Компактный 2D-шаблон, в котором используются все 8 смежных узлов, а также центральный узел (красный).
В математике , особенно в областях численного анализа, называемых численными уравнениями в частных производных , компактный шаблон - это тип шаблона, который использует только девять узлов для метода дискретизации в двух измерениях. Он использует только центральный узел и соседние узлы. Для любой структурированной сетки, использующей компактный трафарет в 1, 2 или 3 измерениях, максимальное количество узлов составляет 3, 9 или 27 соответственно. Компактные трафареты можно сравнить с некомпактными трафаретами . Компактные трафареты в настоящее время применяются во многихуравнений в частных производных , в том числе некоторые из них, посвященные CFD, FEA и другим математическим решателям, относящимся к PDE. [1] [2]
Пример двухточечного трафарета [ править ] Двухточечный шаблон для первой производной функции задается следующим образом:
ж ′ ( Икс 0 ) знак равно ж ( Икс 0 + h ) − f ( x 0 − h ) 2 h + O ( h 2 ) {\displaystyle f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)}
разложения в ряд Тейлора первой производной функции, заданной по формуле:
f ′ ( x 0 ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h − f ( 2 ) ( x 0 ) 2 ! h − f ( 3 ) ( x 0 ) 3 ! h 2 − f ( 4 ) ( x 0 ) 4 ! h 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
h {\displaystyle h} − h {\displaystyle -h}
f ′ ( x 0 ) = − f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h + f ( 2 ) ( x 0 ) 2 ! h − f ( 3 ) ( x 0 ) 3 ! h 2 + f ( 4 ) ( x 0 ) 4 ! h 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
h {\displaystyle h}
2 f ′ ( x 0 ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h − f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h − 2 f ( 3 ) ( x 0 ) 3 ! h 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}2f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \end{array}}}
f ′ ( x 0 ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) 2 h − f ( 3 ) ( x 0 ) 3 ! h 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+\cdots \end{array}}}
f ′ ( x 0 ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 − h ) 2 h + O ( h 2 ) {\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}-h\right)}{2h}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}}
Пример трехточечного трафарета [ править ] Например, трехточечный шаблон для второй производной функции задается следующим образом:
f ( 2 ) ( x 0 ) = f ( x 0 + h ) + f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) h 2 + O ( h 2 ) {\displaystyle {\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}}
разложения в ряд Тейлора первой производной функции, заданной по формуле:
f ′ ( x 0 ) = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h − f ( 2 ) ( x 0 ) 2 ! h − f ( 3 ) ( x 0 ) 3 ! h 2 − f ( 4 ) ( x 0 ) 4 ! h 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}-{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}-{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
h {\displaystyle h} − h {\displaystyle -h}
f ′ ( x 0 ) = − f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h + f ( 2 ) ( x 0 ) 2 ! h − f ( 3 ) ( x 0 ) 3 ! h 2 + f ( 4 ) ( x 0 ) 4 ! h 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x_{0})=-{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-{\frac {f^{(3)}(x_{0})}{3!}}h^{2}+{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
h {\displaystyle h} 0 = f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) h + f ( x 0 − h ) − f ( x 0 ) h − 2 f ( 2 ) ( x 0 ) 2 ! h − 2 f ( 4 ) ( x 0 ) 4 ! h 3 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}0={\frac {f\left(x_{0}+h\right)-f(x_{0})}{h}}+{\frac {f\left(x_{0}-h\right)-f(x_{0})}{h}}-2{\frac {f^{(2)}(x_{0})}{2!}}h-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{3}+\cdots \end{array}}}
f ( 2 ) ( x 0 ) = f ( x 0 + h ) + f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) h 2 − 2 f ( 4 ) ( x 0 ) 4 ! h 2 + ⋯ {\displaystyle {\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}-2{\frac {f^{(4)}(x_{0})}{4!}}h^{2}+\cdots \end{array}}}
f ( 2 ) ( x 0 ) = f ( x 0 + h ) + f ( x 0 − h ) − 2 f ( x 0 ) h 2 + O ( h 2 ) {\displaystyle {\begin{array}{l}f^{(2)}(x_{0})={\frac {f\left(x_{0}+h\right)+f\left(x_{0}-h\right)-2f(x_{0})}{h^{2}}}+O\left(h^{2}\right)\end{array}}}
Эта статья
требует дополнительных ссылок для проверки .
Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники: «Компактный трафарет» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июль 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
^ WF Spotz. Компактные конечно-разностные схемы высокого порядка для вычислительной механики. Кандидатская диссертация, Техасский университет в Остине, Остин, Техас, 1995. ^ Коммуникации в численных методах в инженерии, Copyright © 2008 John Wiley & Sons, Ltd. 
