Квантовый эффект Холла

Квантовый эффект Холла (или целое число квантового эффекта Холла ) представляет собой квантованный вариант эффекта Холла и который наблюдается в двумерный электронных системах , подвергнутых низкие температуры и сильные магнитные полей , в которых зал сопротивления $R х$ экспонаты шаги , которые берут на себя квантованные значения на определенном уровне

{\ displaystyle R_ {xy} = {\ frac {V _ {\ text {Hall}}} {I _ {\ text {channel}}}} = {\ frac {h} {e ^ {2} \ nu}}, }

где $V Hall$ является напряжение Холла , $I канал$ является каналом тока , $е$ является элементарный заряд и $ч$ является постоянная Планка . Дивизор $ν$ может принимать как целое число ( $ν = 1, 2, 3, ...$ ), так и дробное ( $ν = 1 / 3, 2 / 5, 3 / 7, 2 / 3, 3 / 5, 1 / 5, 2 / 9, 3 / 13, 5 / 2, 12 / 5, ...$ ) значения. Здесь $ν$ примерно, но не совсем равно фактору заполнения уровней Ландау . Квантовый эффект Холла называется целочисленным или дробным квантовым эффектом Холла в зависимости от того, является ли $ν$ целым или дробным числом соответственно.

Поразительной особенностью целочисленного квантового эффекта Холла является постоянство квантования (т. Е. Плато Холла) при изменении электронной плотности. Поскольку концентрация электронов остается постоянной, когда уровень Ферми находится в чистой спектральной щели, эта ситуация соответствует ситуации, когда уровень Ферми представляет собой энергию с конечной плотностью состояний, хотя эти состояния локализованы (см. Локализацию Андерсона ). ^[1]

Дробный квантовый эффект Холла является более сложным, его существование зависит главным образом от электрон-электронного взаимодействия. Дробный квантовый эффект Холла также понимается как целочисленный квантовый эффект Холла, но не электронов, а композитов потока заряда, известных как композитные фермионы . В 1988 г. было высказано предположение, что существует квантовый эффект Холла без уровней Ландау . ^[2] Этот квантовый эффект Холла называется квантовым аномальным эффектом Холла (QAH). Существует также новая концепция квантового спинового эффекта Холла, который является аналогом квантового эффекта Холла, когда вместо зарядовых токов текут спиновые токи. ^[3]

Приложения

Квантование холловской проводимости ( ${\ Displaystyle G_ {xy} = 1 / R_ {xy}}$ ) имеет важное свойство быть чрезвычайно точным. Было обнаружено, что фактические измерения холловской проводимости представляют собой целые или дробные значения, кратные $e 2 / час$ почти до одной части на миллиард. Это явление, называемое точным квантованием , на самом деле не изучено, но иногда его объясняют как очень тонкое проявление принципа калибровочной инвариантности . ^[4] Это позволило для определения нового практического стандарта для электрического сопротивления , на основе сопротивления кванта заданной константой Клитцинг $R K$ . Он назван в честь Клауса фон Клитцинга , первооткрывателя точного квантования. Квантовый эффект Холла также обеспечивает чрезвычайно точное независимое определение постоянной тонкой структуры , величины фундаментальной важности в квантовой электродинамике .

В 1990 г. фиксированное условное значение $R K-90 = 25812 .807 Ом$ было определено для использования при калибровке сопротивления по всему миру. ^[5] 16 ноября 2018 г. на 26-м заседании Генеральной конференции по мерам и весам было решено установить точные значения $h$ (постоянная Планка) и $e$ (элементарный заряд)^[6], заменив значение 1990 г. точным постоянным значение $R K = час / e 2 знак равно 25812 .807 45 ... Ом$ . ^[7]

История

МОП - транзистор (металл-оксид-полупроводник полевой транзистор ), изобретенный Mohamed Atalla и Давон Канг в Bell Labs в 1959 году, ^[8] позволило физики для изучения поведения электронов в почти идеального двумерного газа . ^[9] В полевом МОП-транзисторе электроны проводимости перемещаются в тонком поверхностном слое, и напряжение « затвора » контролирует количество носителей заряда в этом слое. Это позволяет исследователям исследовать квантовые эффекты , используя полевые МОП-транзисторы высокой чистоты при температурах жидкого гелия . ^[9]

