Коэффициент конечной разности

В математике для приближения производной к произвольному порядку точности можно использовать конечную разность . Конечная разница может быть центральной , прямой или обратной .

Центральная конечная разница [ править ]

Эта таблица содержит коэффициенты центральных разностей для нескольких порядков точности и с равномерным шагом сетки: ^[1]

Например, третья производная второго порядка точности равна

${\displaystyle f'''(x_{0})\approx {\frac {-{\frac {1}{2}}f(x_{-2})+f(x_{-1})-f(x_{+1})+{\frac {1}{2}}f(x_{+2})}{h_{x}^{3}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

где представляет собой равномерный шаг сетки между каждым интервалом конечных разностей, и .${\displaystyle h_{x}}$${\displaystyle x_{n}=x_{0}+nh_{x}}$

Для -й производной с точностью есть центральные коэффициенты . Они даются решением системы линейных уравнений${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2p+1=2\left\lfloor {\frac {m+1}{2}}\right\rfloor -1+n}$${\displaystyle a_{-p},a_{-p+1},...,a_{p-1},a_{p}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&...&1&1\\-p&-p+1&...&p-1&p\\(-p)^{2}&(-p+1)^{2}&...&(p-1)^{2}&p^{2}\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\...&...&...&...&...\\(-p)^{2p}&(-p+1)^{2p}&...&(p-1)^{2p}&p^{2p}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{-p}\\a_{-p+1}\\a_{-p+2}\\...\\...\\...\\a_{p}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\...\\m!\\...\\0\end{pmatrix}},}$

где единственное ненулевое значение в правой части находится в -й строке.${\displaystyle (m+1)}$

Доступна реализация с открытым исходным кодом для вычисления коэффициентов конечных разностей произвольных производных и порядка точности в одном измерении. ^[2]

Прямая конечная разница [ править ]

Эта таблица содержит коэффициенты прямых разностей для нескольких порядков точности и с равномерным шагом сетки: ^[1]

Например, первая производная с точностью до третьего порядка и вторая производная с точностью до второго порядка равны

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {-{\frac {11}{6}}f(x_{0})+3f(x_{+1})-{\frac {3}{2}}f(x_{+2})+{\frac {1}{3}}f(x_{+3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{+1})+4f(x_{+2})-f(x_{+3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

в то время как соответствующие обратные приближения даются

${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {{\frac {11}{6}}f(x_{0})-3f(x_{-1})+{\frac {3}{2}}f(x_{-2})-{\frac {1}{3}}f(x_{-3})}{h_{x}}}+O\left(h_{x}^{3}\right),}$

${\displaystyle \displaystyle f''(x_{0})\approx \displaystyle {\frac {2f(x_{0})-5f(x_{-1})+4f(x_{-2})-f(x_{-3})}{h_{x}^{2}}}+O\left(h_{x}^{2}\right),}$

Обратная конечная разница [ править ]

В общем, чтобы получить коэффициенты обратных приближений, присвойте всем нечетным производным, перечисленным в таблице, противоположный знак, тогда как для четных производных знаки остаются прежними. Следующая таблица иллюстрирует это: ^[3]

Произвольные точки трафарета [ править ]

Для заданных произвольных точек трафарета длины с порядком производных конечно-разностные коэффициенты могут быть получены путем решения линейных уравнений ^[4]${\displaystyle \displaystyle s}$${\displaystyle \displaystyle N}$${\displaystyle \displaystyle d<N}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}s_{1}^{0}&\cdots &s_{N}^{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\s_{1}^{N-1}&\cdots &s_{N}^{N-1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{N}\end{pmatrix}}=d!{\begin{pmatrix}\delta _{0,d}\\\vdots \\\delta _{i,d}\\\vdots \\\delta _{N-1,d}\end{pmatrix}},}$

где - дельта Кронекера .${\displaystyle \delta _{i,j}}$

Пример для , порядок дифференцирования :${\displaystyle s=[-3,-2,-1,0,1]}$${\displaystyle d=4}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&1\\-3&-2&-1&0&1\\9&4&1&0&1\\-27&-8&-1&0&1\\81&16&1&0&1\\\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\24\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\6\\-4\\1\end{pmatrix}}.}$

Порядок точности приближения принимает обычный вид .${\displaystyle O\left(h^{(N-d)}\right)}$

См. Также [ править ]

• Метод конечных разностей
• Конечная разница
• Пятиточечный трафарет
• Численное дифференцирование

Ссылки [ править ]