Гидродинамика сглаженных частиц ( SPH ) - это вычислительный метод, используемый для моделирования механики сплошных сред, например механики твердого тела и потоков жидкости . Он был разработан Гингольдом и Монаганом [2] и Люси [3] в 1977 году, первоначально для астрофизических задач. Он использовался во многих областях исследований, включая астрофизику , баллистику , вулканологию и океанографию . Это метод Лагранжа без сетки (где координаты движутся вместе с жидкостью), и разрешение метода можно легко отрегулировать по таким переменным, какплотность .
Методика
Преимущества
- По своей конструкции SPH представляет собой бессеточный метод , что делает его идеально подходящим для моделирования задач, в которых преобладает сложная граничная динамика, например, потоки на свободной поверхности или большое смещение границы.
- Отсутствие сетки значительно упрощает реализацию модели и ее распараллеливание даже для многоядерных архитектур. [4] [5]
- SPH может быть легко расширен на широкий спектр областей и гибридизирован с некоторыми другими моделями, как обсуждалось в Физическом моделировании .
- Как обсуждалось в разделе, посвященном слабосжимаемому SPH , этот метод имеет отличные особенности сохранения.
- Вычислительная стоимость моделирования SPH на количество частиц значительно меньше, чем стоимость моделирования на основе сетки на количество ячеек, когда интересующий показатель связан с плотностью жидкости (например, функция плотности вероятности флуктуаций плотности). [6] Это так, потому что в SPH разрешение ставится там, где дело.
Ограничения
- Установка граничных условий в SPH, таких как входы и выходы [7] и стены [8], сложнее, чем с сеточными методами. Фактически, было заявлено, что «обработка граничных условий, безусловно, является одним из самых сложных технических моментов метода SPH». [9] Эта проблема отчасти вызвана тем, что в SPH частицы вблизи границы меняются со временем. [10] Тем не менее, стеновые граничные условия для SPH доступны [8] [10] [11]
- Вычислительные затраты на моделирование SPH на количество частиц значительно больше, чем затраты на сеточное моделирование на количество ячеек, когда интересующая метрика не связана (напрямую) с плотностью (например, спектром кинетической энергии). [6] Таким образом, игнорируя вопросы параллельного ускорения , моделирование потоков с постоянной плотностью (например, внешняя аэродинамика ) более эффективно с сеточными методами, чем с SPH.
Примеры
Динамика жидкостей
Гидродинамика сглаженных частиц также все чаще используется для моделирования движения жидкости . Это связано с рядом преимуществ по сравнению с традиционными сетками. Во-первых, SPH гарантирует сохранение массы без дополнительных вычислений, поскольку сами частицы представляют собой массу. Во-вторых, SPH вычисляет давление на основе взвешенных вкладов соседних частиц, а не путем решения линейных систем уравнений. Наконец, в отличие от методов на основе сетки, которые должны отслеживать границы жидкости, SPH создает свободную поверхность для двухфазных взаимодействующих жидкостей напрямую, поскольку частицы представляют более плотную жидкость (обычно воду), а пустое пространство представляет более легкую жидкость (обычно воздух). По этим причинам можно моделировать движение жидкости с помощью SPH в реальном времени. Однако методы на основе сетки и SPH по-прежнему требуют создания рендерируемой геометрии свободной поверхности с использованием техники полигонизации, такой как метабалы и маршевые кубы , разбрызгивание точек или визуализация «ковра». Для газовой динамики более целесообразно использовать саму функцию ядра для визуализации плотности газового столбца (например, как это делается в пакете визуализации SPLASH).
Одним из недостатков методов, основанных на сетке, является необходимость большого количества частиц для моделирования с эквивалентным разрешением. В типичной реализации как однородных сеток, так и методов SPH-частиц будет использоваться множество вокселей или частиц для заполнения объемов воды, которые никогда не визуализируются. Однако точность может быть значительно выше с помощью сложных методов на основе сетки, особенно в сочетании с методами частиц (такими как наборы уровней частиц), поскольку в этих системах легче обеспечить соблюдение условия несжимаемости . SPH для моделирования жидкости все чаще используется в анимации в реальном времени и играх, где точность не так важна, как интерактивность.
Недавняя работа в SPH для моделирования жидкости повысила производительность, точность и области применения:
- Б. Соленталер, 2009, разрабатывает Predictive-Corrective SPH (PCISPH), чтобы учесть ограничения на несжимаемость [12]
- M. Ihmsen et al., 2010, вводят обработку границ и адаптивное изменение временного интервала для PCISPH для точного взаимодействия с твердыми телами [13]
- K. Bodin et al., 2011, заменяют стандартное уравнение давления состояния ограничением плотности и применяют вариационный временной интегратор [14]
- R. Hoetzlein, 2012, разрабатывает эффективный SPH на базе графического процессора для больших сцен в Fluids v.3 [15]
- N. Akinci et al., 2012, представляют универсальную обработку границ и технику двусторонней жесткой связи SPH, полностью основанную на гидродинамических силах; подход применим к различным типам решателей SPH [16]
- M. Macklin et al., 2013 моделируют потоки несжимаемой жидкости внутри структуры Position Based Dynamics для больших временных шагов [17]
- N. Akinci et al., 2013, представляют универсальный метод поверхностного натяжения и двусторонней адгезии жидкости к твердому телу, который позволяет моделировать множество интересных физических эффектов, которые наблюдаются в действительности [18]
- J. Kyle и E. Terrell, 2013, применяют SPH для полнопленочной смазки [19]
- A. Mahdavi и N. Talebbeydokhti, 2015, предлагают гибридный алгоритм для реализации твердого граничного условия и моделирования обтекания водослива с острым гребнем [20]
- S. Tavakkol et al., 2016, разработали curvSPH, который делает горизонтальный и вертикальный размер частиц независимыми и генерирует равномерное распределение массы вдоль криволинейных границ [21]
- W. Kostorz и A. Esmail-Yakas, 2020, предлагают общий, эффективный и простой метод оценки коэффициентов нормализации вблизи кусочно-плоских границ [11]
- Colagrossi et al., 2019, изучают обтекание цилиндра вблизи свободной поверхности и сравнивают с другими методами [1]
Астрофизика
Адаптивное разрешение гидродинамики сглаженных частиц, численное сохранение физически сохраняемых величин и способность моделировать явления, охватывающие многие порядки величин, делают ее идеальной для вычислений в теоретической астрофизике . [22]
Моделирование образования галактик , звездообразования , столкновений звезд , [23] сверхновых [24] и столкновений с метеоритами - некоторые из самых разнообразных астрофизических и космологических применений этого метода.
