Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено из метода Meshfree )
Перейти к навигации Перейти к поиску

20 точек и их ячейки Вороного

В области численного анализа , бессеточные методы являются те , которые не требуют соединения между узлами области моделирования, т.е. сеткой , а скорее основаны на взаимодействии каждого узла со всеми своими соседями. Как следствие, исходные экстенсивные свойства, такие как масса или кинетическая энергия, больше не присваиваются элементам сетки, а скорее отдельным узлам. Методы Meshfree позволяют моделировать некоторые сложные типы проблем за счет дополнительных вычислительных затрат и усилий по программированию. Отсутствие сетки позволяет проводить лагранжевые симуляции, в которых узлы могут перемещаться в соответствии с полем скорости .

Мотивация [ править ]

Численные методы , такие как метод конечных разностей , метод конечных объемов и методы конечных элементов были первоначально определены на сетках точек данных. В такой сетке каждая точка имеет фиксированное количество предопределенных соседей, и эта связь между соседями может использоваться для определения математических операторов, таких как производная . Эти операторы затем используются для построения уравнений для моделирования, таких как уравнения Эйлера или уравнения Навье – Стокса .

Но в симуляциях, где моделируемый материал может перемещаться (как в вычислительной гидродинамике ) или где могут происходить большие деформации материала (как при моделировании пластиковых материалов ), связность сетки может быть трудно поддерживать без внесения ошибки в моделирование. Если во время моделирования сетка запутывается или вырождается, операторы, определенные на ней, могут больше не давать правильные значения. Сетка может быть воссоздана во время моделирования (процесс, называемый повторной сеткой), но это также может привести к ошибке, поскольку все существующие точки данных должны быть сопоставлены с новым и другим набором точек данных. Методы Meshfree предназначены для решения этих проблем. Методы Meshfree также полезны для:

  • Моделирование, при котором создание полезной сетки из геометрии сложного 3D-объекта может быть особенно трудным или потребовать помощи человека.
  • Моделирование, в котором узлы могут быть созданы или уничтожены, например, в моделировании взлома
  • Моделирование, при котором геометрия задачи может не совпадать с фиксированной сеткой, например, в моделировании изгиба.
  • Моделирование, содержащее нелинейное поведение материала, неоднородности или особенности

Пример [ править ]

В традиционном моделировании конечных разностей область одномерного моделирования будет некоторой функцией , представленной как сетка значений данных в точках , где

Мы можем определить производные, которые встречаются в моделируемом уравнении, используя некоторые конечно-разностные формулы в этой области, например

и

Затем мы можем использовать эти определения и его пространственные и временные производные, чтобы записать моделируемое уравнение в форме конечных разностей, а затем смоделировать уравнение одним из многих методов конечных разностей .

В этом простом примере шаги (здесь пространственный шаг и временной шаг ) постоянны по всей сетке, а левым и правым соседями сетки для значения данных в являются значения в и , соответственно. Как правило, в конечных разностях можно очень просто разрешить переменные шагов вдоль сетки, но все исходные узлы должны быть сохранены, и они могут перемещаться независимо, только деформируя исходные элементы. Если даже только два из всех узлов меняют свой порядок, или даже только один узел добавляется или удаляется из моделирования, это создает дефект в исходной сетке, и простое приближение конечных разностей больше не может выполняться.

Гидродинамика сглаженных частиц (SPH), один из старейших бессеточных методов, решает эту проблему, рассматривая точки данных как физические частицы с массой и плотностью, которые могут перемещаться со временем и нести с собой некоторую ценность . Затем SPH определяет значение между частицами как

где - масса частицы , - плотность частицы , - функция ядра, которая работает с соседними точками данных и выбирается для гладкости и других полезных качеств. По линейности мы можем записать пространственную производную как

Затем мы можем использовать эти определения и его пространственные производные, чтобы записать моделируемое уравнение как обыкновенное дифференциальное уравнение и смоделировать уравнение одним из многих численных методов . С физической точки зрения это означает вычисление сил между частицами, а затем интегрирование этих сил с течением времени для определения их движения.

Преимущество SPH в этой ситуации состоит в том, что формулы для и его производных не зависят от какой-либо информации о смежности частиц; они могут использовать частицы в любом порядке, поэтому не имеет значения, перемещаются ли частицы или даже меняются местами.

