Вынужденное излучение

Лазерный свет - это разновидность вынужденного излучения.

Вынужденное излучение - это процесс, с помощью которого входящий фотон определенной частоты может взаимодействовать с возбужденным атомным электроном (или другим возбужденным молекулярным состоянием), заставляя его опускаться до более низкого энергетического уровня. Высвобожденная энергия передается в электромагнитное поле, создавая новый фотон с фазой , частотой , поляризацией и направлением движения, которые идентичны фотонам падающей волны. Это отличается от спонтанного излучения , которое происходит через случайные промежутки времени безотносительно к окружающему электромагнитному полю.

Этот процесс идентичен по форме атомному поглощению, в котором энергия поглощенного фотона вызывает идентичный, но противоположный атомный переход: с нижнего уровня на более высокий энергетический уровень. В нормальных средах при тепловом равновесии поглощение превышает стимулированное излучение, потому что в состояниях с более низкой энергией больше электронов, чем в состояниях с более высокой энергией. Однако при наличии инверсии населенностей скорость стимулированного излучения превышает скорость поглощения, и может быть достигнуто чистое оптическое усиление . Такая усиливающая среда вместе с оптическим резонатором лежит в основе лазера или мазера . Отсутствие механизма обратной связи, лазерные усилителии суперлюминесцентные источники также функционируют на основе вынужденного излучения.

Обзор [ править ]

Электроны и их взаимодействие с электромагнитными полями важны для нашего понимания химии и физики . В классической точке зрения , энергия электрона на орбите атомного ядра больше для орбит дальше от ядра в качестве атома . Однако квантово-механические эффекты заставляют электроны занимать дискретные позиции на орбиталях . Таким образом, электроны находятся на определенных энергетических уровнях атома, два из которых показаны ниже:

Когда электрон поглощает энергию света (фотоны) или тепла ( фононы ), он получает падающий квант энергии. Но переходы разрешены только между дискретными уровнями энергии, такими как два, показанные выше. Это приводит к эмиссионным линиям и линиям поглощения .

Когда электрон возбужден с более низкого энергетического уровня на более высокий, маловероятно, что он останется таким навсегда. Электрон в возбужденном состоянии может распасться до состояния с более низкой энергией, которое не занято, в соответствии с конкретной постоянной времени, характеризующей этот переход. Когда такой электрон распадается без внешнего воздействия, испуская фотон, это называется « спонтанным излучением ». Фаза и направление, связанные с испускаемым фотоном, случайны. Таким образом, материал с множеством атомов в таком возбужденном состоянии может приводить к излучению с узким спектром (сосредоточенным вокруг одной длины волнысвета), но отдельные фотоны не будут иметь общего фазового соотношения и также будут излучаться в случайных направлениях. Это механизм флуоресценции и теплового излучения .

Внешнее электромагнитное поле с частотой, связанной с переходом, может влиять на квантово-механическое состояние атома без поглощения. Когда электрон в атоме совершает переход между двумя стационарными состояниями (ни одно из которых не показывает дипольное поле), он входит в переходное состояние, которое имеет дипольное поле и которое действует как небольшой электрический диполь., и этот диполь колеблется с характерной частотой. В ответ на внешнее электрическое поле на этой частоте вероятность перехода электрона в это переходное состояние значительно увеличивается. Таким образом, скорость переходов между двумя стационарными состояниями увеличивается по сравнению со скоростью спонтанного излучения. Переход от состояния с более высокой энергией к состоянию с более низкой энергией дает дополнительный фотон с той же фазой и направлением, что и падающий фотон; это процесс вынужденного излучения .

История [ править ]

Вынужденное излучение было теоретическим открытием Альберта Эйнштейна ^{[1] [2]} в рамках старой квантовой теории , в которой излучение описывалось в терминах фотонов, которые являются квантами электромагнитного поля. Вынужденное излучение также может происходить в классических моделях без привязки к фотонам или квантовой механике. ^[3] (См. Также Laser # History .)

Математическая модель [ править ]

Вынужденное излучение можно смоделировать математически, рассматривая атом, который может находиться в одном из двух электронных энергетических состояний, состоянии нижнего уровня (возможно, основном состоянии) (1) и возбужденном состоянии (2) с энергиями E ₁ и E ₂ соответственно. .

Если атом находится в возбужденном состоянии, он может распасться в более низкое состояние в процессе спонтанного излучения , высвобождая разницу в энергиях между двумя состояниями в виде фотона. Фотон будет иметь частоту ν ₀ и энергию hν ₀ , определяемую следующим образом:

${\ displaystyle E_ {2} -E_ {1} = h \, \ nu _ {0}}$

где h - постоянная Планка .

В качестве альтернативы, если атом в возбужденном состоянии возмущен электрическим полем с частотой ν ₀ , он может испустить дополнительный фотон той же частоты и синфазно, таким образом увеличивая внешнее поле, оставляя атом в состоянии с более низкой энергией. Этот процесс известен как вынужденное излучение .