Целочисленное квантование проводимости Холла было первоначально предсказано исследователями из Токийского университета Цунейя Андо, Юкио Мацумото и Ясутада Уэмура в 1975 году на основе приблизительного расчета, в который они сами не верили. ^[10] В 1978 году исследователи из Университета Гакусуин Дзюн-ичи Вакабаяси и Синдзи Кавадзи впоследствии наблюдали этот эффект в экспериментах, проведенных на инверсионном слое полевых МОП-транзисторов. ^[11]

В 1980 году Клаус фон Клитцинг , работая в лаборатории сильного магнитного поля в Гренобле над образцами кремниевых полевых МОП-транзисторов, разработанных Майклом Пеппером и Герхардом Дорда, сделал неожиданное открытие, что сопротивление Холла было точно квантовано. ^[12]^[9] За это открытие фон Клитцинг был удостоен Нобелевской премии по физике 1985 года . Связь между точным квантованием и калибровочной инвариантностью была впоследствии предложена Робертом Лафлином , который связал квантованную проводимость с квантованным переносом заряда в зарядовой накачке Таулеса. ^[4]^[13] Большинство экспериментов по целочисленному квантовому Холлу в настоящее время проводится на гетероструктурах из арсенида галлия , хотя могут использоваться многие другие полупроводниковые материалы. В 2007 году число квантового эффекта Холла было сообщено в графене при температурах до комнатной температуры, ^[14] и в магния цинка оксида ZnO-Mg _х Zn _1-_х О. ^[15]

Целочисленный квантовый эффект Холла

"> Воспроизвести медиа

Уровни Ландау

В двух измерениях, когда классические электроны подвергаются воздействию магнитного поля, они движутся по круговым циклотронным орбитам. Когда система рассматривается квантово-механически, эти орбиты квантуются. Для определения значений уровней энергии необходимо решить уравнение Шредингера.

Поскольку система подвергается воздействию магнитного поля, его необходимо ввести как электромагнитный векторный потенциал в уравнение Шредингера . Рассматриваемая система представляет собой электронный газ, который может свободно перемещаться в направлениях x и y, но плотно ограничен в направлении z. Затем к нему прикладывается магнитное поле вдоль направления z, и согласно шкале Ландау электромагнитный векторный потенциал равен ${\ Displaystyle \ mathbf {A} = (0, Bx, 0)}$ а скалярный потенциал равен ${\ displaystyle \ phi = 0}$ . Таким образом, уравнение Шредингера для заряженной частицы ${\ displaystyle q}$ и эффективная масса ${\ displaystyle m ^ {*}}$ в этой системе есть:

{\ Displaystyle \ left \ {{\ frac {1} {2m ^ {*}}} \ left [\ mathbf {p} -q \ mathbf {A} \ right] ^ {2} + V (z) \ right \} \ phi (x, y, z) = \ varepsilon \ phi (x, y, z)}

где ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ - канонический импульс, который заменяется оператором ${\ displaystyle -i \ hbar \ nabla}$ а также ${\ displaystyle \ varepsilon}$ это полная энергия.

Чтобы решить это уравнение, можно разделить его на два уравнения, поскольку магнитное поле просто влияет на движение по x и y. Полная энергия становится тогда суммой двух вкладов ${\ Displaystyle \ varepsilon = \ varepsilon _ {z} + \ varepsilon _ {xy}}$ . Соответствующие два уравнения:

По оси z:

{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m ^ {*}}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial z ^ {2}} \ right] u (z) = \ varepsilon _ {z} u (z)}