Одним из недостатков SPH является то, что он требует дополнительного программирования для определения ближайших соседей частицы. Поскольку функция ядра возвращает ненулевые результаты только для ближайших частиц в пределах удвоенной «длины сглаживания» (потому что мы обычно выбираем функции ядра с компактной поддержкой ), было бы напрасной тратой усилий вычислять приведенные выше суммы по каждой частице в большом моделировании. Поэтому обычно симуляторы SPH требуют некоторого дополнительного кода для ускорения вычисления этого ближайшего соседа.

История [ править ]

Одним из первых бессеточных методов является гидродинамика сглаженных частиц , представленная в 1977 году. [1] Libersky et al. [2] были первыми, кто применил SPH в механике твердого тела. Основными недостатками SPH являются неточные результаты вблизи границ и нестабильность растяжения, которую впервые исследовал Swegle. [3]

В 1990-х годах появился новый класс бессеточных методов, основанный на методе Галеркина . Этот первый метод, названный методом диффузных элементов [4] (DEM), впервые примененный Найролесом и др., Использовал приближение MLS в решении Галеркина уравнений в частных производных с приближенными производными функции MLS. После этого Беличко впервые применил безэлементный метод Галеркина (EFG) [5], который использовал MLS с множителями Лагранжа для обеспечения граничных условий, числовую квадратуру более высокого порядка в слабой форме и полные производные приближения MLS, которые давали лучшую точность. Примерно в то же время метод воспроизводящих ядерных частиц [6](RKPM), аппроксимация частично подтолкнула к исправлению ядерной оценки в SPH: для обеспечения точности вблизи границ, при неравномерной дискретизации и точности более высокого порядка в целом. Примечательно, что при параллельной разработке примерно в то же время были разработаны методы материальных точек [7], которые предлагают аналогичные возможности. Методы материальной точки широко используются в киноиндустрии для моделирования механики твердого тела с большой деформацией, такой как снег в фильме « Холодное сердце» . [8] RKPM и другие бессеточные методы были широко разработаны Ченом, Лю и Ли в конце 1990-х годов для множества приложений и различных классов задач. [9] В течение 1990-х годов и после этого было выведено несколько других разновидностей, включая перечисленные ниже.

Список методов и сокращений [ править ]

Следующие ниже численные методы обычно считаются относящимися к общему классу "бессеточных" методов. Акронимы указаны в скобках.

  • Гидродинамика сглаженных частиц (SPH) (1977)
  • Метод диффузных элементов (ЦМР) (1992)
  • Диссипативная динамика частиц (DPD) (1992)
  • Безэлементный метод Галеркина (EFG / EFGM) (1994)
  • Метод воспроизводящих ядерных частиц (RKPM) (1995)
  • Метод конечной точки (FPM) (1996)
  • Метод конечных точек (FPM) (1998)
  • hp-облака
  • Метод природных элементов (NEM)
  • Метод материальной точки (MPM)
  • Бессеточный местный Петров Галёркин (МЛПГ) (1998) [10]
  • Состав без сетки с обобщенной деформацией (GSMF) (2016) [11]
  • Полунеявная движущаяся частица (MPS)
  • Обобщенный метод конечных разностей (GFDM)
  • Частица в ячейке (PIC)
  • Метод конечных элементов с движущимися частицами (MPFEM)
  • Метод конечных облаков (FCM)
  • Метод граничного узла (BNM)
  • Метод интерполяции скользящего кригинга (МК) без сетки
  • Метод граничного облака (BCM)
  • Метод фундаментальных решений (МФС)
  • Метод частного решения (MPS)
  • Метод конечных сфер (MFS)
  • Дискретно-вихревой метод (ДВМ)
  • Метод конечных масс (ФММ) (2000) [12]
  • Метод интерполяции сглаженных точек (S-PIM) (2005). [13]
  • Метод локальной радиальной точечной интерполяции без сетки (RPIM). [13]
  • Метод коллокации локальных радиальных базисных функций (LRBFCM) [14]
  • Метод вязких вихревых доменов (ВВД)
  • Метод крекинг-частиц (CPM) (2004)
  • Дискретный бессеточный метод наименьших квадратов (DLSM) (2006)
  • Метод погруженных частиц (IPM) (2006)
  • Оптимальный метод транспортировки без сетки (OTM) (2010) [15]
  • Метод повторной замены (RRM) (2012) [16]
  • Метод радиального базисного интегрального уравнения [17]
  • Метод коллокации наименьших квадратов без сетки (2001) [18]
  • Перидинамика (ПД)
  • Метод экспоненциальных базисных функций (EBF) (2010) [19]

Связанные методы:

  • Подвижные наименьшие квадраты (MLS) - обеспечивают общий метод аппроксимации для произвольного набора узлов
  • Методы разделения единицы (PoUM) - обеспечивают общую формулировку аппроксимации, используемую в некоторых бессеточных методах.
  • Метод непрерывного смешивания (обогащение и соединение конечных элементов и бессеточные методы) - см. Huerta & Fernández-Méndez (2000)
  • eXtended FEM , Generalized FEM (XFEM, GFEM) - варианты FEM (метод конечных элементов), сочетающие некоторые бессеточные аспекты
  • Метод сглаженных конечных элементов (S-FEM) (2007)
  • Метод сглаживания градиента (GSM) (2008)
  • Локальная максимальная энтропия (LME) - см. Arroyo & Ortiz (2006)
  • Метод пространственно-временного свободного от сетки коллокации (STMCM) - см. Нетужилов (2008) , Нетужилов и Зилиан (2009)
  • Метод конечных элементов интерфейса без сетки (MIFEM) (2015) - гибридный метод конечных элементов без сетки для численного моделирования задач фазового преобразования и многофазного потока [20]

Последние разработки [ править ]

Основные направления развития бессеточных методов - это решение проблем, связанных с обязательным соблюдением границ, числовой квадратурой, а также контактами и большими деформациями. [21] Обычная слабая форма требует строгого соблюдения основных граничных условий, но методы без сетки в целом не обладают свойством дельты Кронекера . Это делает выполнение основных граничных условий нетривиальным, по крайней мере, более сложным, чем метод конечных элементов , где они могут быть наложены напрямую. Были разработаны методы, позволяющие преодолеть эту трудность и строго наложить условия. Некоторые методы были разработаны , чтобы наложить существенные граничные условия слабо , в том числе множителей Лагранжа, Метод Нитче и метод штрафа.

Что касается квадратуры , обычно предпочтительна узловая интеграция, которая предлагает простоту, эффективность и сохраняет метод без сетки без какой-либо сетки (в отличие от использования квадратуры Гаусса , которая требует, чтобы сетка генерировала квадратурные точки и веса). Однако узловое интегрирование страдает численной нестабильностью из-за недооценки энергии деформации, связанной с коротковолновыми модами [22], а также дает неточные и несходящиеся результаты из-за недостаточного интегрирования слабой формы. [23] Одним из основных достижений в области численного интегрирования стала разработка стабилизированного согласованного узлового интегрирования (SCNI), который обеспечивает метод узлового интегрирования, который не страдает ни одной из этих проблем. [23]Метод основан на сглаживании деформаций, который удовлетворяет требованиям теста заплатки первого порядка . Однако позже выяснилось, что низкоэнергетические режимы все еще присутствуют в SCNI, и были разработаны дополнительные методы стабилизации. Этот метод применялся для решения множества задач, включая тонкие и толстые пластины, поромеханику, проблемы с преобладанием конвекции и другие. [21] Совсем недавно был разработан фреймворк для прохождения патч-тестов произвольного порядка, основанный на методе Петрова – Галеркина . [24]

