Жесткость вращения

Спиновая жесткость или спиновая жесткость или модуль жесткости или « сверхтекучая плотность » (для бозонов сверхтекучей плотность пропорциональна спиновой жесткость) представляет собой константу , которая представляет собой изменение энергии основного состояния спиновой системы в результате введения медленный в плоскости поворот спинов. Важность этой константы заключается в ее использовании в качестве индикатора квантовых фазовых переходов, особенно в моделях с переходами металл-изолятор, таких как изоляторы Мотта . Это также связано с другими топологическими инвариантами, такими как фаза Берри и числа Черна, как вКвантовый эффект холла .

Математически [ править ]

Математически это можно определить следующим уравнением:

${\ displaystyle \ rho _ {s} = {\ cfrac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ theta ^ {2}}} {\ cfrac {E_ {0} (\ theta)} {N}} | _ {\ theta = 0}}$

где - энергия основного состояния, - угол закручивания, N - количество узлов решетки.${\ displaystyle E_ {0}}$${\ displaystyle \ theta}$

Спиновая жесткость модели Гейзенберга [ править ]

Начнем с простого спинового гамильтониана Гейзенберга:

${\displaystyle H_{\mathrm {Heisenberg} }=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+})\right]}$

Теперь введем поворот системы в точке i на угол θ _i вокруг оси z:

${\displaystyle S_{i}^{+}\longrightarrow S_{i}^{+}e^{i\theta _{i}}}$

${\displaystyle S_{i}^{-}\longrightarrow S_{i}^{-}e^{-i\theta _{i}}}$

Подключаем их обратно к гамильтониану Гейзенберга:

${\displaystyle H(\theta _{ij})=-J\sum _{<i,j>}\left[S_{i}^{z}S_{j}^{z}+{\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}e^{i\theta _{i}}S_{j}^{-}e^{-i\theta _{j}}+S_{i}^{-}e^{-i\theta _{i}}S_{j}^{+}e^{i\theta _{j}})\right]}$

теперь пусть θ _ij = θ _i - θ _j и расширяется вокруг θ _ij = 0 с помощью разложения Маклаурина, сохраняя только члены до второго порядка по θ _ij

${\displaystyle H\approx H_{\mathrm {Heisenberg} }-J\sum _{<ij>}\left[\theta _{ij}J_{ij}^{(s)}-{\cfrac {1}{2}}\theta _{ij}^{2}T_{ij}^{(s)}\right]}$

где первый член не зависит от θ, а второй член является возмущением при малых θ.

${\displaystyle J_{ij}^{s}={\cfrac {i}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}-S_{i}^{-}S_{j}^{+})}$ - z-компонента оператора спинового тока

${\displaystyle T_{ij}={\cfrac {1}{2}}(S_{i}^{+}S_{j}^{-}+S_{i}^{-}S_{j}^{+})}$ это «спиновая кинетическая энергия»

Рассмотрим теперь случай идентичных скручиваний, только θ _x, которые существуют вдоль связей ближайших соседей вдоль оси x. Тогда, поскольку спиновая жесткость связана с разницей в энергии основного состояния соотношением

${\displaystyle E(\theta )-E(0)=N\rho _{s}\theta _{x}^{2}}$

тогда при малых θ _x и с помощью теории возмущений второго порядка получаем:

${\displaystyle \rho _{s}={\cfrac {1}{N}}\left[{\cfrac {1}{2}}\langle T_{x}\rangle +\sum _{\nu \neq 0}{\cfrac {|\langle 0|j_{x}^{(s)}|\nu \rangle |^{2}}{E_{\nu }-E_{0}}}\right]}$

См. Также [ править ]

• Спиновая волна

Ссылки [ править ]

• SE Krüger; Р. Дарради; Дж. Рихтер; DJJ Farnell (2006). «Прямой расчет спиновой жесткости гейзенберговского антиферромагнетика со спином (1/2) на квадратной, треугольной и кубической решетках с использованием метода связанных кластеров». Physical Review B . 73 (9): 094404. arXiv : cond-mat / 0601691 . Bibcode : 2006PhRvB..73i4404K . DOI : 10.1103 / PhysRevB.73.094404 .
• Й. Бонча; JP Rodriguez; Дж. Феррер; К.С. Беделл (1994). «Прямой расчет спиновой жесткости для моделей Гейзенберга спина 1/2». Physical Review B . 50 (5): 3415–3418. arXiv : cond-mat / 9405069 . Bibcode : 1994PhRvB..50.3415B . DOI : 10.1103 / PhysRevB.50.3415 . PMID  9976600 . S2CID  32495059 .
• Т. Эйнарссон; HJ Schulz (1994). "Прямой расчет спиновой жесткости в антиферромагнетике Гейзенберга J ₁ −J ₂ ". Physical Review B . 51 (9): 6151–6154. arXiv : cond-mat / 9410090v1 . Bibcode : 1995PhRvB..51.6151E . DOI : 10.1103 / PhysRevB.51.6151 . PMID  9979543 . S2CID  22218061 .
• Б.С. Шастрый; Б. Сазерленд (1990). «Закрученные граничные условия и эффективная масса в кольцах Гейзенберга – Изинга и Хаббарда». Письма с физическим обзором . 65 (2): 243–246. Bibcode : 1990PhRvL..65..243S . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.65.243 . PMID  10042589 .
• RRP Singh; Д.А. Хусе (1989). "Микроскопический расчет константы спиновой жесткости для антиферромагнетика Гейзенберга со спином (1/2) квадратной решеткой". Physical Review B . 40 (10): 7247–7251. Bibcode : 1989PhRvB..40.7247S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.40.7247 . PMID  9991112 .
• Р.Г. Мелко, А.В. Сандвик, Д.И. Скалапино1 (2004). «Двумерная квантовая XY-модель с кольцевым обменом и внешним полем». Physical Review B . 69 (10): 100408–100412. arXiv : cond-mat / 0311080 . Bibcode : 2004PhRvB..69j0408M . DOI : 10.1103 / PhysRevB.69.100408 . S2CID  119491422 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)