Малые латинские квадраты и квазигруппы

Латинские квадраты и квазигруппы - эквивалентные математические объекты, хотя первые имеют комбинаторную природу, а вторые - более алгебраические . В приведенном ниже листинге будут рассмотрены примеры некоторых очень малых порядков , которые представляют собой длину стороны квадрата или количество элементов в эквивалентной квазигруппе.

Эквивалентность [ править ]

Для квазигруппы $Q$ с $n$ элементами ее таблица Кэли (почти повсеместно называемая таблицей умножения ) представляет собой таблицу $(n + 1) \times (n + 1),$ которая включает границы; верхний ряд заголовков столбцов и левый столбец заголовков строк. Удаление границ оставляет массив $n \times n,$ который представляет собой латинский квадрат. Этот процесс можно обратить вспять, начав с латинского квадрата, введя граничную строку и столбец, чтобы получить таблицу умножения квазигруппы. Хотя существует полный произвол в том, как выполняется это гранирование, квазигруппы, полученные с помощью различных выборов, иногда эквивалентны в смысле, приведенном ниже.

Изотопия и изоморфизм [ править ]

Два латинских квадрата, $L$ ₁ и $L$ ₂ стороны $n,$ являются изотопными, если есть три биекции из строк, столбцов и символов $L$ ₁ в строки, столбцы и символы $L$ ₂ соответственно, которые отображают $L$ ₁ в $L$ ₂ . ^[1] Изотопия - это отношение эквивалентности, и классы эквивалентности называются изотопическими классами .

Существует более сильная форма эквивалентности. Два латинских квадрата, $L$ ₁ и $L$ ₂ стороны $n$ с общим набором символов $S,$ который также является набором индексов для строк и столбцов каждого квадрата, изоморфны, если существует биекция $g: S \to S$ такая, что $g (L 1 (я, J)) = L 2 (г (я), г (J))$ для всех $I$ , $J$ в $S$ . ^[1]Альтернативный способ определить изоморфные латинские квадраты - сказать, что пара изотопических латинских квадратов изоморфна, если три биекции, используемые для демонстрации их изотопности, фактически равны. ^[2] Изоморфизм также является отношением эквивалентности, и его классы эквивалентности называются классами изоморфизма .

Альтернативное представление латинского квадрата - ортогональный массив . Для латинского квадрата порядка $n$ это матрица размером $n$ ² × 3 со столбцами, обозначенными $r$ , $c$ и $s,$ и строки которой соответствуют одной позиции латинского квадрата, а именно строке позиции, столбцу позиции и символ в позиции. Таким образом, для латинского квадрата порядка трех,

1	2	3
2	3	1
3	1	2

ортогональный массив имеет вид:

$р$	$c$	$s$
1	1	1
1	2	2
1	3	3
2	1	2
2	2	3
2	3	1
3	1	3
3	2	1
3	3	2

Условием для матрицы подходящего размера для представления латинского квадрата является то, что для любых двух столбцов $n 2$ упорядоченных пар, определяемых строками в этих столбцах, представляют собой все пары ( $i, j$ ) с 1 ≤ $i, j \leq n$ , по одному разу каждая. .

Это свойство не теряется при перестановке трех столбцов (но не меток), поэтому получается другой ортогональный массив (и, таким образом, еще один латинский квадрат). Например, путем перестановки первых двух столбцов, что соответствует транспонированию квадрата (отражающемуся относительно его главной диагонали), получается другой латинский квадрат, который может быть или не быть изотопным оригиналу. В этом случае, если квазигруппа, соответствующая этому латинскому квадрату, удовлетворяет закону коммутативности , новый латинский квадрат будет таким же, как исходный. Всего существует шесть возможностей, включая «ничего не делать», что дает не более шести латинских квадратов, называемых конъюгатами (также парастрофами ) исходного квадрата. ^[3]

Два латинских квадрата называются паратопными , а также изотопными основного класса , если один из них изотопен сопряженному с другим. Это также отношение эквивалентности, причем классы эквивалентности называются основными классами , видами или классами паратопии . ^[3] Каждый основной класс содержит до шести изотопических классов.