Одно из недавних достижений в бессеточных методах направлено на разработку вычислительных инструментов для автоматизации моделирования и симуляций. Это обеспечивается так называемой ослабленной слабой (W2) формулировкой, основанной на теории G-пространства . [25] [26]Формулировка W2 предлагает возможности формулировать различные (однородные) «мягкие» модели, которые хорошо работают с треугольными сетками. Поскольку треугольная сетка может быть сгенерирована автоматически, ее намного проще создавать заново, что позволяет автоматизировать моделирование и симуляцию. Кроме того, модели W2 могут быть сделаны достаточно мягкими (единообразно) для получения решений с верхними границами (для задач с принудительным движением). Вместе с жесткими моделями (такими как полностью совместимые модели МКЭ) можно удобно связать решение с обеих сторон. Это позволяет легко оценивать ошибки для обычно сложных задач, если может быть сгенерирована треугольная сетка. Типичными моделями W2 являются методы интерполяции сглаженных точек (или S-PIM). [13] S-PIM может быть на основе узла (известный как NS-PIM или LC-PIM), [27]на основе края (ES-PIM), [28] и на основе соты (CS-PIM). [29] NS-PIM был разработан с использованием так называемой техники SCNI. [23] Затем было обнаружено, что NS-PIM может производить раствор с верхней границей и без объемной блокировки. [30]ES-PIM имеет более высокую точность, а CS-PIM занимает промежуточное положение между NS-PIM и ES-PIM. Более того, формулировки W2 позволяют использовать полиномиальные и радиальные базисные функции при создании функций формы (они учитывают прерывистые функции смещения, пока они находятся в пространстве G1), что открывает дополнительные возможности для будущих разработок. Формулировка W2 также привела к развитию комбинации методов без сетки с хорошо разработанными методами МКЭ, и теперь можно использовать треугольную сетку с превосходной точностью и желаемой мягкостью. Типичной такой формулировкой является так называемый метод сглаженных конечных элементов (или S-FEM). [31] S-FEM - это линейная версия S-PIM, но с большинством свойств S-PIM и намного проще.

Принято считать, что бессеточные методы намного дороже, чем аналоги МКЭ. Однако недавнее исследование показало, что некоторые бессеточные методы, такие как S-PIM и S-FEM, могут быть намного быстрее, чем аналоги FEM. [13] [31]

S-PIM и S-FEM хорошо подходят для задач механики твердого тела. Для задач CFD формулировка может быть проще за счет сильной формулировки. Методы градиентного сглаживания (GSM) также были недавно разработаны для задач CFD, реализующие идею градиентного сглаживания в сильной форме. [32] [33] GSM похож на [FVM], но использует операции сглаживания градиента исключительно во вложенных моделях и является общим численным методом для PDE.

Узловая интеграция была предложена как метод использования конечных элементов для имитации бессеточного поведения. [ необходима цитата ] Однако препятствие, которое необходимо преодолеть при использовании узловых интегрированных элементов, заключается в том, что количества в узловых точках не являются непрерывными, а узлы являются общими для нескольких элементов.

См. Также [ править ]

  • Механика сплошной среды
  • Метод сглаженных конечных элементов [31]
  • G пространство [34]
  • Ослабленная слабая форма [35] [36]
  • Метод граничных элементов
  • Метод погруженных границ
  • Код трафарета
  • Метод частиц

Ссылки [ править ]