Просто решение считается ${\ Displaystyle V (z)}$ как бесконечный колодец, поэтому решениями для направления z являются энергии ${\ displaystyle \ varepsilon _ {z} = {\ frac {n_ {z} ^ {2} \ pi ^ {2} \ hbar ^ {2}} {2m ^ {*} L ^ {2}}}}$ ${\ displaystyle n_ {z} = 1,2,3 ...}$ а волновые функции являются синусоидальными. Для направлений x и y решение уравнения Шредингера представляет собой произведение плоской волны в направлении y с некоторой неизвестной функцией x, поскольку векторный потенциал не зависит от y, т. Е. ${\ Displaystyle \ varphi _ {ху} = и (х) е ^ {iky}}$ . Подставляя этот анзац в уравнение Шредингера, можно получить уравнение одномерного гармонического осциллятора с центром в точке ${\ displaystyle x_ {k} = {\ frac {\ hbar k} {eB}}}$ .

{\ displaystyle \ left [- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m ^ {*}}} {\ partial ^ {2} \ over \ partial x ^ {2}} + {\ frac {1} {2}} m ^ {*} \ omega _ {\ rm {c}} ^ {2} (x + l_ {B} ^ {2} k) \ right] u (x) = \ varepsilon _ {xy} u (x)}

где ${\ displaystyle \ omega _ {\ rm {c}} = {\ frac {eB} {m ^ {*}}}}$ определяется как циклотронная частота и ${\ displaystyle l_ {B} ^ {2} = {\ frac {\ hbar} {eB}}}$ магнитная длина. Энергии:

{\ displaystyle \ varepsilon _ {xy} \ Equiv \ varepsilon _ {n} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} \ left (n - {\ frac {1} {2}} \ right)}

{\ Displaystyle п = 1,2,3 ...}

А волновые функции движения в плоскости xy задаются произведением плоской волны от y и полиномов Эрмита , которые являются волновыми функциями гармонического осциллятора.

Из выражения для уровней Ландау видно, что энергия зависит только от ${\ displaystyle n}$ , не на ${\ displaystyle k}$ . Государства с одинаковыми ${\ displaystyle n}$ но разные ${\ displaystyle k}$ вырождены.

Плотность состояний

В нулевом поле плотность состояний на единицу поверхности для двумерного электронного газа с учетом вырождения из-за спина не зависит от энергии

{\ displaystyle n _ {\ rm {2D}} = {\ frac {m ^ {*}} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}

.

При включении поля плотность состояний коллапсирует с константы на гребенку Дирака , серию дираковских ${\ displaystyle \ delta}$ функции, соответствующие уровням Ландау, разделенным ${\ displaystyle \ Delta \ varepsilon _ {xy} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}}$ . Однако при конечной температуре уровни Ландау приобретают ширину ${\ Displaystyle \ Gamma = {\ гидроразрыва {\ hbar} {\ тау _ {я}}}}$ существование ${\ Displaystyle \ тау _ {я}}$ время между событиями рассеяния. Обычно предполагается, что точная форма уровней Ландау представляет собой гауссовский или лоренцевский профиль.

Еще одна особенность состоит в том, что волновые функции образуют параллельные полосы в ${\ displaystyle y}$ -направление, равномерно разнесенное по ${\ displaystyle x}$ -оси, по линиям ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$ . Поскольку в каком-либо направлении нет ничего особенного ${\ displaystyle xy}$ -плоскость, если векторный потенциал был выбран иначе, должна быть найдена круговая симметрия.

Учитывая образец размеров ${\ displaystyle L_ {x} \ times L_ {y}}$ и применяя периодические граничные условия в ${\ displaystyle y}$ -направление ${\ Displaystyle к = {\ гидроразрыва {2 \ pi} {L_ {y}}} j}$ существование ${\ displaystyle j}$ целое число, получается, что каждому параболическому потенциалу присваивается значение ${\ displaystyle x_ {k} = l_ {B} ^ {2} k}$ .

Параболические потенциалы вдоль

{\ displaystyle x}

-ось с центром в

{\ displaystyle x_ {k}}

с 1-й волновой функцией, соответствующей бесконечной яме в

{\ displaystyle z}

направление. в

{\ displaystyle y}

-направления - бегущие плоские волны.

