Изображение пятиточечного трафарета в одном и двух измерениях (сверху и снизу соответственно).
В численном анализе , заданном квадратной сеткой в одном или двух измерениях, пятиточечный шаблон точки в сетке представляет собой шаблон, составленный из самой точки вместе с ее четырьмя «соседями». Он используется для записи конечно-разностных аппроксимаций производных в точках сетки. Это пример численного дифференцирования .
В одном измерении [ править ] В одном измерении, если расстояние между точками в сетке равно h , то пятиточечный шаблон для точки x в сетке равен
{ Икс - 2 час , Икс - час , Икс , Икс + час , Икс + 2 час } . {\ displaystyle \ \ {x-2h, xh, x, x + h, x + 2h \}.} 1D первая производная [ править ] Первая производная функции ƒ действительной переменной в точке x может быть аппроксимирована с использованием пятиточечного шаблона как: [1]
ж ′ ( Икс ) ≈ - ж ( Икс + 2 час ) + 8 ж ( Икс + час ) - 8 ж ( Икс - час ) + ж ( Икс - 2 час ) 12 час {\ displaystyle f '(x) \ приблизительно {\ frac {-f (x + 2h) + 8f (x + h) -8f (xh) + f (x-2h)} {12h}}} Обратите внимание, что центральная точка ƒ ( x ) не задействована, только четыре соседние точки.
Эту формулу можно получить, выписав четыре ряда Тейлора ( x ± h ) и ƒ ( x ± 2 h ) до членов h 3 (или до членов h 5, чтобы также получить оценку ошибки) и решая эту систему четырех уравнений, чтобы получить ƒ ′ ( x ). Собственно, в точках x + h и x - h :
ж ( Икс ± час ) знак равно ж ( Икс ) ± час ж ′ ( Икс ) + час 2 2 ж ″ ( Икс ) ± час 3 6 ж ( 3 ) ( Икс ) + О 1 ± ( час 4 ) . ( E 1 ± ) . {\ displaystyle f (x \ pm h) = f (x) \ pm hf '(x) + {\ frac {h ^ {2}} {2}} f' '(x) \ pm {\ frac {h ^ {3}} {6}} f ^ {(3)} (x) + O_ {1 \ pm} (h ^ {4}). \ Qquad (E_ {1 \ pm}).} Оценка дает нам ( E 1 + ) - ( E 1 - ) {\ displaystyle (E_ {1 +}) - (E_ {1-})}
ж ( Икс + час ) - ж ( Икс - час ) знак равно 2 час ж ′ ( Икс ) + час 3 3 ж ( 3 ) ( Икс ) + О 1 ( час 4 ) . ( E 1 ) . {\displaystyle f(x+h)-f(x-h)=2hf'(x)+{\frac {h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{1}(h^{4}).\qquad (E_{1}).} Обратите внимание, что остаточный член O 1 ( h 4 ) должен иметь порядок h 5 вместо h 4, потому что, если бы члены h 4 были записаны в ( E 1+ ) и ( E 1− ), его можно было бы видно, что они компенсировали бы друг друга на ƒ ( x + h ) - ƒ ( x - h ). Но для этого расчета это остается таким, поскольку порядок оценки ошибки здесь не рассматривается (см. Ниже).
Аналогично имеем
f ( x ± 2 h ) = f ( x ) ± 2 h f ′ ( x ) + 4 h 2 2 ! f ″ ( x ) ± 8 h 3 3 ! f ( 3 ) ( x ) + O 2 ± ( h 4 ) . ( E 2 ± ) {\displaystyle f(x\pm 2h)=f(x)\pm 2hf'(x)+{\frac {4h^{2}}{2!}}f''(x)\pm {\frac {8h^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+O_{2\pm }(h^{4}).\qquad (E_{2\pm })} и дает нам ( E 2 + ) − ( E 2 − ) {\displaystyle (E_{2+})-(E_{2-})}
f ( x + 2 h ) − f ( x − 2 h ) = 4 h f ′ ( x ) + 8 h 3 3 f ( 3 ) ( x ) + O 2 ( h 4 ) . ( E 2 ) . {\displaystyle f(x+2h)-f(x-2h)=4hf'(x)+{\frac {8h^{3}}{3}}f^{(3)}(x)+O_{2}(h^{4}).\qquad (E_{2}).} Чтобы исключить члены ƒ (3) ( x ), вычислите 8 × ( E 1 ) - ( E 2 )
8 f ( x + h ) − 8 f ( x − h ) − f ( x + 2 h ) + f ( x − 2 h ) = 12 h f ′ ( x ) + O ( h 4 ) {\displaystyle 8f(x+h)-8f(x-h)-f(x+2h)+f(x-2h)=12hf'(x)+O(h^{4})\,} таким образом давая формулу, как указано выше. Примечание: коэффициенты f в этой формуле (8, -8, -1,1) представляют собой конкретный пример более общего фильтра Савицкого-Голея .