  1. ^ Гинголд, РА; Монаган, Дж. Дж. (1 декабря 1977 г.). «Гидродинамика сглаженных частиц: теория и приложение к несферическим звездам» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 181 (3): 375–389. Bibcode : 1977MNRAS.181..375G . DOI : 10.1093 / MNRAS / 181.3.375 .
  2. ^ Либерский, Ларри Д .; Petschek, Albert G .; Карни, Теодор С .; Хипп, Джим Р .; Аллахдади, Фируз А. (ноябрь 1993 г.). «Лагранжева гидродинамика высоких деформаций». Журнал вычислительной физики . 109 (1): 67–75. DOI : 10,1006 / jcph.1993.1199 .
  3. ^ Swegle, JW; Хикс, DL; Attaway, SW (январь 1995 г.). "Анализ устойчивости гидродинамики сглаженных частиц". Журнал вычислительной физики . 116 (1): 123–134. Bibcode : 1995JCoPh.116..123S . DOI : 10,1006 / jcph.1995.1010 .
  4. ^ Nayroles, B .; Touzot, G .; Вийон, П. (1992). «Обобщение метода конечных элементов: диффузное приближение и диффузные элементы». Вычислительная механика . 10 (5): 307–318. Bibcode : 1992CompM..10..307N . DOI : 10.1007 / BF00364252 .
  5. ^ Белычко, Т .; Лу, ГГ; Гу Л. (30 января 1994 г.). «Безэлементные методы Галеркина». Международный журнал численных методов в инженерии . 37 (2): 229–256. Bibcode : 1994IJNME..37..229B . DOI : 10.1002 / nme.1620370205 .
  6. ^ Лю, Крыло Кам; Джун, Сукки; Чжан И Фэй (30 апреля 1995 г.). «Воспроизведение методов ядерных частиц». Международный журнал численных методов в жидкостях . 20 (8–9): 1081–1106. Bibcode : 1995IJNMF..20.1081L . DOI : 10.1002 / fld.1650200824 .
  7. ^ Сульский, Д .; Chen, Z .; Шрейер, HL (сентябрь 1994 г.). «Метод частиц для материалов, зависящих от истории» . Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 118 (1–2): 179–196. DOI : 10.1016 / 0045-7825 (94) 90112-0 .
  8. ^ https://www.math.ucla.edu/~jteran/papers/SSCTS13.pdf
  9. ^ Лю, WK; Chen, Y .; Jun, S .; Chen, JS; Белычко, Т .; Pan, C .; Урас, РА; Чанг, Коннектикут (март 1996 г.). «Обзор и применение методов воспроизведения ядерных частиц». Архивы вычислительных методов в технике . 3 (1): 3–80. DOI : 10.1007 / BF02736130 .
  10. ^ Атлури, SN; Чжу, Т. (24 августа 1998 г.). «Новый бессеточный локальный подход Петрова-Галеркина (MLPG) в вычислительной механике». Вычислительная механика . 22 (2): 117–127. Bibcode : 1998CompM..22..117A . DOI : 10.1007 / s004660050346 .
  11. ^ Oliveira, T .; Портела, А. (декабрь 2016 г.). «Слабая форма коллокации - локальный бессеточный метод линейной упругости». Инженерный анализ с граничными элементами . 73 : 144–160. DOI : 10.1016 / j.enganabound.2016.09.010 .
  12. ^ Гаугер, Кристоф; Лейнен, Питер; Исерентант, Гарри (январь 2000 г.). «Метод конечных масс». Журнал СИАМ по численному анализу . 37 (6): 1768–1799. DOI : 10.1137 / S0036142999352564 .
  13. ^ a b c d Лю, Г. Р. 2-е изд .: 2009 г., " Методы без сетки" , CRC Press. 978-1-4200-8209-9
  14. ^ Сарлер Б., Вертник Р. Мешфри
  15. ^ Li, B .; Habbal, F .; Ортис, М. (17 сентября 2010 г.). «Оптимальные безсеточные аппроксимативные схемы транспортировки жидкостей и пластических течений». Международный журнал численных методов в инженерии . 83 (12): 1541–1579. Bibcode : 2010IJNME..83.1541L . DOI : 10.1002 / nme.2869 .
  16. ^ Уокер, Уэйд A .; Ланговски, Йорг (6 июля 2012 г.). "Метод многократной замены: чистый лагранжевый метод без сетки для вычислительной гидродинамики" . PLoS ONE . 7 (7): e39999. Bibcode : 2012PLoSO ... 739999W . DOI : 10.1371 / journal.pone.0039999 . PMC 3391243 . PMID 22866175 .  
  17. ^ Ooi, EH; Попов, В. (май 2012). «Эффективная реализация метода радиального базового интегрального уравнения». Инженерный анализ с граничными элементами . 36 (5): 716–726. DOI : 10.1016 / j.enganabound.2011.12.001 .
  18. ^ Чжан, Сюн; Лю, Сяо-Ху; Сун, Кан-Зу; Лу, Мин-Ван (30 июля 2001 г.). "Метод наименьших квадратов коллокации без сетки". Международный журнал численных методов в инженерии . 51 (9): 1089–1100. Bibcode : 2001IJNME..51.1089Z . DOI : 10.1002 / nme.200 .