Количество состояний для каждого Уровня Ландау и ${\ displaystyle k}$ может быть вычислен из отношения между полным магнитным потоком, который проходит через образец, и магнитным потоком, соответствующим состоянию.

{\ displaystyle N_ {B} = {\ frac {\ phi} {\ phi _ {0}}} = {\ frac {BA} {BL_ {y} \ Delta x_ {k}}} = {\ frac {A } {2 \ pi l_ {B} ^ {2}}} {\ begin {array} {lcr} & l_ {B} & \\ & = & \\ && \ end {array}} {\ frac {AeB} { 2 \ pi \ hbar}} {\ begin {array} {lcr} & \ omega _ {\ rm {c}} & \\ & = & \\ && \ end {array}} {\ frac {m ^ {* } \ omega _ {\ rm {c}} A} {2 \ pi \ hbar}}}

Таким образом, плотность состояний на единицу поверхности равна

{\ displaystyle n_ {B} = {\ frac {m ^ {*} \ omega _ {\ rm {c}}} {2 \ pi \ hbar}}}

.

Обратите внимание на зависимость плотности состояний от магнитного поля. Чем больше магнитное поле, тем больше состояний находится на каждом уровне Ландау. Как следствие, в системе больше ограничений, поскольку занято меньше уровней энергии.

Переписывая последнее выражение как ${\ displaystyle n_ {B} = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} {\ frac {m ^ {*}} {\ pi \ hbar ^ {2}}}}$ ясно, что каждый уровень Ландау содержит столько же состояний, сколько в 2DEG в ${\ displaystyle \ Delta \ varepsilon = \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}}$ .

Учитывая тот факт, что электроны являются фермионами , каждому состоянию, доступному на уровнях Ландау, соответствуют два электрона, по одному электрону с каждым значением для спина. ${\ displaystyle s = \ pm {\ frac {1} {2}}}$ . Однако, если приложено большое магнитное поле, энергии расщепляются на два уровня из-за магнитного момента, связанного с выравниванием спина с магнитным полем. Разница в энергиях составляет ${\ displaystyle \ Delta E = \ pm {\ frac {1} {2}} g \ mu _ {\ rm {B}} B}$ существование ${\ displaystyle g}$ фактор, который зависит от материала ( ${\ displaystyle g = 2}$ для свободных электронов) и ${\ displaystyle \ mu _ {\ rm {B}}}$ магнетон Бора . Знак ${\ displaystyle +}$ берется, когда спин параллелен полю и ${\ displaystyle -}$ когда антипараллельно. Этот факт, называемый спиновым расщеплением, означает, что плотность состояний для каждого уровня уменьшается вдвое. Обратите внимание, что ${\ displaystyle \ Delta E}$ пропорциональна магнитному полю, поэтому чем больше магнитное поле, тем более актуальным является расщепление.

Плотность состояний в магнитном поле без учета спинового расщепления. (а) Состояния в каждом диапазоне

{\ displaystyle \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}}

втиснуты в

{\ displaystyle \ delta}

-функция уровня Ландау. (б) Уровни Ландау имеют ненулевую ширину

{\ displaystyle \ Gamma}

в более реалистичном изображении и перекрытии, если

{\ displaystyle \ hbar \ omega _ {\ rm {c}} <\ Gamma}

. (c) Уровни становятся различными, когда

{\ displaystyle \ hbar \ omega _ {\ rm {c}}> \ Gamma}

.

Чтобы получить количество занятых уровней Ландау, определяют так называемый коэффициент заполнения ${\ displaystyle \ nu}$ как отношение плотности состояний в ДЭГ к плотности состояний на уровнях Ландау.