Оценка ошибки [ править ] Погрешность этого приближения порядка h 4 . Это видно из расширения
− f ( x + 2 h ) + 8 f ( x + h ) − 8 f ( x − h ) + f ( x − 2 h ) 12 h = f ′ ( x ) − 1 30 f ( 5 ) ( x ) h 4 + O ( h 5 ) {\displaystyle {\frac {-f(x+2h)+8f(x+h)-8f(x-h)+f(x-2h)}{12h}}=f'(x)-{\frac {1}{30}}f^{(5)}(x)h^{4}+O(h^{5})} [2] которое можно получить, разложив левую часть в ряд Тейлора . В качестве альтернативы примените экстраполяцию Ричардсона к аппроксимации центральной разности на сетках с шагом 2 h и h . f ′ ( x ) {\displaystyle f'(x)}
1D производные высшего порядка [ править ] Формулы центрированной разности для пятиточечных трафаретов, аппроксимирующих вторую, третью и четвертую производные:
f ″ ( x ) ≈ − f ( x + 2 h ) + 16 f ( x + h ) − 30 f ( x ) + 16 f ( x − h ) − f ( x − 2 h ) 12 h 2 {\displaystyle f''(x)\approx {\frac {-f(x+2h)+16f(x+h)-30f(x)+16f(x-h)-f(x-2h)}{12h^{2}}}} f ( 3 ) ( x ) ≈ f ( x + 2 h ) − 2 f ( x + h ) + 2 f ( x − h ) − f ( x − 2 h ) 2 h 3 {\displaystyle f^{(3)}(x)\approx {\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+2f(x-h)-f(x-2h)}{2h^{3}}}} f ( 4 ) ( x ) ≈ f ( x + 2 h ) − 4 f ( x + h ) + 6 f ( x ) − 4 f ( x − h ) + f ( x − 2 h ) h 4 {\displaystyle f^{(4)}(x)\approx {\frac {f(x+2h)-4f(x+h)+6f(x)-4f(x-h)+f(x-2h)}{h^{4}}}} Ошибки этих приближений составляют O ( h 4 ), O ( h 2 ) и O ( h 2 ) соответственно. [2]
Связь с интерполяционными полиномами Лагранжа [ править ] В качестве альтернативы получению конечных разностных весов из ряда Тейлора они могут быть получены путем дифференцирования полиномов Лагранжа
ℓ j ( ξ ) = ∏ i = 0 , i ≠ j k ξ − x i x j − x i , {\displaystyle \ell _{j}(\xi )=\prod _{i=0,\,i\neq j}^{k}{\frac {\xi -x_{i}}{x_{j}-x_{i}}},} где точки интерполяции
x 0 = x − 2 h , x 1 = x − h , x 2 = x , x 3 = x + h , x 4 = x + 2 h . {\displaystyle x_{0}=x-2h,\quad x_{1}=x-h,\quad x_{2}=x,\quad x_{3}=x+h,\quad x_{4}=x+2h.} Тогда полином четвертой степени, интерполирующий ƒ ( x ) в этих пяти точках, равен p 4 ( x ) {\displaystyle p_{4}(x)}
p 4 ( x ) = ∑ j = 0 4 f ( x j ) ℓ j ( x ) {\displaystyle p_{4}(x)=\sum \limits _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell _{j}(x)} и его производная
p 4 ′ ( x ) = ∑ j = 0 4 f ( x j ) ℓ j ′ ( x ) . {\displaystyle p_{4}'(x)=\sum \limits _{j=0}^{4}f(x_{j})\ell '_{j}(x).} Итак, конечно-разностная аппроксимация ƒ ′ ( x ) в средней точке x = x 2 имеет вид
f ′ ( x 2 ) = ℓ 0 ′ ( x 2 ) f ( x 0 ) + ℓ 1 ′ ( x 2 ) f ( x 1 ) + ℓ 2 ′ ( x 2 ) f ( x 2 ) + ℓ 3 ′ ( x 2 ) f ( x 3 ) + ℓ 4 ′ ( x 2 ) f ( x 4 ) + O ( h 4 ) {\displaystyle f'(x_{2})=\ell _{0}'(x_{2})f(x_{0})+\ell _{1}'(x_{2})f(x_{1})+\ell _{2}'(x_{2})f(x_{2})+\ell _{3}'(x_{2})f(x_{3})+\ell _{4}'(x_{2})f(x_{4})+O(h^{4})} Вычисление производных пяти полиномов Лагранжа при x = x 2 дает те же веса, что и выше. Этот метод может быть более гибким, поскольку расширение до неоднородной сетки довольно просто.