Основной класс - это несвязное объединение изотопических классов, а изотопический класс - это несвязное объединение классов изоморфизма. ^[4]

Изотопные квазигруппы [ править ]

Пусть $(Q, \circ)$ и $(R, *)$ - две квазигруппы. Упорядоченная тройка $(е, г, ч)$ биекций из $Q$ на $R$ называется изотопии из $(Q, о)$ на $(R, *)$ , если $F (х) * г (у) = ч (х \circ у)$ для все $x, y$ в $G$ . Такие квазигруппы называются изотопными . ^[5]

Если в приведенном выше определении $f = g = h,$ то квазигруппы называются изоморфными . ^[6]

В отличие от ситуации с латинскими квадратами, когда две изотопные квазигруппы представлены таблицами Кэли (латинские квадраты с рамкой ), перестановки $f$ и $g$ действуют только на граничных заголовках и не перемещают столбцы и строки, в то время как $h$ действует на тело таблицы. . ^[5]

Перестановка строк и столбцов таблицы Кэли (включая заголовки) не изменяет квазигруппу, которую она определяет, однако латинский квадрат, связанный с этой таблицей, будет переставлен в изотопический латинский квадрат. Таким образом, нормализация таблицы Кэли (размещение заголовков границ в некотором фиксированном заданном порядке путем перестановки строк и столбцов, включая заголовки) сохраняет изотопический класс соответствующего латинского квадрата. Кроме того, если две нормализованные таблицы Кэли представляют изоморфные квазигруппы, то связанные с ними латинские квадраты также изоморфны. Следовательно, количество различных квазигрупп данного порядка - это количество классов изоморфизма латинских квадратов этого порядка. ^[7]

Обозначение [ править ]

Набор символов, используемых в латинском квадрате (или квазигруппе), является произвольным, и отдельные символы не несут смысла, даже если они могут иметь значение в других контекстах. Таким образом, поскольку чаще всего используются наборы символов ${1,2, ..., n$ } или ${0,1, ..., n - 1$ }, нужно помнить, что эти символы не несут числового значения. Чтобы подчеркнуть этот момент, маленькие латинские квадраты иногда используют буквы алфавита в качестве набора символов.

Подсчет латинских квадратов [ править ]

Поскольку латинский квадрат является комбинаторным объектом, набор символов, используемых для записи квадрата, не имеет значения. Таким образом, их следует рассматривать как латинские квадраты:

{\ displaystyle {\ begin {matrix} a & b \\ b & a \ end {matrix}}}

и

{\ displaystyle {\ begin {matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \ end {matrix}}.}

Подобным образом и по той же причине

{\ displaystyle {\ begin {matrix} b & a \\ a & b \ end {matrix}}}

и

{\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}}

следует рассматривать как то же самое. Таким образом,

{\begin{matrix}a&b\\b&a\end{matrix}}

и

{\begin{matrix}b&a\\a&b\end{matrix}}

нельзя рассматривать как разные латинские квадраты.

Этот интуитивный аргумент можно уточнить. Латинские квадраты

{\begin{matrix}a&b\\b&a\end{matrix}}

и

{\begin{matrix}b&a\\a&b\end{matrix}},

являются изотопными несколькими способами. Пусть ( $a, b$ ) будет инволютивной перестановкой на множестве $S = {a, b$ }, отправляющей $a$ в $b$ и $b$ в $a$ . Затем изотопия ${(a, b), id, id$ } поменяет местами две строки первого квадрата, чтобы дать второй квадрат ( $id$ - это тождественная перестановка). Но ${id, (a, b), id$ }, который меняет местами два столбца, также является изотопией, как и ${id, id, (a, b)$ }, который меняет местами два символа. Однако ${(a, b), (a, b), (a, b)$ } также является изотопией между двумя квадратами, и поэтому эта пара квадратов изоморфна.

Уменьшенные квадраты [ править ]

Нахождение данного класса изоморфизма латинского квадрата может быть сложной вычислительной задачей для квадратов большого порядка. Чтобы несколько уменьшить проблему, латинскому квадрату всегда можно придать стандартную форму, известную как сокращенный квадрат . Элементы верхней строки уменьшенного квадрата записаны в некотором естественном порядке для набора символов (например, целые числа в возрастающем порядке или буквы в алфавитном порядке). Записи в левом столбце располагаются в том же порядке. Поскольку это можно сделать путем перестановки строк и столбцов, каждый латинский квадрат изотопен сокращенному квадрату. Таким образом, каждый изотопический класс должен содержать сокращенный латинский квадрат, однако латинский квадрат может иметь более одного приведенного квадрата, изотопного ему. Фактически, в данном классе изоморфизма может быть более одного приведенного квадрата. ^[8]

Например, сокращенные латинские квадраты четвертого порядка,

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\\3&1&4&2\\4&3&2&1\end{matrix}}

и

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&2&1\\4&3&1&2\end{matrix}}

оба находятся в классе изоморфизма, который также содержит приведенный квадрат

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{matrix}}.