{\ displaystyle \ nu = {\ frac {n _ {\ rm {2D}}} {n_ {B}}} = {\ frac {hn _ {\ rm {2D}}} {eB}}}

В целом коэффициент заполнения ${\ displaystyle \ nu}$ не является целым числом. Это целое число, когда имеется точное количество заполненных уровней Ландау. Вместо этого оно становится нецелым числом, когда верхний уровень не полностью занят. С ${\ displaystyle n_ {B} \ propto B}$ , при увеличении магнитного поля уровни Ландау повышаются по энергии, и количество состояний на каждом уровне растет, поэтому меньшее количество электронов занимает верхний уровень, пока он не станет пустым. Если магнитное поле будет продолжать увеличиваться, в конечном итоге все электроны окажутся на нижнем уровне Ландау ( ${\ displaystyle \ nu <1}$ ), и это называется магнитным квантовым пределом.

Заполнение уровней Ландау в магнитном поле без учета спинового расщепления, показывающее, как уровень Ферми движется для поддержания постоянной плотности электронов. Поля находятся в соотношении

{\ displaystyle 2: 3: 4}

и дать

{\ displaystyle \ nu = 4, {\ frac {8} {3}}}

а также

{\ displaystyle 2}

.

Продольное удельное сопротивление

Фактор заполнения можно связать с удельным сопротивлением и, следовательно, с проводимостью системы. Когда ${\ displaystyle \ nu}$ является целым числом, энергия Ферми лежит между уровнями Ландау, где нет состояний, доступных для носителей, поэтому проводимость становится нулевой (считается, что магнитное поле достаточно велико, чтобы не было перекрытия между уровнями Ландау, иначе не было бы будет несколько электронов, а проводимость будет приблизительно ${\ displaystyle 0}$ ). Следовательно, удельное сопротивление тоже становится равным нулю (доказано, что при очень сильных магнитных полях продольная проводимость и удельное сопротивление пропорциональны). ^[16]

Вместо этого, когда ${\ displaystyle \ nu}$ - полуцелое число, энергия Ферми находится на пике распределения плотности некоторого Уровня Ландау. Это значит, что проводимость будет максимальной.

Такое распределение минимумов и максимумов соответствует «квантовым колебаниям», называемым колебаниями Шубникова – де Гааза, которые становятся более актуальными по мере увеличения магнитного поля. Очевидно, что высота пиков увеличивается с увеличением магнитного поля, поскольку плотность состояний увеличивается с увеличением поля, поэтому имеется больше носителей, которые вносят вклад в удельное сопротивление. Интересно отметить, что если магнитное поле очень мало, продольное сопротивление остается постоянным, что означает достижение классического результата.

Продольное и поперечное (холловское) сопротивление,

{\ displaystyle \ rho _ {xx}}

а также

{\ displaystyle \ rho _ {xy}}

, двумерного электронного газа как функция магнитного поля. На вставке показано

{\ displaystyle 1 / \ rho _ {xx}}

делится на квантовую единицу проводимости

{\ displaystyle e ^ {2} / h}

как функция коэффициента заполнения

{\ displaystyle \ nu}

.

Поперечное сопротивление

Из классического соотношения поперечного сопротивления ${\ displaystyle \ rho _ {xy} = {\ frac {B} {en _ {\ rm {2D}}}}}$ и заменяя ${\ displaystyle n _ {\ rm {2D}} = \ nu {\ frac {eB} {h}}}$ находится квантование поперечного сопротивления и проводимости:

{\ displaystyle \ rho _ {xy} = {\ frac {h} {\ nu e ^ {2}}} \ Rightarrow \ sigma = \ nu {\ frac {e ^ {2}} {h}}}

Из этого можно сделать вывод, что поперечное сопротивление кратно величине, обратной так называемому кванту проводимости. ${\ displaystyle e ^ {2} / h}$ . Тем не менее в экспериментах наблюдается плато между уровнями Ландау, что свидетельствует о наличии носителей заряда. Эти носители локализованы, например, в примесях материала, где они удерживаются на орбитах, поэтому они не могут вносить вклад в проводимость. Поэтому сопротивление между уровнями Ландау остается постоянным. Опять же, если магнитное поле уменьшается, получается классический результат, в котором удельное сопротивление пропорционально магнитному полю.

