В математике формула следа Артура-Сельберга является обобщением формулы следа Сельберга от группы SL 2 до произвольных редуктивных групп над глобальными полями , разработанной Джеймсом Артуром в длинной серии статей с 1974 по 2003 год. Она описывает характер представление группы G ( A ) на дискретной части L2
0( G ( F )\ G ( A )) группы L2 ( G ( F )\ G ( A )) в терминах геометрических данных, где G — редуктивная алгебраическая группа, определенная над глобальным полем F , а A — кольцо адели Ф. _ _
Существует несколько различных версий формулы следа. Первой версией была неуточненная формула трассировки , члены которой зависят от операторов усечения и имеют тот недостаток, что они не являются инвариантными. Позже Артур нашел формулу инвариантной трассы и формулу стабильной трассы , которые больше подходят для приложений. Формула простого следа ( Flicker & Kazhdan 1988 ) менее общая, но ее легче доказать. Формула локального следа является аналогом над локальными полями. Формула относительного следа Жаке представляет собой обобщение, в котором функция ядра интегрируется по недиагональным подгруппам.
В случае, когда G ( F )\ G ( A ) компактно, представление расщепляется как прямая сумма неприводимых представлений, и формула следов аналогична формуле Фробениуса для характера представления, индуцированного из тривиального представления подгруппы конечного индекса .
В компактном случае, существенно принадлежащем Сельбергу, группы G ( F ) и G ( A ) можно заменить любой дискретной подгруппой Г локально компактной группы G с компактным Г\ G. Группа G действует на пространстве функций наΓ\ G правым регулярным представлением R , и это продолжается до действия группового кольца G , рассматриваемого как кольцо функций f на G. Характер этого представления задается следующим обобщением формулы Фробениуса. Действие функции f на функцию φ на Γ\ G задается выражением
Другими словами, R ( f ) — интегральный оператор в L2 ( Γ\ G ) (пространстве функций на Γ\ G ) с ядром
В большинстве случаев формулы следа Артура – Сельберга фактор G ( F ) \ G ( A ) не компактен, что вызывает следующие (тесно связанные) проблемы: