Случайное поле

---

В физике и математике случайное поле — это случайная функция в произвольной области (обычно в многомерном пространстве, таком как ). То есть это функция , которая принимает случайное значение в каждой точке (или какой-то другой области). Его также иногда считают синонимом случайного процесса с некоторыми ограничениями на набор его индексов. ^[1] То есть, согласно современным определениям, случайное поле является обобщением стохастического процесса, где базовый параметр больше не обязательно должен быть действительным или целочисленным «временем», но вместо этого может принимать значения, которые являются многомерными векторами.${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle е (х)}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$или точки на некотором многообразии . ^[2]

Учитывая вероятностное пространство , X - значное случайное поле представляет собой набор X - значных случайных величин , индексированных элементами в топологическом пространстве T. То есть случайное поле F представляет собой набор${\ Displaystyle (\ Омега, {\ mathcal {F}}, P)}$

где каждая является X -значной случайной величиной.${\ Displaystyle F_ {т}}$

В своей дискретной версии случайное поле представляет собой список случайных чисел, индексы которых отождествляются с дискретным набором точек в пространстве (например, n- мерном евклидовом пространстве ). Предположим, что есть четыре случайные величины, , , и , расположенные в двумерной сетке в точках (0,0), (0,2), (2,2) и (2,0) соответственно. Предположим, что каждая случайная величина может принимать значение -1 или 1, а вероятность значения каждой случайной величины зависит от ее ближайших соседей. Это простой пример дискретного случайного поля.${\ Displaystyle X_ {1}}$${\ Displaystyle X_ {2}}$${\ Displaystyle X_ {3}}$${\ Displaystyle X_ {4}}$

В более общем смысле значения, которые может принимать каждое из них, могут быть определены в непрерывной области. В более крупных сетках также может быть полезно думать о случайном поле как о случайной переменной с «функциональным значением», как описано выше. В квантовой теории поля это понятие обобщается на случайный функционал , который принимает случайное значение в пространстве функций (см. Интеграл Фейнмана ). ${\ Displaystyle X_ {я}}$

Существует несколько видов случайных полей, в том числе марковское случайное поле (MRF), случайное поле Гиббса , условное случайное поле (CRF) и гауссовское случайное поле . В 1974 году Джулиан Бесаг предложил метод аппроксимации, основанный на связи между MRF и RF Гиббса. ^{[ нужна ссылка ]}

---