Фотонный квантовый эффект Холла

Квантовый эффект Холла может наблюдаться не только в двумерных электронных системах , но и в фотонах. Фотоны не обладают собственным электрическим зарядом , но посредством манипуляции дискретными оптическими резонаторами и квантово-механической фазой создают в них искусственное магнитное поле . ^[17] Этот процесс можно выразить метафорой фотонов, прыгающих между несколькими зеркалами. Путем попадания света через несколько зеркал фотоны направляются и получают дополнительную фазу, пропорциональную их угловому моменту . Это создает эффект, как будто они находятся в магнитном поле .

Математика

Бабочка Хофштадтера

Целые числа, появляющиеся в эффекте Холла, являются примерами топологических квантовых чисел . Они известны в математике как первые числа Черна и тесно связаны с фазой Берри . Поразительной моделью, представляющей большой интерес в этом контексте, является модель Азбеля – Харпера – Хофштадтера, квантовая фазовая диаграмма которой представляет собой бабочку Хофштадтера, показанную на рисунке. По вертикальной оси отложена напряженность магнитного поля, а по горизонтальной оси - химический потенциал , фиксирующий плотность электронов. Цвета представляют собой целочисленные холловские проводимости. Теплые цвета представляют собой положительные целые числа, а холодные - отрицательные. Отметим, однако, что плотность состояний в этих областях квантованной холловской проводимости равна нулю; следовательно, они не могут производить плато, наблюдаемые в экспериментах. Фазовая диаграмма фрактальна и имеет структуру на всех уровнях. На рисунке очевидное самоподобие . При наличии беспорядка, который является источником наблюдаемых в экспериментах плато, эта диаграмма сильно отличается, и фрактальная структура в основном размывается.

Что касается физических механизмов, примеси и / или конкретные состояния (например, краевые токи) важны как для «целочисленных», так и для «дробных» эффектов. Кроме того, кулоновское взаимодействие также существенно в дробном квантовом эффекте Холла . Наблюдаемое сильное сходство между целочисленными и дробными квантовыми эффектами Холла объясняется тенденцией электронов образовывать связанные состояния с четным числом квантов магнитного потока, называемые составными фермионами .

Интерпретация константы фон Клитцинга атомом Бора

Значение постоянной фон Клитцинга может быть получено уже на уровне отдельного атома в рамках модели Бора , рассматривая его как одноэлектронный эффект Холла. В то время как при циклотронном движении по круговой орбите центробежная сила уравновешивается силой Лоренца, ответственной за поперечное индуцированное напряжение и эффект Холла, можно рассматривать кулоновскую разность потенциалов в атоме Бора как индуцированное одноатомное напряжение Холла и периодическое движение электрона по окружности холловским током. Определение холловского тока одного атома как скорости заряда одного электрона ${\ displaystyle e}$ совершает кеплеровские обороты с угловой частотой ${\ displaystyle \ omega}$

{\ displaystyle I = {\ frac {\ omega e} {2 \ pi}},}

и индуцированное напряжение Холла как разность кулоновского потенциала ядра водорода в точке орбиты электрона и на бесконечности:

{\ displaystyle U = V _ {\ text {C}} (\ infty) -V _ {\ text {C}} (r) = 0-V _ {\ text {C}} (r) = {\ frac {e} {4 \ pi \ epsilon _ {0} r}}}

Можно получить квантование определенного сопротивления Холла орбиты Бора с шагом постоянной фон Клитцинга как

{\ displaystyle R _ {\ text {Bohr}} (n) = {\ frac {U} {I}} = n {\ frac {h} {e ^ {2}}}}

которая для атома Бора линейна, но не обратна целому числу n .