SPH используется для моделирования гидродинамических потоков, включая возможные эффекты силы тяжести . Включение других астрофизических процессов, которые могут быть важны, таких как перенос излучения и магнитные поля, является активной областью исследований в астрономическом сообществе и имеет ограниченный успех. [25] [26]
Механика твердого тела
Либерский и Петчек [27] [28] распространили SPH на Механику твердого тела. Основным преимуществом SPH в этом приложении является возможность работы с большими локальными искажениями, чем методы на основе сетки. Эта функция использовалась во многих приложениях в механике твердого тела: формовка металла, удар, рост трещины, разрушение, фрагментация и т. Д.
Еще одно важное преимущество бессеточных методов в целом и SPH в частности состоит в том, что проблемы зависимости от сетки естественным образом устраняются, учитывая бессеточный характер метода. В частности, выравнивание сетки связано с проблемами, связанными с трещинами, и его избегают в SPH из-за изотропной поддержки функций ядра. Однако классические составы SPH страдают нестабильностью при растяжении [29] и непоследовательностью. [30] За последние годы были внесены различные поправки для повышения точности решения SPH, что привело к RKPM Лю и др. [31] Рэндлс и Либерски [32] и Джонсон и Бейсел [33] пытались решить проблему согласованности в своем исследовании явлений удара.
Dyka et al. [34] [35] и Randles и Libersky [36] ввели интеграцию точки напряжения в SPH, а Тед Беличко и др. [37] показали, что метод точки напряжения устраняет нестабильность из-за ложных сингулярных мод, в то время как неустойчивости при растяжении можно избежать, используя ядро Лагранжа. В литературе можно найти множество других недавних исследований, посвященных улучшению сходимости метода SPH.
Недавние улучшения в понимании сходимости и стабильности SPH позволили найти более широкое применение в механике твердого тела. Другие примеры применения и развития метода включают:
- Моделирование обработки металлов давлением. [38]
- Основанный на SPH метод SPAM (Smoothed Particle Applied Mechanics) для ударного разрушения твердых тел Уильяма Г. Гувера . [39]
- Модифицированный SPH (SPH / MLSPH) для разрушения и фрагментации. [40]
- Taylor-SPH (TSPH) для распространения ударных волн в твердых телах. [41]
- Обобщенная координата SPH (GSPH) распределяет частицы неоднородно в декартовой системе координат и упорядочивает их через отображение в обобщенной системе координат, в которой частицы выровнены с одинаковым интервалом. [42]
Числовые инструменты
Интерполяции
Метод гидродинамики сглаженных частиц (SPH) работает путем разделения жидкости на набор дискретных движущихся элементов. , называемые частицами. Их лагранжева природа позволяет определять свою позицию. интегрированием их скорости в виде:
Эти частицы взаимодействуют посредством функции ядра с характерным радиусом, известным как «длина сглаживания», обычно представленная в уравнениях как. Это означает, что физическое количество любой частицы может быть получено путем суммирования соответствующих свойств всех частиц, которые лежат в пределах диапазона ядра, причем последнее используется в качестве весовой функции.. Это можно понять в два этапа. Сначала произвольное поле записывается как свертка с :
Ошибка в приведенном выше приближении порядка . Во-вторых, интеграл аппроксимируется суммированием Римана по частицам:
где суммирование по включает все частицы в моделирование. это объем частицы, это значение количества для частицы а также обозначает позицию. Например, плотность частицы можно выразить как:
где обозначает массу частицы, а плотность частиц, а это краткое обозначение . Погрешность аппроксимации интеграла дискретной суммой зависит от, от размера частиц (т.е. , размерность пространства), а также расположение частиц в пространстве. О последнем эффекте пока мало что известно. [43]
Обычно используемые функции ядра включают функцию Гаусса , пятый сплайн и функцию Вендланда.ядро. [44] Последние два ядра имеют компактный носитель (в отличие от гауссовского, где есть небольшой вклад на любом конечном расстоянии), с носителем, пропорциональным. Это дает преимущество в экономии вычислительных ресурсов за счет исключения относительно незначительных вкладов от далеких частиц.
Хотя размер длины сглаживания можно фиксировать как в пространстве, так и во времени , при этом не используются все возможности SPH. Назначая каждой частице собственную длину сглаживания и позволяя ей изменяться со временем, разрешение моделирования может автоматически адаптироваться в зависимости от местных условий. Например, в очень плотной области, где много частиц находятся близко друг к другу, длину сглаживания можно сделать относительно короткой, что обеспечит высокое пространственное разрешение. И наоборот, в областях с низкой плотностью, где отдельные частицы находятся далеко друг от друга и разрешение низкое, длину сглаживания можно увеличить, оптимизируя вычисления для интересующих областей.
Дискретизация определяющих уравнений
Для частиц постоянной массы, дифференцируя интерполированную плотность по времени дает
где это градиент относительно . Сравнивая это уравнение с уравнением неразрывности в лагранжевом описании (с использованием материальных производных ),
очевидно, что его правая часть является приближением ; следовательно, оператор дискретной дивергенции определяется следующим образом:
Этот оператор дает SPH-аппроксимацию на частицу для заданного набора частиц с заданными массами , должности и скорости .
Другое важное уравнение для сжимаемой невязкой жидкости - это уравнение Эйлера для баланса импульса:
Как и в случае с непрерывностью, задача состоит в том, чтобы определить дискретный оператор градиента, чтобы записать
Один выбор
который обладает свойством кососопряженности с указанным выше оператором дивергенции в том смысле, что
это дискретная версия континуального тождества
Это свойство приводит к хорошим консервационным свойствам. [45]
Также обратите внимание, что этот выбор приводит к оператору симметричной дивергенции и антисимметричному градиенту. Хотя существует несколько способов дискретизации градиента давления в уравнениях Эйлера, приведенная выше антисимметричная форма является наиболее известной. Он поддерживает строгое сохранение линейного момента и момента количества движения. Это означает, что сила, действующая на частицу частичкой равняется той, которая действует на частицу частичкой включая изменение знака эффективного направления, благодаря свойству антисимметрии .
Тем не менее были предложены другие операторы, которые могут работать лучше численно или физически. Например, одним из недостатков этих операторов является то, что расхождение согласован нулевого порядка (т.е. дает нуль при применении к постоянному векторному полю), можно видеть, что градиент не является. Было предложено несколько методов, позволяющих обойти эту проблему, что привело к перенормировке операторов (см., Например, [46] ).