В двух измерениях [ править ] В двух измерениях, если, например, размер квадратов в сетке h на h , пятиточечный шаблон точки ( x , y ) в сетке будет
{ ( x − h , y ) , ( x , y ) , ( x + h , y ) , ( x , y − h ) , ( x , y + h ) } , {\displaystyle \{(x-h,y),(x,y),(x+h,y),(x,y-h),(x,y+h)\},\,} формируя узор, который также называют квинконксом . Этот шаблон часто используется для аппроксимации лапласиана функции двух переменных:
∇ 2 f ( x , y ) ≈ f ( x − h , y ) + f ( x + h , y ) + f ( x , y − h ) + f ( x , y + h ) − 4 f ( x , y ) h 2 . {\displaystyle \nabla ^{2}f(x,y)\approx {\frac {f(x-h,y)+f(x+h,y)+f(x,y-h)+f(x,y+h)-4f(x,y)}{h^{2}}}.} Погрешность этого приближения составляет O ( h 2 ), [3],
Из трехточечных шаблонов для второй производной функции по x и y:
∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + Δ x , y ) + f ( x − Δ x , y ) − 2 f ( x , y ) Δ x 2 − 2 f ( 4 ) ( x , y ) 4 ! Δ x 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}={\frac {f\left(x+\Delta x,y\right)+f\left(x-\Delta x,y\right)-2f(x,y)}{\Delta x^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta x^{2}+\cdots \end{array}}}
∂ 2 f ∂ y 2 = f ( x , y + Δ y ) + f ( x , y − Δ y ) − 2 f ( x , y ) Δ y 2 − 2 f ( 4 ) ( x , y ) 4 ! Δ y 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}={\frac {f\left(x,y+\Delta y\right)+f\left(x,y-\Delta y\right)-2f(x,y)}{\Delta y^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}\Delta y^{2}+\cdots \end{array}}}
Если предположить : Δ x = Δ y = h {\displaystyle \Delta x=\Delta y=h}
∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 = f ( x + h , y ) + f ( x − h , y ) + f ( x , y + h ) + f ( x , y − h ) − 4 f ( x , y ) h 2 − 4 f ( 4 ) ( x , y ) 4 ! h 2 + ⋯ = f ( x + h , y ) + f ( x − h , y ) + f ( x , y + h ) + f ( x , y − h ) − 4 f ( x , y ) h 2 + O ( h 2 ) {\displaystyle {\begin{array}{ll}\nabla ^{2}f&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}\\&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}-4{\frac {f^{(4)}(x,y)}{4!}}h^{2}+\cdots \\&={\frac {f\left(x+h,y\right)+f\left(x-h,y\right)+f\left(x,y+h\right)+f\left(x,y-h\right)-4f(x,y)}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\\\end{array}}}
^ Зауэр, Тимоти (2012). Численный анализ . Пирсон. п. 250. ISBN 978-0-321-78367-7 ^ a Abramowitz & Stegun, Таблица 25.2 ^ Abramowitz & Stegun, 25.3.30 Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1970), Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами , Дувр. 