Это можно показать с помощью изоморфизмов {(3,4), (3,4), (3,4)} и {(2,3), (2,3), (2,3)} соответственно. ^[9]

Поскольку изотопические классы не пересекаются, количество приведенных латинских квадратов дает верхнюю границу количества изотопических классов. Кроме того, общее количество латинских квадратов равно $n! (N - 1)!$ умноженное на количество уменьшенных квадратов. ^[10]

Нормализуйте таблицу Кэли квазигруппы так же, как сокращенный латинский квадрат. Тогда квазигруппа, ассоциированная с сокращенным латинским квадратом, имеет (двусторонний) элемент идентичности (а именно, первый элемент среди заголовков строк). Квазигруппа с двусторонней идентичностью называется петлей . Некоторые, но не все петли представляют собой группы. Чтобы быть группой, также должен выполняться ассоциативный закон.

Изотопические инварианты [ править ]

Подсчет различных подструктур в латинском квадрате может помочь отличить их друг от друга. Некоторые из этих подсчетов одинаковы для каждого изотопа латинского квадрата и называются изотопическими инвариантами. Одним из таких инвариантов является количество подквадратов 2 × 2, называемых интеркалятами . Другой - общее количество трансверсалей , набор из $n$ позиций в латинском квадрате порядка $n$ , по одной в каждой строке и по одной в каждом столбце, которые не содержат ни одного элемента дважды. Латинские квадраты с разными значениями этих отсчетов должны принадлежать к разным изотопическим классам. Количество интеркалятов также является инвариантом основного класса.

Заказ 1 [ править ]

Для первого порядка существует только один латинский квадрат с символом 1 и одна квазигруппа с базовым набором {1}; это группа, тривиальная группа .

Заказ 2 [ править ]

Есть только один приведенный латинский квадрат второго порядка (и всего два), а именно

{\begin{matrix}1&2\\2&1\end{matrix}}.

Поскольку имеется только один приведенный квадрат этого порядка, имеется только один изотопический класс. Фактически, этот изотопический класс также является классом изоморфизма ( показанным выше ). ^[9]^[1]

Поскольку существует только один класс изоморфизма латинских квадратов, существует только одна квазигруппа второго порядка (с точностью до изоморфизма), и это группа, обычно обозначаемая ℤ / 2 ℤ , циклическая группа второго порядка.

Заказ 3 [ править ]

Также есть только один сокращенный латинский квадрат третьего порядка (из 12),

{\begin{matrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\end{matrix}}.

Таким образом, существует только один изотопический класс. ^[9] Однако этот изотопический класс представляет собой объединение пяти классов изоморфизма. ^[1]

Три из пяти классов изоморфизма содержат по три латинских квадрата каждый, один содержит два, а один содержит только один. Приведенный квадрат принадлежит классу изоморфизма с тремя элементами, и поэтому соответствующая квазигруппа является петлей, фактически это группа ℤ / 3 ℤ , циклическая группа третьего порядка. Латинский квадрат, представляющий каждый из этих классов изоморфизма, задается следующим образом (число под каждым - это количество квадратов в соответствующем классе изоморфизма):

{\begin{matrix}1&2&3\\2&3&1\\3&1&2\\&(3)&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}2&3&1\\1&2&3\\3&1&2\\&(3)&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}2&1&3\\3&2&1\\1&3&2\\&(3)\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}3&2&1\\2&1&3\\1&3&2\\&(2)&\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}1&3&2\\3&2&1\\2&1&3\\&(1)&\end{matrix}}.

Заказ 4 [ править ]

Есть четыре сокращенных латинских квадрата четвертого порядка (из 576 квадратов). Это:

{\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&1&2\\4&3&2&1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\2&1&4&3\\3&4&2&1\\4&3&1&2\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\\3&4&1&2\\4&1&2&3\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&2&3&4\\2&4&1&3\\3&1&4&2\\4&3&2&1\end{matrix}}.