Вариационный принцип
Приведенные выше управляющие уравнения SPH могут быть выведены из принципа наименьшего действия , начиная с лагранжиана системы частиц:
- ,
где - удельная внутренняя энергия частицы . Уравнение Эйлера – Лагранжа вариационной механики для каждой частицы гласит:
Применительно к вышеуказанному лагранжиану он дает следующее уравнение импульса:
где использовалось цепное правило, поскольку зависит от , а последнее - от положения частиц. Используя термодинамическое свойство мы можем написать
Добавление интерполяции плотности SPH и явное дифференцирование приводит к
которое является уже упомянутым уравнением импульса SPH, в котором мы узнаем оператор. Это объясняет, почему сохраняется линейный импульс, а также позволяет сохранить угловой момент и энергию. [47]
Интеграция времени
На основе работ, проделанных в 80-х и 90-х годах по численному интегрированию точечных частиц в больших ускорителях, были разработаны подходящие временные интеграторы с точными свойствами сохранения в долгосрочной перспективе; они называются симплектическими интеграторами . Самой популярной в литературе по SPH является схема чехарда , в которой для каждой частицы:
где шаг по времени, верхние индексы обозначают итерации по времени, а - ускорение частицы, заданное правой частью уравнения количества движения.
Существуют и другие симплектические интеграторы (см. Справочник [48] ). Рекомендуется использовать симплектическую схему (даже низкого порядка) вместо несимплектической схемы высокого порядка, чтобы избежать накопления ошибок после многих итераций.
Интегрирование плотности не было широко изучено (подробнее см. Ниже ).
Симплектические схемы консервативны, но явны, поэтому для их численной устойчивости требуются условия устойчивости, аналогичные условию Куранта-Фридрихса-Леви (см. Ниже ).
Граничные техники
В случае, если свертка SPH должна выполняться близко к границе, то есть ближе, чем s · h , тогда интегральная опора усекается. Действительно, когда на свертку влияет граница, свертка должна быть разбита на 2 интеграла:
где B ( r ) - компактный опорный шар с центром в r и радиусом s · h , а Ω ( r ) обозначает часть компактной опоры внутри расчетной области, Ω ∩ B ( r ) . Следовательно, наложение граничных условий в SPH полностью основано на приближении второго интеграла в правой части. То же самое, конечно, можно применить к вычислению дифференциальных операторов,
В прошлом было введено несколько методов для моделирования границ в SPH.
Полное пренебрежение
Самая прямая граничная модель - это пренебрежение интегралом,
такие, что учитываются только объемные взаимодействия,
Это популярный подход, когда свободная поверхность рассматривается в однофазном моделировании. [49]
Основное преимущество этого граничного условия - его очевидная простота. Однако при применении этого метода границ необходимо учитывать несколько вопросов согласованности. [49] На самом деле это серьезное ограничение на его потенциальные применения.
Расширение жидкости
Вероятно, самая популярная или, по крайней мере, самая традиционная методология для наложения граничных условий в SPH - это метод Fluid Extension. Такой метод основан на заполнении компактной подложки через границу так называемыми фанатичными частицами с удобным наложением значений их полей. [50]
В этом направлении методологию интегрального пренебрежения можно рассматривать как частный случай расширений жидкости, когда поле A исчезает за пределами расчетной области.
Основным преимуществом этой методологии является простота при условии, что граничный вклад вычисляется как часть объемных взаимодействий. Кроме того, эта методология подверглась глубокому анализу в литературе. [51] [50] [52]
С другой стороны, развертывание призрачных частиц в усеченной области - нетривиальная задача, так что моделирование сложных форм границ становится обременительным. Два самых популярных подхода к заполнению пустой области призрачными частицами - это Mirrored-Particles [53] и Fixed-Particles. [50]
Граничный интеграл
Новейшая пограничная техника - это методология граничного интеграла. [54] В этой методологии интеграл пустого объема заменяется поверхностным интегралом и перенормировкой:
где n j нормаль к j -ому граничному элементу общего положения . Поверхностный член также может быть решен с использованием полуаналитического выражения. [54]
Моделирование физики
Гидродинамика
Слабо сжимаемый подход
Другой способ определения плотности основан на самом операторе сглаживания SPH. Следовательно, плотность оценивается по распределению частиц с использованием интерполяции SPH . Чтобы преодолеть нежелательные ошибки на свободной поверхности из-за усечения ядра, формулировку плотности можно снова интегрировать во времени. [54]
Слабо сжимаемый SPH в гидродинамике основан на дискретизации уравнений Навье – Стокса или уравнений Эйлера для сжимаемых жидкостей. Чтобы закрыть систему, используется соответствующее уравнение состояния, чтобы связать давление и плотность . Как правило, в SPH используется так называемое уравнение Коула [55] (иногда ошибочно называемое « уравнением Тейта »). Он гласит
где - эталонная плотность и скорость звука . Для воды,обычно используется. Фоновое давление добавляется, чтобы избежать отрицательных значений давления.
Реальные почти несжимаемые жидкости, такие как вода, характеризуются очень высокой скоростью звука порядка . Следовательно, информация о давлении распространяется быстрее по сравнению с фактическим объемным потоком, что приводит к очень малым числам Маха.. Уравнение количества движения приводит к следующему соотношению:
где изменение плотности и вектор скорости. На практике принимается значение c меньше реального, чтобы избежать слишком малых временных шагов в схеме интегрирования по времени. Обычно используется числовая скорость звука, при которой допускается изменение плотности менее 1%. Это так называемое предположение о слабой сжимаемости. Это соответствует числу Маха меньше 0,1, что означает:
где максимальная скорость необходимо оценить, например, по закону Торричелли или обоснованному предположению. Поскольку происходят только небольшие изменения плотности, можно принять линейное уравнение состояния: [56]
Обычно слабосжимаемые схемы подвержены влиянию высокочастотных паразитных шумов на полях давления и плотности. [57] Это явление вызвано нелинейным взаимодействием акустических волн и тем фактом, что схема является явной во времени и центрирована в пространстве. [58]
На протяжении многих лет было предложено несколько методов избавления от этой проблемы. Их можно разделить на три разные группы:
- схемы, использующие фильтры плотности,
- модели, которые добавляют диффузный член в уравнение неразрывности,
- схемы, которые используют решатели Римана для моделирования взаимодействия частиц.
Техника фильтрации плотности
В схемах первой группы фильтр применяется непосредственно к полю плотности для удаления паразитного числового шума. Чаще всего используются фильтры MLS (Moving Least Squares) и фильтр Шепарда [57], которые можно применять на каждом временном шаге или каждые n временных шагов. Чем чаще используется процедура фильтрации, тем более регулярные поля плотности и давления получаются. С другой стороны, это приводит к увеличению вычислительных затрат. При длительном моделировании использование процедуры фильтрации может привести к нарушению составляющей гидростатического давления и несогласованности между глобальным объемом жидкости и полем плотности. Кроме того, это не гарантирует соблюдение динамического граничного условия свободной поверхности.
