В теории вероятностей , теорема Слуцкого расширяет некоторые свойства алгебраических операций на сходящихся последовательности из действительных чисел в последовательность случайных величин . [1]
Теорема названа в честь Евгения Слуцкого . [2] Теорема Слуцкого также приписывается Харальду Крамеру . [3]
Заявление
Позволять быть последовательностями скалярных / векторных / матричных случайных элементов . Если сходится по распределению к случайному элементу а также сходится по вероятности к константе , тогда
- при условии, что c обратима,
где обозначает сходимость в распределении .
Заметки:
- Требование, чтобы Y n сходилось к константе, важно - если бы оно сходилось к невырожденной случайной величине, теорема больше не действовала бы. Например, пусть а также . Суммадля всех значений n . Более того,, но не сходится по распределению к , где , , а также а также независимы. [4]
- Теорема останется в силе, если мы заменим все сходимости по распределению сходимостями по вероятности.
Доказательство
Эта теорема следует из того факта, что если X n сходится по распределению к X, а Y n сходится по вероятности к константе c , то объединенный вектор ( X n , Y n ) сходится по распределению к ( X , c ) ( см. Здесь ) .
Далее применим теорему о непрерывном отображении , признавая, что функции g ( x , y ) = x + y , g ( x , y ) = xy и g ( x , y ) = x y −1 непрерывны (для последней функции чтобы быть непрерывным, y должно быть обратимым).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Голдбергер, Артур С. (1964). Эконометрическая теория . Нью-Йорк: Вили. стр. 117 -120.
- ^ Слуцкий, Е. (1925). "Über stochastische Asymptoten und Grenzwerte". Метрон (на немецком языке). 5 (3): 3–89. JFM 51.0380.03 .
- ^ Теорема Слуцкого также называется теоремой Крамера в соответствии с замечанием 11.1 (стр. 249) к Gut, Аллан (2005). Вероятность: аспирантура . Springer-Verlag. ISBN 0-387-22833-0.
- ^ См. Цзэн, Дунлинь (осень 2018 г.). «Теория случайных величин с большими выборками (слайды лекций)» (PDF) . Расширенная вероятность и статистический вывод I (BIOS 760) . Университет Северной Каролины в Чапел-Хилл. Слайд 59.
дальнейшее чтение
- Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2001). Статистический вывод . Пасифик Гроув: Даксбери. С. 240–245. ISBN 0-534-24312-6.
- Grimmett, G .; Стирзакер, Д. (2001). Вероятность и случайные процессы (3-е изд.). Оксфорд.
- Хаяси, Фумио (2000). Эконометрика . Издательство Принстонского университета. С. 92–93. ISBN 0-691-01018-8.