В математике квадратичная форма над полем F называется изотропной , если существует ненулевой вектор, на котором форма равна нулю. В противном случае квадратичная форма анизотропна . Точнее, если q является квадратичной формой на векторном пространстве V над F , то ненулевой вектор v в V называется изотропным , если q ( v ) = 0 . Квадратичная форма изотропна тогда и только тогда, когда существует ненулевой изотропный вектор (или нулевой вектор ) для этой квадратичной формы.
Предположим, что ( V , q ) — квадратичное пространство , а W — подпространство . Тогда W называется изотропным подпространством V , если какой - либо вектор в нем изотропен, вполне изотропным подпространством , если все векторы в нем изотропны, и анизотропным подпространством , если оно не содержит никаких (отличных от нуля) изотропных векторов. Тоиндекс изотропии квадратичного пространства есть максимум размерностей вполне изотропных подпространств. [1]
Квадратичная форма q на конечномерном вещественном векторном пространстве V анизотропна тогда и только тогда , когда q - определенная форма :
В более общем смысле, если квадратичная форма невырождена и имеет сигнатуру ( a , b ) , то ее индекс изотропии равен минимуму a и b . Важный пример изотропной формы над вещественными числами происходит в псевдоевклидовом пространстве .
Пусть F — поле характеристики не 2 и V = F 2 . Если мы рассмотрим общий элемент ( x , y ) V , то квадратичные формы q = xy и r = x 2 − y 2 эквивалентны, поскольку на V есть линейное преобразование , которое делает q похожим на r , и наоборот. Очевидно, ( V , q ) и (V , r ) изотропны. Этот пример называется гиперболической плоскостью в теории квадратичных форм . Обычный пример имеет F = действительные числа , в этом случае { x ∈ V : q ( x ) = ненулевая константа} и { x ∈ V : r ( x ) = ненулевая константа} являются гиперболами . В частности, { x ∈ V : r ( x ) = 1}является единичной гиперболой . Обозначение ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ использовалось Милнором и Хусмоллером [1] : 9 для гиперболической плоскости, поскольку показаны знаки членов двумерного многочлена r .
Аффинная гиперболическая плоскость была описана Эмилем Артином как квадратичное пространство с базисом { M , N } , удовлетворяющим M 2 = N 2 = 0, NM = 1 , где произведения представляют квадратичную форму. [2]