Метод диффузного термина
Другой способ сгладить поля плотности и давления - добавить диффузионный член внутри уравнения неразрывности (группа 2):
Первые схемы, использующие такой подход, были описаны у Феррари [59] и Молтени [56], где диффузионный член моделировался как лапласиан поля плотности. Аналогичный подход использовался и в. [60]
В [61] была предложена поправка к диффузионному члену Молтени [56] для устранения некоторых несоответствий вблизи свободной поверхности. В этом случае принятый диффузионный член эквивалентен дифференциальному оператору высокого порядка на поле плотности. [62] Схема называется δ-SPH и сохраняет все свойства сохранения SPH без диффузии (например, линейный и угловой моменты, полная энергия, см. [63] ) вместе с гладким и регулярным представлением полей плотности и давления. .
В третью группу входят те схемы SPH, которые используют численные потоки, полученные с помощью решателей Римана, для моделирования взаимодействий частиц [64] [65] . [66]
Метод решателя Римана
Для метода SPH, основанного на решателях Римана, межчастичная задача Римана строится по единичному вектору указывающая форма частицы крушить . В этой задаче Римана начальные левое и правое состояния находятся на частицах а также , соответственно. В а также государства
Решение задачи Римана приводит к трем волнам, исходящим от разрыва. Две волны, которые могут быть ударной волной или волной разрежения, распространяются с наименьшей или наибольшей скоростью волны. Средняя волна всегда является контактным разрывом и разделяет два промежуточных состояния, обозначаемых а также . Предполагая, что промежуточное состояние удовлетворяет а также , линеаризованный решатель Римана для гладких течений или только с умеренно сильными скачками уплотнения можно записать как
где а также являются средними значениями между частицами. При решении проблемы Римана, т. Е. а также дискретность метода SPH равна
где . Это указывает на то, что средняя скорость и давление между частицами просто заменяются решением задачи Римана. Сравнивая и то и другое, можно увидеть, что промежуточные скорость и давление из средних значений между частицами составляют неявную диссипацию, то есть регуляризацию плотности и числовую вязкость соответственно.
Поскольку вышеупомянутая дискретизация очень диссипативна, прямая модификация заключается в применении ограничителя для уменьшения неявных численных диссипаций, вводимых путем ограничения промежуточного давления [67]
где ограничитель определяется как
Обратите внимание, что гарантирует отсутствие диссипации, когда жидкость находится под действием волны расширения, т. е. , и что параметр , используется для модуляции диссипации, когда жидкость находится под действием волны сжатия, т. е. . Численные эксперименты показали, чтов целом эффективен. Также обратите внимание, что диссипация, вносимая промежуточной скоростью, не ограничена.
Несжимаемый подход
Моделирование вязкости
В общем, описание гидродинамических течений требует удобного рассмотрения диффузионных процессов для моделирования вязкости в уравнениях Навье – Стокса . Он требует особого рассмотрения, поскольку включает в себя дифференциальный оператор лапласа . Поскольку прямой расчет не дает удовлетворительных результатов, было предложено несколько подходов к моделированию диффузии.
- Искусственная вязкость
Введенная Монаганом и Гинголдом [68] искусственная вязкость использовалась для работы с потоками жидкости с высоким числом Маха . Он гласит
Здесь, контролирует объемную вязкость, пока действует аналогично искусственной вязкости Неймана-Рихтмейра. В определяется
Также было показано, что искусственная вязкость улучшает общую стабильность моделирования потока. Поэтому он применяется к невязким задачам в следующей форме
С помощью этого подхода можно не только стабилизировать невязкое моделирование, но и смоделировать физическую вязкость. Сделать так
подставляется в уравнение выше, где - количество пространственных размеров модели. Этот подход вводит объемную вязкость.
- Моррис
Для малых чисел Рейнольдса модель вязкости была предложена Моррисом [69] .
- LoShao
Дополнительная физика
- Поверхностное натяжение
- Теплопередача
- Турбулентность
Многофазные расширения
Астрофизика
Часто в астрофизике в дополнение к чистой гидродинамике желают моделировать самогравитацию. Основанная на частицах природа SPH делает его идеальным для комбинирования с гравитационным решателем на основе частиц, например, гравитационным кодом дерева , [70] сеткой частиц или сеткой частиц-частиц .
Механика твердого тела и взаимодействие жидкости и структуры (FSI)
Полная лагранжева формулировка механики твердого тела
Для дискретизации основных уравнений динамики твердого тела используется корректирующая матрица [71] [72] впервые вводится для воспроизведения вращения твердого тела как
( 1 )
где
обозначает градиент функции ядра, вычисленный в начальной эталонной конфигурации. Обратите внимание, что индексы а также используются для обозначения твердых частиц, а длина сглаживания идентична дискретизации уравнений жидкости.
Используя исходную конфигурацию в качестве эталона, плотность твердого тела непосредственно оценивается как
( 2 )
где - определитель якобиана тензора деформации .
Теперь мы можем дискретизировать уравнение импульса в следующем виде
( 3 )
где среднее между частицами первое напряжение Пиолы-Кирхгофа определяется как
( 4 )
Также а также соответствуют давлению жидкости и силам вязкости, действующим на твердую частицу , соответственно.
Муфта структура жидкости
В соединении жидкость-конструкция окружающая твердая структура ведет себя как движущаяся граница для жидкости, и граничное условие прилипания накладывается на границу раздела жидкость-конструкция. силы взаимодействия а также действуя на жидкую частицу , из-за наличия соседней твердой частицы , можно получить как [73]
( 5 )
а также
( 6 )
Здесь мнимое давление и скорость определены
( 7 )
где обозначает направление нормали к поверхности твердой структуры, а мнимая плотность частиц рассчитывается через уравнение состояния.
Соответственно силы взаимодействия а также действуя на твердую частицу даны
( 8 )
а также
( 9 )
Антисимметричность производной ядерной функции обеспечит сохранение импульса для каждой пары взаимодействующих частиц. а также .
Другие
Метод дискретных элементов , используемый для моделирования сыпучих материалов , относится к SPH.
Варианты метода
Рекомендации
- ^ а б Колагросси (2019). «Вязкое обтекание цилиндра вблизи свободной поверхности: тесты с устойчивыми, периодическими и метастабильными характеристиками, решаемые по схемам без сетки и на основе сетки». Компьютеры и жидкости . 181 : 345–363. DOI : 10.1016 / j.compfluid.2019.01.007 .
