В теории вероятностей теорема о непрерывном отображении утверждает, что непрерывные функции сохраняют пределы, даже если их аргументы являются последовательностями случайных величин. Непрерывная функция в определении Гейне - это такая функция, которая отображает сходящиеся последовательности в сходящиеся последовательности: если x n → x, то g ( x n ) → g ( x ). Теорема о непрерывном отображении утверждает, что это также будет верно, если мы заменим детерминированную последовательность { x n } последовательностью случайных величин { X n} и заменить стандартное понятие сходимости действительных чисел «→» одним из типов сходимости случайных величин .
Эта теорема была впервые доказана Генри Манном и Абрахамом Вальдом в 1943 г. [1] , поэтому ее иногда называют теоремой Манна – Вальда . [2] Между тем Денис Сарган называет это общей теоремой преобразований . [3]
Заявление
Пусть { Х п }, Х быть случайные элементы , определенные на метрическом пространстве S . Предположим, что функция g : S → S ′ (где S ′ - другое метрическое пространство) имеет множество точек разрыва D g таких, что Pr [ X ∈ D g ] = 0 . Тогда [4] [5]
где верхние индексы «d», «p» и «as» обозначают сходимость по распределению , сходимость по вероятности и почти надежную сходимость соответственно.
Доказательство
Пространства S и S ' снабжены определенными метриками. Для простоты мы будем обозначать обе эти метрики, используя | х - у | обозначение, даже если метрики могут быть произвольными и не обязательно евклидовыми.
Конвергенция в распределении
Нам понадобится конкретное утверждение из теоремы Портманто : сходимость по распределению эквивалентно
- для любого ограниченного непрерывного функционала f .
Итак, достаточно доказать, что для любого ограниченного непрерывного функционала f . Обратите внимание, чтосам является ограниченным непрерывным функционалом. Итак, утверждение следует из приведенного выше утверждения.
Сходимость по вероятности
Зафиксируем произвольное ε > 0. Тогда для любого δ > 0 рассмотрим множество B δ, определенное как
Это множество точек непрерывности x функции g (·), для которых можно найти в пределах δ -окрестности x точку, отображаемую за пределами ε -окрестности g ( x ). По определению непрерывности это множество сужается при стремлении δ к нулю, так что lim δ → 0 B δ = ∅.
Теперь предположим, что | g ( X ) - g ( X n ) | > ε . Это означает, что верно хотя бы одно из следующего: либо | X - X n | ≥ δ , либо X ∈ D g , либо X ∈ B δ . В терминах вероятностей это можно записать как
В правой части первое слагаемое сходится к нулю при n → ∞ для любого фиксированного δ по определению сходимости по вероятности последовательности { X n }. Второй член сходится к нулю при δ → 0, поскольку множество B δ сжимается до пустого множества. И последнее слагаемое тождественно равно нулю по условию теоремы. Отсюда вывод:
что означает, что g ( X n ) сходится к g ( X ) по вероятности.
Почти верная сходимость
По определению непрерывности функции g (·),
в каждой точке X ( ω ), где g (·) непрерывна. Следовательно,
потому что пересечение двух почти верных событий почти наверняка.
По определению заключаем, что g ( X n ) почти наверное сходится к g ( X ).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Манн, HB; Вальд, А. (1943). «О стохастических отношениях лимитов и ордеров» . Анналы математической статистики . 14 (3): 217–226. DOI : 10.1214 / АОМ / 1177731415 . JSTOR 2235800 .CS1 maint: ref дублирует значение по умолчанию ( ссылка )
- ^ Амемия, Такеши (1985). Продвинутая эконометрика . Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета. п. 88. ISBN 0-674-00560-0.
- ^ Сарган, Денис (1988). Лекции по углубленной эконометрической теории . Оксфорд: Бэзил Блэквелл. С. 4–8. ISBN 0-631-14956-2.
- ^ Биллингсли, Патрик (1969). Сходимость вероятностных мер . Джон Вили и сыновья. п. 31 (следствие 1). ISBN 0-471-07242-7.
- ^ Ван дер Ваарт, AW (1998). Асимптотическая статистика . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 7 (теорема 2.3). ISBN 0-521-49603-9.