  19. ^ Boroomand, B .; Soghrati, S .; Мовахедян, Б. (2009). «Экспоненциальные базисные функции в решении статических и гармонических по времени упругих задач в бессеточном стиле». Международный журнал численных методов в инженерии : н / д. DOI : 10.1002 / nme.2718 .
  20. ^ Гонейм, A. (март 2015). «Бессеточный метод конечных элементов интерфейса для моделирования изотермического растворенного плавления и затвердевания в бинарных системах». Конечные элементы в анализе и дизайне . 95 : 20–41. DOI : 10.1016 / j.finel.2014.10.002 .
  21. ^ а б Чен, Цзюн-Шянь; Хиллман, Майкл; Чи, Шэн-Вэй (апрель 2017 г.). «Безсеточные методы: прогресс, достигнутый за 20 лет». Журнал инженерной механики . 143 (4): 04017001. DOI : 10,1061 / (ASCE) EM.1943-7889.0001176 .
  22. ^ Белычко, Тед; Го, Юн; Кам Лю, Крыло; Пин Сяо, Шао (30 июля 2000 г.). «Единый анализ устойчивости бессеточных методов частиц». Международный журнал численных методов в инженерии . 48 (9): 1359–1400. Bibcode : 2000IJNME..48.1359B . DOI : 10.1002 / 1097-0207 (20000730) 48: 9 <1359 :: АИД-NME829> 3.0.CO; 2-У .
  23. ^ a b c Чен, Цзюн-Шянь; Ву, Чэн-Тан; Юн, Сангпил; Ю, Ян (20 января 2001 г.). «Стабилизированная согласованная узловая интеграция для методов Галеркина без сетки». Международный журнал численных методов в инженерии . 50 (2): 435–466. Bibcode : 2001IJNME..50..435C . DOI : 10.1002 / 1097-0207 (20010120) 50: 2 <435 :: АИД-NME32> 3.0.CO; 2-А .
  24. ^ Chen, Jiun-Шань; Хиллман, Майкл; Рютер, Маркус (3 августа 2013 г.). «Вариационно-согласованное интегрирование произвольного порядка для бессеточных методов Галеркина». Международный журнал численных методов в инженерии . 95 (5): 387–418. Bibcode : 2013IJNME..95..387C . DOI : 10.1002 / nme.4512 .
  25. ^ Лю, GR (2009). "Теория пространства AG и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: Часть I теории". Международный журнал численных методов в инженерии : н / д. DOI : 10.1002 / nme.2719 .
  26. ^ Лю, GR (2009). "Теория пространства AG и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: приложения части II к задачам механики твердого тела". Международный журнал численных методов в инженерии : н / д. DOI : 10.1002 / nme.2720 .
  27. ^ Лю GR, Zhang GY, Dai KY, Wang YY, Zhong ZH, Li GY и Han X, Метод линейно согласованной точечной интерполяции (LC-PIM) для двумерных задач механики твердого тела, Международный журнал вычислительных методов , 2 (4): 645–665, 2005.
  28. ^ Г.Р. Лю, Г.Р. Чжан. Методы интерполяции сглаженных точек на основе краев. Международный журнал вычислительных методов, 5 (4): 621–646, 2008 г.
  29. ^ Лю, GR; Чжан, GY (20 ноября 2011 г.). «Нормированное пространство G и ослабленная слабая (W2) формулировка метода интерполяции сглаженных точек на основе ячеек». Международный журнал вычислительных методов . 06 (1): 147–179. DOI : 10.1142 / S0219876209001796 .
  30. ^ Лю, GR; Чжан, GY (14 мая 2008 г.). «Верхнее решение для задач упругости: уникальное свойство метода линейно согласованной точечной интерполяции (LC-PIM)». Международный журнал численных методов в инженерии . 74 (7): 1128–1161. Bibcode : 2008IJNME..74.1128L . DOI : 10.1002 / nme.2204 .
  31. ^ a b c Лю, Г. Р., 2010 сглаженные методы конечных элементов , CRC Press, ISBN 978-1-4398-2027-8 . [ требуется страница ] 
  32. ^ Лю, GR; Сюй, Георг X. (10 декабря 2008 г.). «Метод градиентного сглаживания (GSM) для задач гидродинамики». Международный журнал численных методов в жидкостях . 58 (10): 1101–1133. Bibcode : 2008IJNMF..58.1101L . DOI : 10.1002 / fld.1788 .
  33. ^ Чжан, Цзянь; Лю, GR; Лам, штат Кентукки; Ли, Хуа; Сюй, Г. (ноябрь 2008 г.). «Метод градиентного сглаживания (GSM), основанный на сильной форме управляющего уравнения для адаптивного анализа задач механики твердого тела». Конечные элементы в анализе и дизайне . 44 (15): 889–909. DOI : 10.1016 / j.finel.2008.06.006 .
