум до 25 дБ. Для GPOF, как и для BPMP, разброс оценок приближенно достигает границы Крамера – Рао . ^{[3] [5] [4]}

Расчет остатков [ править ]

Вычеты комплексных полюсов получаются с помощью задачи наименьших квадратов : ^[1]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}y(0)\\y(1)\\\vdots \\y(N-1)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\z_{1}&z_{2}&\cdots &z_{M}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{1}^{N-1}&z_{2}^{N-1}&\cdots &z_{M}^{N-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\\\vdots \\R_{M}\end{bmatrix}}}$

Приложения [ править ]

Этот метод обычно используется для оценки интегралов Зоммерфельда в методе дискретных комплексных изображений для метода моментов , где спектральная функция Грина аппроксимируется как сумма комплексных экспонент. ^{[1] [6]} Кроме того, этот метод используется в антенном анализе , оценке S-параметров в микроволновых интегральных схемах , анализе распространения волн, индикации движущихся целей и обработке радиолокационных сигналов . ^{[1] [7] [8]}

См. Также [ править ]

• Обобщенная проблема собственных значений
• Матричный карандаш
• Метод Прони

Ссылки [ править ]