- ^ Р.А. Гингольд; Дж. Дж. Монаган (1977). «Гидродинамика сглаженных частиц: теория и приложение к несферическим звездам» . Пн. Нет. R. Astron. Soc . 181 (3): 375–89. Bibcode : 1977MNRAS.181..375G . DOI : 10.1093 / MNRAS / 181.3.375 .
- ^ LB Люси (1977). «Численный подход к проверке гипотезы деления». Astron. Дж . 82 : 1013–1024. Bibcode : 1977AJ ..... 82.1013L . DOI : 10.1086 / 112164 .
- ^ Такахиро Харада; Сейичи Кошидзука; Ёитиро Кавагути (2007). Сглаженная гидродинамика частиц на графических процессорах . Компьютерная графика International . С. 63–70.
- ^ Алехандро Креспо; Хосе М. Домингес; Анксо Баррейро; Мончо Гомес-Гестейра; Бенедикт Д. Роджерс (2011). «Графические процессоры, новый инструмент ускорения в CFD: эффективность и надежность в методах гидродинамики сглаженных частиц» . PLOS ONE . 6 (6): e20685. Bibcode : 2011PLoSO ... 620685C . DOI : 10.1371 / journal.pone.0020685 . PMC 3113801 . PMID 21695185 .
- ^ а б Прайс, ди-джей (2011). «Гидродинамика сглаженных частиц: вещи, которым я бы хотел, чтобы меня научила мама». Успехи вычислительной астрофизики: методы . 453 : 249. arXiv : 1111.1259 . Bibcode : 2012ASPC..453..249P .
- ^ «Сравнение метода гидродинамики сглаженных частиц и численных методов конечного объема» . 2018-03-21 . Проверено 30 августа 2018 .
- ^ а б Адами, С. и Ху, XY и Адамс, штат Северная Каролина. (2012). «Обобщенное граничное условие стенки для гидродинамики сглаженных частиц». Журнал вычислительной физики . 231 (21): 7057–7075. Bibcode : 2012JCoPh.231.7057A . DOI : 10.1016 / j.jcp.2012.05.005 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Shadloo, MS, Oger, G. и Touze, DL. (2016). «Метод гидродинамики сглаженных частиц для потоков жидкости в промышленном применении: мотивация, текущее состояние и проблемы». Компьютеры и жидкости . 136 : 11–34. DOI : 10.1016 / j.compfluid.2016.05.029 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ а б Фрейзер, К. и Кисс, Л. И. и Сент-Джордж, Л. (2016). «Обобщенное граничное условие стенки для гидродинамики сглаженных частиц». 14-я Международная конференция LS-DYNA .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ а б Косторз (2020). «Полуаналитический метод граничного интеграла для радиальных функций с приложением к гидродинамике сглаженных частиц». Журнал вычислительной физики . 417 : 109565. DOI : 10.1016 / j.jcp.2020.109565 .
- ^ Соленталер (2009). «Прогнозно-корректирующий несжимаемый SPH». Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Имхсен (2010). «Граничная обработка и адаптивный временной шаг для PCISPH». Мастер-класс по взаимодействию виртуальной реальности и физическому моделированию VRIPHYS .
- ^ Боден (2011). «Ограничивающие жидкости» . IEEE Transactions по визуализации и компьютерной графике . 18 (3): 516–26. DOI : 10.1109 / TVCG.2011.29 . PMID 22241284 . S2CID 14023161 .
- ^ Hoetzlein (2012). «Fluids v.3, крупномасштабный симулятор жидкости с открытым исходным кодом». Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Акинчи (2012). «Универсальная жестко-жидкостная муфта для несжимаемого SPH». Транзакции ACM на графике . 31 (4): 1–8. DOI : 10.1145 / 2185520.2185558 . S2CID 5669154 .
- ^ Маклин (2013). «Жидкости на основе положения». Транзакции ACM на графике . 32 (4): 1–12. DOI : 10.1145 / 2461912.2461984 . S2CID 611962 .
- ^ Акинчи (2013). «Универсальное поверхностное натяжение и адгезия для жидкостей SPH SPH». Транзакции ACM на графике . 32 (6): 1–8. CiteSeerX 10.1.1.462.8293 . DOI : 10.1145 / 2508363.2508395 . S2CID 12550964 .
- ^ Журнал трибологии (2013). «Применение гидродинамики сглаженных частиц для смазки с полной пленкой». Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Махдави и Талеббейдохти (2015). «Гибридный алгоритм твердой границы обработки для гидродинамики сглаженных частиц» . Scientia Iranica, Сделка A, Гражданское строительство . 22 (4): 1457–1469.
- ^ Международный журнал численных методов в жидкостях (2016). «Криволинейная гидродинамика сглаженных частиц». Международный журнал численных методов в жидкостях . 83 (2): 115–131. Bibcode : 2017IJNMF..83..115T . DOI : 10.1002 / fld.4261 .
- ^ Цена, Дэниел Дж. (2009). "Астрофизическая гидродинамика гладких частиц". Новый Astron.rev . 53 (4–6): 78–104. arXiv : 0903.5075 . Bibcode : 2009NewAR..53 ... 78R . DOI : 10.1016 / j.newar.2009.08.007 . S2CID 129246 .
- ^ Россвог, Стефан (2015). «Методы SPH в моделировании компактных объектов». Living Rev Comput Astrophys . 1 (1): 1. arXiv : 1406.4224 . Bibcode : 2015LRCA .... 1 .... 1R . DOI : 10.1007 / lrca-2015-1 . S2CID 119119783 .
- ^ Прайс, Дэниел Дж; Рокфеллер, Габриэль; Уоррен, Майкл S (2006). "SNSPH: Параллельный 3-D сглаженный код радиационной гидродинамики частиц". Astrophys. Дж . 643 : 292–305. arXiv : astro-ph / 0512532 . DOI : 10.1086 / 501493 . S2CID 16733573 .
- ^ «Звездообразование с переносом излучения» .
- ^ http://users.monash.edu.au/~dprice/pubs/spmhd/price-spmhd.pdf
- ^ Либерский, ЛД; Петчек, А.Г. (1990). Гидродинамика гладких частиц с учетом прочности материалов, успехи метода Свободного Лагранжа . Конспект лекций по физике . 395 . С. 248–257. DOI : 10.1007 / 3-540-54960-9_58 . ISBN 978-3-540-54960-4.
- ^ Л. Д. Либерский; А.Г. Петчек; А. Г. Карни; TC Hipp; Дж. Р. Аллахдади; FA High (1993). «Гидродинамика Лагранжа деформации: трехмерный код SPH для динамического отклика материала». J. Comput. Phys . 109 (1): 67–75. Bibcode : 1993JCoPh.109 ... 67L . DOI : 10,1006 / jcph.1993.1199 .