  34. ↑ Лю, GR (20 ноября 2011 г.). «О теории G-пространства». Международный журнал вычислительных методов . 06 (2): 257–289. DOI : 10.1142 / S0219876209001863 .
  35. ^ Лю, GR (2009). "Теория пространства AG и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: Часть I теории". Международный журнал численных методов в инженерии : н / д. DOI : 10.1002 / nme.2719 .
  36. ^ Лю, GR (2009). "Теория пространства AG и ослабленная слабая (W2) форма для единой формулировки совместимых и несовместимых методов: приложения части II к задачам механики твердого тела". Международный журнал численных методов в инженерии : н / д. DOI : 10.1002 / nme.2720 .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Гарг, Сахил; Пант, Мохит (24 мая 2018 г.). «Свободные от сетки методы: всесторонний обзор приложений». Международный журнал вычислительных методов . 15 (4): 1830001. DOI : 10,1142 / S0219876218300015 .
  • Лю, МБ; Лю, GR; Цзун, З. (20 ноября 2011 г.). «Обзор гидродинамики сглаженных частиц». Международный журнал вычислительных методов . 05 (1): 135–188. DOI : 10.1142 / S021987620800142X .
  • Лю, GR; Лю, МБ (2003). Гидродинамика сглаженных частиц, бессеточный метод и метод частиц . World Scientific. ISBN 981-238-456-1.
  • Атлури, СН (2004). Бессеточный метод (MLPG) для дискретизации домена и BIE . Tech Science Press. ISBN 0-9657001-8-6.
  • Arroyo, M .; Ортис, М. (26 марта 2006 г.). «Схемы аппроксимации локальной максимальной энтропии: бесшовный мост между конечными элементами и бессеточными методами». Международный журнал численных методов в инженерии . 65 (13): 2167–2202. Bibcode : 2006IJNME..65.2167A . CiteSeerX  10.1.1.68.2696 . DOI : 10.1002 / nme.1534 .
  • Беличко, Т., Чен, Дж. С. (2007). Методы без сетки и частиц , John Wiley and Sons Ltd. ISBN 0-470-84800-6 
  • Белычко, Т .; Huerta, A .; Fernández-Méndez, S; Рабчук, Т. (2004), "Бессеточные методы", Энциклопедия вычислительной механики, том. 1.Глава 10, Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-470-84699-2 
  • Лю, Г. Р. 1-е изд., 2002. Методы без сетки , CRC Press. ISBN 0-8493-1238-8 . 
  • Ли С., Лю В.К. (2004). Meshfree Particle Methods , Берлин: Springer Verlag. ISBN 3-540-22256-1 
  • Уэрта, Антонио; Фернандес-Мендес, Соня (20 августа 2000 г.). «Обогащение и объединение методов конечных элементов и бессеточных методов». Международный журнал численных методов в инженерии . 48 (11): 1615–1636. Bibcode : 2000IJNME..48.1615H . DOI : 10.1002 / 1097-0207 (20000820) 48:11 <1615 :: АИД-NME883> 3.0.CO; 2-С . hdl : 2117/8264 .
  • Нетужилов, Х. (2008), "Пространственно-временной метод коллокации для связанных задач на нерегулярных областях", Диссертация, TU Braunschweig, CSE - Вычислительные науки в технике ISBN  978-3-00-026744-4 , также как электронное изд. .
  • Нетужилов, Геннадий; Зилиан, Андреас (15 октября 2009 г.). "Пространственно-временной метод безсеточной коллокации: Методология и приложение к начально-краевым задачам". Международный журнал численных методов в инженерии . 80 (3): 355–380. Bibcode : 2009IJNME..80..355N . DOI : 10.1002 / nme.2638 .
  • Alhuri, Y .; Naji, A .; Ouazar, D .; Тайк А. (26 августа 2010 г.). «Бессеточный метод на основе RBF для крупномасштабного моделирования мелководья: экспериментальная проверка» . Математическое моделирование природных явлений . 5 (7): 4–10. DOI : 10.1051 / mmnp / 20105701 .
  • Суза, Вашингтон; де Оливейра, Родриго (апрель 2015 г.). "Метод дискретизации закона Кулона: новая методология пространственной дискретизации для метода интерполяции радиальной точки". Журнал IEEE Antennas and Propagation Magazine . 57 (2): 277–293. Bibcode : 2015IAPM ... 57..277S . DOI : 10,1109 / MAP.2015.2414571 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Блог USACM о методах Meshfree