Последние три из них изоморфны ( см. Выше ). Есть два основных класса, два изотопических класса и 35 классов изоморфизма. Среди 35 квазигрупп только две являются петлями, и фактически они являются группами. Первому квадрату выше соответствует четвертая группа Клейна , а любому из других трех квадратов соответствует циклическая группа ℤ / 4 ℤ . Первый квадрат имеет восемь трансверсалей и 12 прослоек, в то время как каждый из остальных квадратов не имеет трансверсалей и четырех вставок.

Класс изоморфизма четвертой группы Клейна состоит из четырех членов, а класс изоморфизма циклической группы состоит из 12 членов. Из 576 латинских квадратов 288 являются решениями версии судоку 4 × 4 , иногда называемой Ши Доку [1] .

Заказ 5 [ править ]

Из 161 280 латинских квадратов пятого порядка есть 56 сокращенных квадратов. Есть два основных класса и только два изотопических класса, но 1411 классов изоморфизма. Есть шесть классов изоморфизма, которые содержат редуцированные квадраты, то есть есть шесть петель, только одна из которых является группой, циклической группой пятого порядка. ^[1]

Ниже приведены два приведенных латинских квадрата пятого порядка, по одному от каждого изотопического класса. ^[11]

{\begin{matrix}0&1&2&3&4\\1&2&3&4&0\\2&3&4&0&1\\3&4&0&1&2\\4&0&1&2&3\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}0&1&2&3&4\\1&0&3&4&2\\2&3&4&0&1\\3&4&1&2&0\\4&2&0&1&3\end{matrix}}

Первый квадрат имеет 15 трансверсалей, ни интеркалят и является без рамки Кэли таблицы циклической группы ℤ / 5 ℤ . Второй квадрат состоит из трех поперечных и четырех прослоек. Он представляет собой цикл, который не является группой, поскольку, например, 2 + (3 + 4) = 2 + 1 = 3, а (2 + 3) + 4 = 0 + 4 = 4, поэтому ассоциативный закон не держать.

Приказы с 6 по 10 [ править ]

Количество латинских квадратов по мере увеличения порядка демонстрирует явление, известное как комбинаторный взрыв ; даже небольшому увеличению размера соответствует огромное увеличение разновидностей. Основные подсчеты приведены в следующих двух таблицах, ^[1], и не намного больше того, что представлено здесь, известно с точностью.

Количество изотопических классов латинских квадратов и квазигрупп (классов изоморфизма)
$п$	основные классы	классы изотопии	классы изоморфизма
6	12	22	1,130,531
7	147	564	12 198 455 835
8	283 657	1,676,267	2 697 818 331 680 661
9	19 270 853 541	115 618 721 533	15 224 734 061 438 247 321 497
10	34 817 397 894 749 939	208 904 371 354 363 006	2,750,892,211,809,150,446,995,735,533,513

Цифры уменьшенных латинских квадратов и петель разного размера
$п$	уменьшенные латинские квадраты размера $n$	петли размера $n$
6	9 408	109
7	16 942 080	23 746
8	535 281 401 856	106 228 849
9	377 597 570 964 258 816	9 365 022 303 540
10	7 580 721 483 160 132 811 489 280	20 890 436 195 945 769 617

История [ править ]

Этот отчет следует за McKay, Meynert & Myrvold (2007 , стр. 100).

Подсчет латинских квадратов имеет долгую историю, но опубликованные отчеты содержат много ошибок. Эйлер в 1782 г. ^[12] и Кэли в 1890 г. ^[13] оба знали число сокращенных латинских квадратов до пяти. В 1915 г. Мак-Магон ^[14] подошел к проблеме иначе, но сначала получил неправильное значение для пятого порядка. М. Фролов в 1890 г. ^[15] и Тэрри в 1901 г. ^[16]^[17] нашли число приведенных квадратов шестого порядка. М. Фролов неверно подсчитал уменьшенные квадраты седьмого порядка. Р. А. Фишер и Ф. Йейтс , ^[18]не зная о более ранних работах Э. Шёнхардта, ^[19] дал число изотопических классов порядков до шести. В 1939 году HW Norton обнаружил 562 изотопических классов седьмого порядка ^[20], но признал, что его метод был неполным. A. Sade в 1951 г. ^[21], но ранее опубликовано в частном порядке в 1948 г., и PN Saxena ^[22] обнаружили больше классов, а в 1966 г. DA Preece отметил, что это исправило результат Нортона до 564 изотопических классов. ^[23] Однако в 1968 г. Дж. В. Браун объявил неверное значение 563, ^[24] которое часто повторялось. Он также дал неправильное число изотопических классов восьмого порядка. Правильное количество приведенных квадратов восьмого порядка уже было найдено М.Б. Уэллсом в 1967 г.^[25] и количество изотопических классов, в 1990 г., Г. Колесова, CWH Lam и L. Thiel. ^[26] Число приведенных квадратов для девятого порядка было получено С. Е. Бэммелем и Дж. Ротштейном^[27], для порядка 10 - Б. Д. МакКеем и Э. Рогойски,^[28] и для порядка 11 - Б. Д. МакКеем и И. М. Ванлессом. ^[29]

См. Также [ править ]

Список малых групп

Примечания [ править ]

^ a b c d e f Colbourn & Dinitz 2007 , стр. 136
^ Denes & Keedwell 1974 , стр. 24
^ а б Денес и Кидвелл 1974 , стр. 126
^ Denes & Keedwell 1974 , стр. 127-8
^ а б Денес и Кидвелл 1974 , стр. 23
^ Denes & Keedwell 1974 , стр. 24
^ Маккей, Meynert & Myrvold 2007 , стр. 105
^ Denes & Keedwell 1974 , стр. 128
^ a b c Денес и Кидвелл 1974 , стр. 129
^ Маккей, Meynert & Myrvold 2007 , стр. 100
^ Colbourn & Диниц 2007 , стр. 137
^ Эйлер, Л. (1782), "Recherches sur une nouvelle espèce de qurés magiques", Verhandelingen / uitgegeven door het zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen (9): 85–239
Перейти ↑ Cayley, A. (1890), «На латинских площадях», Oxford Camb. Дублин Посланник математики. , 19 : 85–239
↑ MacMahon, PA (1915), Комбинаторный анализ , Cambridge University Press, стр. 300
^ Фролов, М. (1890), "Sur les permutations carrées", J. de Math. spéc. , IV : 8–11, 25–30
^ Тарри, Гастон (1900). "Le Probléme de 36 Officiers". Compte Rendu de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences . Secrétariat de l'Association. 1 : 122–123.
^ Тарри, Гастон (1901). "Le Probléme de 36 Officiers". Compte Rendu de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences . Secrétariat de l'Association. 2 : 170–203.
^ Фишер, РА; Йейтс, Ф. (1934), "Латинские квадраты 6 × 6", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 30 : 492–507
^ Schönhardt, Е. (1930), "Убер lateinische Квадратная унд Unionen", Ж. Reine Angew. Математика. , 163 : 183–230
^ Нортон, HW (1939), «Квадраты 7 × 7», Ann. Евгеника , 9 : 269–307.
^ Sade, A. (1951), «Упущение в списке Нортона квадратов 7 × 7», Ann. Математика. Стат. , 22 : 306–307
^ Saxena, PN (1951), "Упрощенный метод перечисления латинских квадратов дифференциальными операторами Мак-Магона; II. Латинские квадраты 7 × 7", J. Indian Soc. Agric. Статистика , 3 : 24–79
^ Прис, Д.А. (1966), «Классификация прямоугольников Юдена», J. Royal Stat. Soc. Series B (Meth.) , 28 : 118–130.
^ Браун, JW (1968), "Перечисление латинских квадратов с применением к порядку 8", Журнал комбинаторной теории , 5 : 177–184
^ Уэллс, МБ (1967), «Число латинских квадратов восьмого порядка», Журнал комбинаторной теории , 3 : 98–99
^ Колесова, Г .; Лам, CWH; Тиль, Л. (1990), «О количестве латинских квадратов 8 × 8», Журнал комбинаторной теории, серия A , 54 : 143–148
^ Bammel, SE; Ротштейн, Дж. (1975), "Число латинских квадратов 9 × 9", Дискретная математика , 11 : 93–95
^ Маккей, BD; Рогойский, Е. (1995), "Латинские квадраты десятого порядка", Электронный журнал комбинаторики № N3 , 2 : 4
^ Маккей, BD; Ванлесс, И.М. (2005), «О числе латинских квадратов», Ann. Комбинировать. , 9 : 335–344