Релятивистские аналоги

Релятивистские примеры целочисленного квантового эффекта Холла и квантового спинового эффекта Холла возникают в контексте решеточной калибровочной теории . ^[18]^[19]

Смотрите также

Квантовые холловские переходы
Дробный квантовый эффект Холла
Квантовый аномальный эффект Холла
Квантовые клеточные автоматы
Композитные фермионы
Квантовая проводимость
эффект Холла
Зонд холла
Графен
Квантовый спиновый эффект Холла
Кулоновский потенциал между двумя токовыми петлями, заключенными в магнитное поле

дальнейшее чтение

ДР Йенни (1987). «Интегральный квантовый эффект Холла для неспециалистов». Ред. Мод. Phys . 59 (3): 781–824. Bibcode : 1987RvMP ... 59..781Y . DOI : 10.1103 / RevModPhys.59.781 .
Д. Се; Д. Цянь; Л. Рэй; Ю. Ся; YS Hor; RJ Cava; М.З. Хасан (2008). «Топологический дираковский диэлектрик в квантовой спиновой холловской фазе». Природа . 452 (7190): 970–974. arXiv : 0902.1356 . Bibcode : 2008Natur.452..970H . DOI : 10,1038 / природа06843 . PMID 18432240 . S2CID 4402113 .
25 лет квантовому эффекту Холла , К. фон Клитцинг, семинар Пуанкаре (Париж-2004). Постскриптум . PDF .
Пресс-релиз Magnet Lab Квантовый эффект Холла, наблюдаемый при комнатной температуре
Avron, Joseph E .; Осадчий, Даниил; Зайлер, Руеди (2003). «Топологический взгляд на квантовый эффект Холла». Физика сегодня . 56 (8): 38. Bibcode : 2003PhT .... 56h..38A . DOI : 10.1063 / 1.1611351 .
Зюн Ф. Эзава: Квантовые эффекты Холла - теоретико-полевой подход и связанные темы. World Scientific, Сингапур, 2008 г., ISBN 978-981-270-032-2
Санкар Д. Сарма, Арон Пинчук: перспективы в квантовых эффектах Холла. Wiley-VCH, Вайнхайм 2004 г., ISBN 978-0-471-11216-7
А. Баумгартнер; Т. Ин; К. Энслин; К. Марановский; А. Госсард (2007). "Переход на квантовом эффекте Холла в экспериментах со сканирующим затвором". Phys. Rev. B . 76 (8): 085316. Bibcode : 2007PhRvB..76h5316B . DOI : 10.1103 / PhysRevB.76.085316 .
Рашба Е.И., Тимофеев В.Б. Квантовый эффект Холла. Phys. - Полупроводники, т. 20, стр. 617–647 (1986).

[1] От редакции (2020-07-29). «Квантовый эффект Холла продолжает открывать свои секреты математикам и физикам» . Природа . 583 (7818): 659. DOI : 10.1038 / d41586-020-02230-7 . PMID 32728252 .

[Haldane:1988-2] FDM Haldane (1988). «Модель для квантового эффекта Холла без уровней Ландау: конденсированного реализация„Паритет Anomaly “ » . Письма с физическим обзором . 61 (18): 2015–2018. Bibcode : 1988PhRvL..61.2015H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.61.2015 . PMID 10038961 .

[3] Эзава, Зюн Ф. (2013). Квантовые эффекты Холла: последние теоретические и экспериментальные разработки (3-е изд.). World Scientific. ISBN 978-981-4360-75-3.

[Laughlin:1981-4] а б РБ Лафлин (1981). «Квантованная холловская проводимость в двух измерениях». Phys. Rev. B . 23 (10): 5632–5633. Bibcode : 1981PhRvB..23.5632L . DOI : 10.1103 / PhysRevB.23.5632 .

[physconst-RK90-5] «2018 CODATA Value: условное значение постоянной фон Клитцинга» . Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . 20 мая 2019 . Проверено 20 мая 2019 .

[6] «Резолюции 26-го заседания ГКБП» (PDF) . BIPM . Архивировано из оригинального (PDF) на 2018-11-19 . Проверено 19 ноября 2018 .

[physconst-RK-7] «Значение CODATA 2018: постоянная фон Клитцинга» . Справочник NIST по константам, единицам и неопределенности . NIST . 20 мая 2019 . Проверено 20 мая 2019 .