- ^ JW Swegle; Д.А. Хикс; SW Attaway (1995). «Анализ устойчивости гидродинамики гладких частиц». J. Comput. Phys . 116 (1): 123–134. Bibcode : 1995JCoPh.116..123S . DOI : 10,1006 / jcph.1995.1010 .
- ^ Т. Беличко; Ю. Кронгауз; Дж. Долбоу; К. Герлах (1998). «О полноте бессеточных методов частиц». Int. J. Numer. Методы англ . 43 (5): 785–819. Bibcode : 1998IJNME..43..785B . CiteSeerX 10.1.1.28.491 . DOI : 10.1002 / (sici) 1097-0207 (19981115) 43: 5 <785 :: aid-nme420> 3.0.co; 2-9 .
- ^ WK Liu; С. Джун; Ю.Ф. Чжан (1995). «Воспроизведение методов ядерных частиц». Int. J. Numer. Методы англ . 20 (8–9): 1081–1106. Bibcode : 1995IJNMF..20.1081L . DOI : 10.1002 / fld.1650200824 .
- ^ PW Randles; Л. Д. Либерский (1997). «Последние улучшения в моделировании сверхскоростного удара SPH». Int. J. Impact Eng . 20 (6–10): 525–532. DOI : 10.1016 / s0734-743x (97) 87441-6 .
- ^ Г. Р. Джонсон; SR Beissel (1996). «Нормализованные сглаживающие функции для расчетов воздействия SPH». Int. J. Numer. Методы англ . 39 (16): 2725–2741. Bibcode : 1996IJNME..39.2725J . DOI : 10.1002 / (sici) 1097-0207 (19960830) 39:16 <2725 :: help-nme973> 3.0.co; 2-9 .
- ^ CT Dyka; Р.П. Ингель (1995). «Подход к неустойчивости растяжения в гидродинамике сглаженных частиц». Comput. Struct . 57 (4): 573–580. DOI : 10.1016 / 0045-7949 (95) 00059-р .
- ^ CT Dyka; PW Randles; Р.П. Ингель (1997). «Точки напряжения нестабильности растяжения в SPH». Int. J. Numer. Методы англ . 40 (13): 2325–2341. Bibcode : 1997IJNME..40.2325D . DOI : 10.1002 / (sici) 1097-0207 (19970715) 40:13 <2325 :: aid-nme161> 3.0.co; 2-8 .
- ^ PW Randles; Л. Д. Либерский (2000). «Нормированный SPH с точками напряжения». Int. J. Numer. Методы англ . 48 (10): 1445–1462. Bibcode : 2000IJNME..48.1445R . DOI : 10,1002 / 1097-0207 (20000810) 48:10 <1445 :: помощь-nme831> 3.0.co; 2-9 .
- ^ Т. Беличко; Y. Guo; WK Liu; ИП Сяо (2000). «Единый анализ устойчивости бессеточных методов частиц». Int. J. Numer. Методы англ . 48 (9): 1359–1400. Bibcode : 2000IJNME..48.1359B . DOI : 10.1002 / 1097-0207 (20000730) 48: 9 <1 359 :: помощь-nme829> 3.0.co; 2-у .
- ^ Ж. Бонет; С. Куласегарам (2000). «Коррекция и стабилизация методов гидродинамики гладких частиц с приложениями в моделировании обработки металлов давлением». Int. J. Numer. Методы англ . 47 (6): 1189–1214. Bibcode : 2000IJNME..47.1189B . DOI : 10.1002 / (sici) 1097-0207 (20000228) 47: 6 <1189 :: aid-nme830> 3.0.co; 2-я .
- ^ WG Hoover; К.Г. Гувер (2001). «Рецепты на основе спама для моделирования континуума» . Вычислительная техника в науке и технике . 3 (2): 78–85. Bibcode : 2001CSE ..... 3b..78H . DOI : 10.1109 / 5992.909007 .
- ^ Т. Рабчук; Дж. Эйбл; Л. Стемпневский (2003). «Моделирование высокоскоростного дробления бетона с использованием SPH / MLSPH». Int. J. Numer. Методы англ . 56 (10): 1421–1444. Bibcode : 2003IJNME..56.1421R . DOI : 10.1002 / nme.617 .
- ^ М. И. Эррерос; М. Мабссу (2011). «Двухшаговая схема дискретизации по времени с использованием метода SPH для распространения ударной волны». Comput. Методы Прил. Мех. Engrg . 200 (21–22): 1833–1845. Bibcode : 2011CMAME.200.1833H . DOI : 10.1016 / j.cma.2011.02.006 .
- ^ С. Яширо; Т. Окабе (2015). «Гидродинамика сглаженных частиц в обобщенной системе координат с определяющей моделью конечной деформации». Int. J. Numer. Методы англ . 103 (11): 781–797. Bibcode : 2015IJNME.103..781Y . DOI : 10.1002 / nme.4906 .
- ^ NJ Quinlan; М. Баса; М. Ластивка (2006). «Ошибка усечения в методах частиц без сетки» (PDF) . Международный журнал численных методов в инженерии . 66 (13): 2064–2085. Bibcode : 2006IJNME..66.2064Q . DOI : 10.1002 / nme.1617 . hdl : 10379/1170 .
- ^ Х. Вендланд (1995). «Кусочно-полиномиальные, положительно определенные и радиальные функции минимальной степени с компактным носителем». Успехи в вычислительной математике . 4 (4): 389–396. DOI : 10.1007 / BF02123482 . S2CID 36452865 .
- ^ А. Майрхофер; Б. Д. Роджерс; Д. Вьоло; М. Ферран (2013). «Исследование ограниченных стенкой течений с использованием SPH и унифицированных полуаналитических пристеночных граничных условий». Компьютерная физика . 184 (11): 2515–2527. arXiv : 1304,3692 . Bibcode : 2013CoPhC.184.2515M . CiteSeerX 10.1.1.770.4985 . DOI : 10.1016 / j.cpc.2013.07.004 . S2CID 35008128 .
- ^ Ж. Бонет; ТС Лок (1999). "Вариационные аспекты и аспекты сохранения импульса формулировок гидродинамики сглаженных частиц". Компьютерные методы в прикладном машиностроении . 180 (1–2): 97–115. Bibcode : 1999CMAME.180 ... 97B . DOI : 10.1016 / S0045-7825 (99) 00051-1 .
- ^ Дж. Дж. Монаган (2005). «Гидродинамика сглаженных частиц». Отчеты о достижениях физики . 68 (8): 1703–1759. Bibcode : 2005RPPh ... 68.1703M . DOI : 10.1088 / 0034-4885 / 68/8 / R01 .
- ^ Э. Хайрер; К. Любич; Г. Ваннер (2006). Геометрическое численное интегрирование . Springer. ISBN 978-3-540-30666-5.
- ^ а б Андреа Колагросси; Маттео Антуоно; Дэвид Ле Тузе (2009). «Теоретические соображения о роли свободной поверхности в модели гидродинамики сглаженных частиц». Physical Review E . 79 (5): 056701. Bibcode : 2009PhRvE..79e6701C . DOI : 10.1103 / PhysRevE.79.056701 . PMID 19518587 .
- ^ а б в Бежамин Бускасс; Андреа Колагросси; Сальваторе Марроне; Маттео Антуоно (2013). «Нелинейное взаимодействие водных волн с плавающими телами в SPH». Журнал жидкостей и структур . 42 : 112–129. Bibcode : 2013JFS .... 42..112B . DOI : 10.1016 / j.jfluidstructs.2013.05.010 .
- ^ Фабрицио Масиа; Маттео Антуоно; Лео М. Гонсалес; Андреа Колагросси (2011). «Теоретический анализ выполнения граничных условий прилипания в методах SPH» . Успехи теоретической физики . 125 (6): 1091–1121. Bibcode : 2011PThPh.125.1091M . DOI : 10.1143 / PTP.125.1091 .
- ^ Хосе Луис Черко-Пита; Маттео Антуоно; Андреа Колагросси; Антонио Соуто (2017). «Сохранение энергии SPH для взаимодействий жидкость - твердое тело». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 317 : 771–791. Bibcode : 2017CMAME.317..771C . DOI : 10.1016 / j.cma.2016.12.037 .
- ^ Дж. Кэмпбелл; Р. Виньевич; Л. Либерский (2000). «Контактный алгоритм для гидродинамики сглаженных частиц». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 184 (1): 49–65. Bibcode : 2000CMAME.184 ... 49C . DOI : 10.1016 / S0045-7825 (99) 00442-9 .
- ^ а б в М. Ферран, Д. Р. Лоуренс, Б. Д. Роджерс, Д. Виоло, К. Кассиотис (2013). «Единые полуаналитические граничные условия стенки для невязких, ламинарных или турбулентных течений в бессеточном методе SPH» . Международный журнал численных методов в жидкостях . Int. J. Numer. Meth. Жидкости. 71 (4): 446–472. Bibcode : 2013IJNMF..71..446F . DOI : 10.1002 / fld.3666 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Х. Р. Коул (1948). Подводные взрывы . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
- ^ а б в Д. Молтени, А. Колагросси (2009). «Простая процедура для улучшения оценки давления в гидродинамическом контексте с помощью SPH». Компьютерная физика . 180 (6): 861–872. Bibcode : 2009CoPhC.180..861M . DOI : 10.1016 / j.cpc.2008.12.004 .
- ^ а б Колагросси, Андреа; Ландрини, Маурицио (2003). «Численное моделирование межфазных течений методом гидродинамики сглаженных частиц». Журнал вычислительной физики . 191 (2): 448–475. Bibcode : 2003JCoPh.191..448C . DOI : 10.1016 / S0021-9991 (03) 00324-3 .
- ^ Рэндалл Дж. Левек (2007). Конечно-разностные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных: установившиеся и нестационарные задачи . Сиам.
- ^ А. Феррари, М. Дамбсер, Э. Торо, А. Арманини (2009). «Новая трехмерная параллельная схема SPH для потоков со свободной поверхностью». Компьютеры и жидкости . Эльзевир. 38 (6): 1203–1217. DOI : 10.1016 / j.compfluid.2008.11.012 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Фатехи, Р. и Манзари, М.Т. (2011). «Средство от численных колебаний в гидродинамике слабосжимаемых сглаженных частиц». Международный журнал численных методов в жидкостях . Интернет-библиотека Wiley. 67 (9): 1100–1114. Bibcode : 2011IJNMF..67.1100F . DOI : 10.1002 / fld.2406 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ М. Антуоно, А. Колагросси, С. Марроне, Д. Молтени (2010). «Течения со свободной поверхностью, решаемые с помощью схем SPH с числовыми диффузионными членами». Компьютерная физика . Эльзевир. 181 (3): 532–549. Bibcode : 2010CoPhC.181..532A . DOI : 10.1016 / j.cpc.2009.11.002 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ М. Антуоно, А. Колагросси, С. Марроне (2012). «Численные диффузионные члены в слабосжимаемых схемах SPH». Компьютерная физика . Эльзевир. 183 (12): 2570–2580. Bibcode : 2012CoPhC.183.2570A . DOI : 10.1016 / j.cpc.2012.07.006 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Антуоно Маттео и Марроне С., Колагросси А и Бускасс Б. (2015). «Энергетический баланс в схеме $ \ delta $ -SPH». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . Эльзевир. 289 : 209–226. DOI : 10.1016 / j.cma.2015.02.004 .
- ^ JP. Вила (1999). «О взвешенных методах частиц и гидродинамике гладких частиц». Математические модели и методы в прикладных науках . World Scientific. 9 (2): 161–209. DOI : 10.1142 / S0218202599000117 .
- ^ Маронджу Жан-Кристоф и Лебёф Франсис и Каро Жоэль и Паркинсон Этьен (2010). «Моделирование потоков на свободной поверхности в турбинах Пелтона с использованием гибридного метода SPH-ALE» (PDF) . Журнал гидравлических исследований . Тейлор и Фрэнсис. 48 (S1): 40–49. DOI : 10.1080 / 00221686.2010.9641244 . S2CID 121493014 .
- ^ Де Леффе, Матье (2011). Моделирование вязких элементов по методу SPH en vue d'application à l'hydrodynamique navale . Кандидатская диссертация, Ecole Centrale de Nantes.
- ^ Чи Чжан, Сяню Ху и Николаус Адамс (2017). «Слабо сжимаемый метод SPH на основе решателя Римана с малой диссипацией». Журнал вычислительной физики . 335 : 605–620. DOI : 10.1016 / j.jcp.2017.01.027 .
- ^ Джей Джей Монаган; Р.А. Гинголд (1983). «Моделирование удара методом частиц». Журнал вычислительной физики . 52 (2): 347–389. Bibcode : 1983JCoPh..52..374M . DOI : 10.1016 / 0021-9991 (83) 90036-0 .