Ссылки [ править ]

Колборн, Чарльз Дж .; Диниц, Джеффри Х. (2007), Справочник по комбинаторным схемам (2-е изд.), Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC, ISBN 1-58488-506-8
Dénes, J .; Кидвелл, AD (1974), Латинские квадраты и их приложения , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, стр. 547, ISBN 0-12-209350-X, MR 0351850
Маккей, Брендан Д .; Мейнерт, Элисон; Myrvold, Венди (2007), "Малая латинские квадраты, Квазигруппа и Loops" (PDF) , Журнал комбинаторного Designs , 15 (2): 98-119, CiteSeerX 10.1.1.151.3043 , DOI : 10.1002 / jcd.20105} , Zbl 1112,05018

[CD-1] Colbourn & Dinitz 2007 , стр. 136

[2] Denes & Keedwell 1974 , стр. 24

[DK126-3] а б Денес и Кидвелл 1974 , стр. 126

[4] Denes & Keedwell 1974 , стр. 127-8

[DK23-5] а б Денес и Кидвелл 1974 , стр. 23

[6] Denes & Keedwell 1974 , стр. 24

[7] Маккей, Meynert & Myrvold 2007 , стр. 105

[8] Denes & Keedwell 1974 , стр. 128

[DK129-9] Денес и Кидвелл 1974 , стр. 129

[10] Маккей, Meynert & Myrvold 2007 , стр. 100

[11] Colbourn & Диниц 2007 , стр. 137

[12] Эйлер, Л. (1782), "Recherches sur une nouvelle espèce de qurés magiques", Verhandelingen / uitgegeven door het zeeuwsch Genootschap der Wetenschappen te Vlissingen (9): 85–239

[13] Перейти ↑ Cayley, A. (1890), «На латинских площадях», Oxford Camb. Дублин Посланник математики. , 19 : 85–239

[14] MacMahon, PA (1915), Комбинаторный анализ , Cambridge University Press, стр. 300

[15] Фролов, М. (1890), "Sur les permutations carrées", J. de Math. spéc. , IV : 8–11, 25–30

[16] Тарри, Гастон (1900). "Le Probléme de 36 Officiers". Compte Rendu de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences . Secrétariat de l'Association. 1 : 122–123.

[17] Тарри, Гастон (1901). "Le Probléme de 36 Officiers". Compte Rendu de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences . Secrétariat de l'Association. 2 : 170–203.

[18] Фишер, РА; Йейтс, Ф. (1934), "Латинские квадраты 6 × 6", Proc. Cambridge Philos. Soc. , 30 : 492–507

[19] Schönhardt, Е. (1930), "Убер lateinische Квадратная унд Unionen", Ж. Reine Angew. Математика. , 163 : 183–230

[20] Нортон, HW (1939), «Квадраты 7 × 7», Ann. Евгеника , 9 : 269–307.

[21] Sade, A. (1951), «Упущение в списке Нортона квадратов 7 × 7», Ann. Математика. Стат. , 22 : 306–307

[22] Saxena, PN (1951), "Упрощенный метод перечисления латинских квадратов дифференциальными операторами Мак-Магона; II. Латинские квадраты 7 × 7", J. Indian Soc. Agric. Статистика , 3 : 24–79

[23] Прис, Д.А. (1966), «Классификация прямоугольников Юдена», J. Royal Stat. Soc. Series B (Meth.) , 28 : 118–130.

[24] Браун, JW (1968), "Перечисление латинских квадратов с применением к порядку 8", Журнал комбинаторной теории , 5 : 177–184

[25] Уэллс, МБ (1967), «Число латинских квадратов восьмого порядка», Журнал комбинаторной теории , 3 : 98–99

[26] Колесова, Г .; Лам, CWH; Тиль, Л. (1990), «О количестве латинских квадратов 8 × 8», Журнал комбинаторной теории, серия A , 54 : 143–148

[27] Bammel, SE; Ротштейн, Дж. (1975), "Число латинских квадратов 9 × 9", Дискретная математика , 11 : 93–95

[28] Маккей, BD; Рогойский, Е. (1995), "Латинские квадраты десятого порядка", Электронный журнал комбинаторики № N3 , 2 : 4

[29] Маккей, BD; Ванлесс, И.М. (2005), «О числе латинских квадратов», Ann. Комбинировать. , 9 : 335–344

[1]