В математике , особенно в областях численного анализа, в которых основное внимание уделяется численному решению уравнений в частных производных , шаблон представляет собой геометрическое расположение узловой группы, которая связана с интересующей точкой с помощью процедуры численного приближения. Шаблоны являются основой для многих алгоритмов численного решения уравнений в частных производных (PDE). Двумя примерами трафаретов являются трафарет с пятью точками и трафарет по методу Кранка – Николсона .
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/1/1e/Crank-Nicolson-stencil.svg/200px-Crank-Nicolson-stencil.svg.png)
Трафареты делятся на две категории: компактные и некомпактные , причем разница в том, что слои из интересующей точки также используются для расчета.
В обозначениях, используемых для одномерных шаблонов, n-1, n, n + 1 указывают временные шаги, где временной шаг n и n-1 имеет известные решения и временной шаг n + 1 должен быть вычислен. Пространственное расположение конечных объемов, используемых в расчетах, обозначено j-1, j и j + 1.
Этимология
Графические представления расположения узлов и их коэффициентов возникли на раннем этапе изучения PDE. Авторы продолжают использовать для них различные термины, такие как «шаблоны релаксации», «инструкции по эксплуатации», «лепешки» или «точечные рисунки». [1] [2] Термин «шаблон» был придуман для таких шаблонов, чтобы отразить концепцию размещения шаблона в обычном смысле по вычислительной сетке, чтобы отображать только числа, необходимые на определенном этапе. [2]
Расчет коэффициентов
Коэффициенты конечных разностей для данного шаблона фиксируются выбором узловых точек. Коэффициенты могут быть вычислены путем взятия производной полинома Лагранжа, интерполирующего между узловыми точками, [3] путем вычисления разложения Тейлора вокруг каждой узловой точки и решения линейной системы [4], или путем обеспечения точности шаблона для мономов до степени трафарета. [3] Для равноразнесенных узлов, они могут быть вычислены эффективно как Паде из, где это порядок трафарета и - это отношение расстояния между самой левой производной и входами левой функции, деленное на шаг сетки. [5]
Смотрите также
Рекомендации
- Перейти ↑ Emmons, Howard W. (1 октября 1944 г.). «Численное решение дифференциальных уравнений в частных производных» (PDF) . Ежеквартальный вестник прикладной математики . 2 (3): 173–195. DOI : 10.1090 / QAM / 10680 . Проверено 17 апреля 2017 года .
- ^ а б Милн, Уильям Эдмунд (1953). Численное решение дифференциальных уравнений (1-е изд.). Вайли. С. 128–131 . Проверено 17 апреля 2017 года .
- ^ а б Форнберг, Бенгт; Флаер, Наташа (2015). «Краткое изложение конечно-разностных методов». Учебник по радиальным базисным функциям в приложениях к наукам о Земле . Общество промышленной и прикладной математики. DOI : 10.1137 / 1.9781611974041.ch1 . ISBN 9781611974027. Проверено 9 апреля 2017 года .
- ^ Тейлор, Кэмерон. «Калькулятор конечно-разностных коэффициентов» . web.media.mit.edu . Проверено 9 апреля 2017 года .
- ^ Форнберг, Бенгт (январь 1998 г.). «Классная записка: вычисление весов по формулам конечных разностей». SIAM Обзор . 40 (3): 685–691. DOI : 10.1137 / S0036144596322507 .
- WF Spotz. Компактные конечно-разностные схемы высокого порядка для вычислительной механики . Кандидатская диссертация, Техасский университет в Остине, Остин, Техас, 1995.
- Коммуникации в численных методах в инженерии, Copyright © 2008 John Wiley & Sons, Ltd.