- ^ JP Morris; PJ Fox; Ю. Чжу (1997). «Моделирование несжимаемых течений с малым числом Рейнольдса с помощью SPH». Журнал вычислительной физики . 136 (1): 214–226. Bibcode : 1997JCoPh.136..214M . DOI : 10,1006 / jcph.1997.5776 .
- ^ Мариос Д. Дикайакос; Joachim Stadel , PKDGRAV The Parallel kD Tree Gravity Code , получено 1 февраля 2017 г.
- ^ Вигневич, Раде; Ревелес, Хуан Р.; Кэмпбелл, Джеймс (2006). «SPH в тотальном лагранжевом формализме». Компьютерное моделирование в технике и науке . 44 : 181–198.
- ^ Хан, Лухуэй; Ху, Сянъюй (2018). «SPH-моделирование взаимодействия жидкости и конструкции». Журнал гидродинамики . 30 : 62–69. DOI : 10.1007 / s42241-018-0006-9 . S2CID 125369012 .
- ^ Чи Чжан, Масуд Резаванд и Сянью Ху (2020). «Метод SPH с несколькими разрешениями для взаимодействия жидкости и структуры». Журнал вычислительной физики : 110028. arXiv : 1911.13255 . DOI : 10.1016 / j.jcp.2020.110028 .
дальнейшее чтение
- Гувер, WG (2006). Прикладная механика гладких частиц: состояние дел, мировая наука.
- Моделирование удара с помощью SPH Stellingwerf, RF, Wingate, CA, Memorie della Societa Astronomia Italiana, Vol. 65, стр. 1117 (1994).
- Amada, T., Imura, M., Yasumuro, Y., Manabe, Y. и Chihara, K. (2004) Моделирование жидкости на основе частиц на GPU, в материалах семинара ACM по универсальным вычислениям на графических процессорах (август , 2004, Лос-Анджелес, Калифорния).
- М. Дебрун и депутат Кани. (1996). Сглаженные частицы: новая парадигма анимации сильно деформируемых тел. В материалах семинара Eurographics по компьютерной анимации и моделированию (август 1996 г., Пуатье, Франция).
- Хегеман, К., Карр, Н. А. и Миллер, GSP Моделирование жидкости на основе частиц на графическом процессоре. В материалах Международной конференции по вычислительной науке (Ридинг, Великобритания, май 2006 г.). Труды опубликованы как Lecture Notes in Computer Science v. 3994/2006 (Springer-Verlag).
- М. Келагер. (2006) Лагранжева гидродинамика с использованием гидродинамики сглаженных частиц, М. Келагар (магистерская диссертация, Университет Копенгагена).
- Колб А. и Кунц Н. (2005). Динамическое связывание частиц для моделирования жидкости на базе графического процессора. В материалах 18-го симпозиума по методам моделирования (2005), стр. 722–727.
- Лю, Г.Р. и Лю, М.Б. Гидродинамика сглаженных частиц: бессеточный метод частиц. Сингапур: World Scientific (2003).
- Монаган, Дж. Дж. (1992). Гидродинамика сглаженных частиц. Анну. Rev. Astron. Astrophys. (1992). 30: 543–74.
- Мюллер М., Чарипар Д. и Гросс М. Моделирование жидкостей на основе частиц для интерактивных приложений, В материалах симпозиума Eurographics / SIGGRAPH по компьютерной анимации (2003), ред. Д. Брин и М. Лин.
- Вестерлунд М. Моделирование и визуализация вязкой жидкости с использованием гидродинамики сглаженных частиц (диплом магистра, Университет Умео, Швеция).
- Виоло Д. Механика жидкости и метод SPH. Издательство Оксфордского университета (2012).
Внешние ссылки
- Первое крупное моделирование звездообразования с использованием SPH
- СФЕРИКА (Международное сообщество исследователей и инженеров SPH)
- ITVO - это веб-сайт Итальянской теоретической виртуальной обсерватории, созданный для запроса базы данных архива численного моделирования.
- Галерея изображений SPHC отображает широкий спектр тестовых примеров, экспериментальных проверок и коммерческих приложений кода SPH SPHC.
- Вывод модели SPH, исходя из уравнений Навье-Стокса.
Программное обеспечение
- Algodoo - это среда 2D-моделирования для обучения с использованием SPH
- AQUAgpusph - это бесплатный (GPLv3) SPH исследователей, исследователи для исследователей
- dive solutions - это коммерческое программное обеспечение SPH для инженерных вычислений, предназначенное для CFD-процессов.
- DualSPHysics - это в основном код SPH с открытым исходным кодом, основанный на SPHysics и использующий вычисления на графическом процессоре. Компоненты с открытым исходным кодом доступны по лицензии LGPL.
- FLUIDS v.1 - это простая реализация 3D SPH в реальном времени с открытым исходным кодом (Zlib) на C ++ для жидкостей для ЦП и ГП.
- Fluidix - это API-интерфейс моделирования частиц на основе графического процессора, доступный в OneZero Software.
- GADGET [1] - это свободно доступный ( GPL ) код для космологического моделирования N-тел / SPH.
- Симулятор GPUSPH SPH с вязкостью (GPLv3)
- Pasimodo - это программный пакет для методов моделирования на основе частиц, например SPH
- Physics Abstraction Layer - это система абстракции с открытым исходным кодом, которая поддерживает физические движки в реальном времени с поддержкой SPH.
- PreonLab - это коммерческое инженерное программное обеспечение, разработанное FIFTY2 Technology, реализующее неявный метод SPH.
- Punto - это бесплатный инструмент визуализации для моделирования частиц.
- Платформа pysph с открытым исходным кодом для гидродинамики сглаженных частиц в Python (новая лицензия BSD)
- Решатель RealFlow Commercial SPH для киноиндустрии.
- RheoCube - это коммерческий продукт SaaS от Electric Ant Lab, который объединяет мезоскопические модели SPH с микромасштабным моделированием MD .
- SimPARTIX - это коммерческий пакет для моделирования SPH и метода дискретных элементов (DEM) от Fraunhofer IWM
- SPH-поток
- СФЕРА
- SPHinXsys - это мультифизическая библиотека SPH с открытым исходным кодом и несколькими разрешениями. Он предоставляет API-интерфейсы C ++ для точного физического моделирования и нацелен на моделирование связанных промышленных динамических систем, включая динамику жидкости, твердого тела, динамики нескольких тел и т. Д.
- SPHysics - это реализация SPH с открытым исходным кодом на Фортране.
- SPLASH - это инструмент визуализации с открытым исходным кодом (GPL) для моделирования SPH.
- SYMPLER : бесплатное ПО для симулятора SYMbolic ParticLE от Университета Фрайбурга.
- Nauticle - это универсальный вычислительный инструмент для численных методов на основе частиц.