[computerhistory-8] «1960 - Показан металлооксидно-полупроводниковый (МОП) транзистор» . Кремниевый двигатель . Музей истории компьютеров .

[Lindley-9] а б в Линдли, Дэвид (15 мая 2015 г.). «В центре внимания: ориентиры - случайное обнаружение ведет к калибровочному стандарту» . Физика . 8 . DOI : 10.1103 / Physics.8.46 .

[Ando:1975-10] Цунейя Андо; Юкио Мацумото; Ясутада Уэмура (1975). «Теория эффекта Холла в двумерной электронной системе». J. Phys. Soc. Jpn . 39 (2): 279–288. Bibcode : 1975JPSJ ... 39..279A . DOI : 10,1143 / JPSJ.39.279 .

[Wakabayashi:1978-11] Дзюн-ичи Вакабаяси; Синдзи Кавадзи (1978). «Эффект Холла в кремниевых инверсионных МОП-слоях в сильных магнитных полях». J. Phys. Soc. Jpn . 44 (6): 1839. Bibcode : 1978JPSJ ... 44.1839W . DOI : 10,1143 / JPSJ.44.1839 .

[vonKlitzing:1980-12] К. против Клитцинга; Г. Дорда; М. Пеппер (1980). «Новый метод высокоточного определения постоянной тонкой структуры на основе квантованного сопротивления Холла» . Phys. Rev. Lett . 45 (6): 494–497. Bibcode : 1980PhRvL..45..494K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.45.494 .

[Thouless:1983-13] DJ Thouless (1983). «Квантование переноса частиц». Phys. Rev. B . 27 (10): 6083–6087. Bibcode : 1983PhRvB..27.6083T . DOI : 10.1103 / PhysRevB.27.6083 .

[Novoselov:2007-14] К.С. Новоселов; З. Цзян; Ю. Чжан; С.В. Морозов; HL Stormer; У. Цайтлер; JC Maan; GS Boebinger; П. Ким; А.К. Гейм (2007). «Квантовый эффект Холла при комнатной температуре в графене». Наука . 315 (5817): 1379. arXiv : cond-mat / 0702408 . Bibcode : 2007Sci ... 315.1379N . DOI : 10.1126 / science.1137201 . PMID 17303717 . S2CID 46256393 .

[Tsukazaki:2007-15] Tsukazaki, A .; Ohtomo, A .; Кита, Т .; Оно, Й .; Оно, H .; Кавасаки, М. (2007). «Квантовый эффект Холла в полярных оксидных гетероструктурах». Наука . 315 (5817): 1388–91. Bibcode : 2007Sci ... 315.1388T . DOI : 10.1126 / science.1137430 . PMID 17255474 . S2CID 10674643 .

[16] Дэвис Дж. Х. Физика малых размерностей . 6.4. Однородное магнитное поле. 6.5. Магнитное поле в узком канале. 6.6. Квантовый эффект Холла. ISBN 9780511819070.CS1 maint: location ( ссылка )

[17] Шайн, Натан; Рё, Альберт; Громов, Андрей; Соммер, Ариэль; Саймон, Джонатан (июнь 2016 г.). «Синтетические уровни Ландау для фотонов» . Природа . 534 (7609): 671–675. arXiv : 1511.07381 . DOI : 10.1038 / nature17943 . ISSN 0028-0836 . PMID 27281214 . S2CID 4468395 .

[Kaplan:1992-18] ДБ Каплан (1992). «Метод моделирования киральных фермионов на решетке». Письма по физике . B288 (3–4): 342–347. arXiv : hep-lat / 9206013 . Bibcode : 1992PhLB..288..342K . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (92) 91112-M . S2CID 14161004 .

[Golterman:1993-19] MFL Golterman; К. Янсен; ДБ Каплан (1993). "Токи Черна-Саймонса и киральные фермионы на решетке". Письма по физике . B301 (2–3): 219–223. arXiv : hep-lat / 9209003 . Bibcode : 1993PhLB..301..219G . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (93) 90692-B . S2CID 9265777 .

[1]