В группе таких атомов, если число атомов в возбужденном состоянии определяется выражением N ₂ , скорость, с которой происходит вынужденное излучение, определяется выражением

${\ displaystyle {\ frac {\ partial N_ {2}} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial N_ {1}} {\ partial t}} = - B_ {21} \, \ rho ( \ nu) \, N_ {2}}$

где константа пропорциональности B ₂₁ известна как коэффициент Эйнштейна B для этого конкретного перехода, а ρ ( ν ) - плотность излучения падающего поля на частоте ν . Таким образом, скорость излучения пропорциональна количеству атомов в возбужденном состоянии N ₂ и плотности падающих фотонов.

В то же время будет процесс атомного поглощения, который удаляет энергию из поля, поднимая электроны из нижнего состояния в верхнее состояние. Его скорость определяется по существу идентичным уравнением:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial N_ {2}} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial N_ {1}} {\ partial t}} = B_ {12} \, \ rho (\ nu) \, N_ {1}}$.

Таким образом, скорость поглощения пропорциональна числу атомов в нижнем состоянии N ₁ . Эйнштейн показал, что коэффициент для этого перехода должен быть идентичен коэффициенту для вынужденного излучения:

${\ displaystyle B_ {12} = B_ {21}}$.

Таким образом, поглощение и вынужденное излучение - это обратные процессы, протекающие с несколько разной скоростью. Другой способ взглянуть на это - посмотреть на чистое стимулированное излучение или поглощение, рассматривая его как единый процесс. Чистую скорость переходов от E ₂ к E ₁ из-за этого комбинированного процесса можно найти, сложив их соответствующие скорости, указанные выше:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial N_ {1} ^ {\ text {net}}} {\ partial t}} = - {\ frac {\ partial N_ {2} ^ {\ text {net}}} { \ partial t}} = B_ {21} \, \ rho (\ nu) \, (N_ {2} -N_ {1}) = B_ {21} \, \ rho (\ nu) \, \ Delta N}$.

Таким образом, в электрическое поле выделяется чистая мощность, равная энергии фотона hν, умноженной на эту чистую скорость перехода. Для того , чтобы это было положительное число, указывающее чистое вынужденное излучение, должна быть более атомами в возбужденном состоянии , чем в нижнем уровне: . В противном случае возникает чистое поглощение, и мощность волны уменьшается во время прохождения через среду. Это особое условие известно как инверсия населенностей , довольно необычное условие, которое должно выполняться в усиливающей среде лазера.${\ displaystyle \ Delta N> 0}$${\ displaystyle N_ {2}> N_ {1}}$

Примечательной характеристикой стимулированного излучения по сравнению с обычными источниками света (которые зависят от спонтанного излучения) является то, что испускаемые фотоны имеют ту же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, что и падающие фотоны. Таким образом, участвующие фотоны взаимно когерентны . Следовательно, при наличии инверсной населенности ( ) будет иметь место оптическое усиление падающего излучения.${\ displaystyle \ Delta N> 0}$

Хотя энергия, генерируемая стимулированным излучением, всегда имеет точную частоту поля, которое ее стимулировало, приведенное выше уравнение скорости относится только к возбуждению на конкретной оптической частоте, соответствующей энергии перехода. На частотах, смещенных от силы стимулированного (или спонтанного) излучения, будет уменьшаться в соответствии с так называемой формой линии . Рассматривая только однородное уширение, влияющее на атомный или молекулярный резонанс, функция формы спектральной линии описывается как лоренцево распределение${\ displaystyle \ nu _ {0}}$${\ displaystyle \ nu _ {0}}$

${\ displaystyle g '(\ nu) = {1 \ over \ pi} {(\ Gamma / 2) \ over (\ nu - \ nu _ {0}) ^ {2} + (\ Gamma / 2) ^ { 2}}}$

где - полная ширина на полувысоте или полоса пропускания FWHM.${\ displaystyle \ Gamma \,}$

Пиковое значение формы лоренцевской линии происходит в центре линии, . Функция формы линии может быть нормализована так, чтобы ее значение было равно единице; в случае лоренциана получаем${\displaystyle \nu =\nu _{0}}$${\displaystyle \nu _{0}}$

${\displaystyle g(\nu )={g'(\nu ) \over g'(\nu _{0})}={(\Gamma /2)^{2} \over (\nu -\nu _{0})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}}$.

Таким образом, стимулированное излучение на частотах, удаленных от , уменьшается на этот фактор. На практике также может иметь место уширение формы линии из-за неоднородного уширения , в первую очередь из-за эффекта Доплера, возникающего в результате распределения скоростей в газе при определенной температуре. Это имеет гауссову форму и снижает пиковую силу функции формы линии. В практических задачах функция формы полной линии может быть вычислена путем свертки отдельных задействованных функций формы линии. Следовательно, оптическое усиление будет добавлять мощность падающему оптическому полю на частоте со скоростью, определяемой${\displaystyle \nu _{0}}$${\displaystyle \nu }$

${\displaystyle P=h\nu \,g(\nu )\,B_{21}\,\rho (\nu )\,\Delta N}$.

Сечение вынужденного излучения [ править ]

Сечение вынужденного излучения

${\displaystyle \sigma _{21}(\nu )=A_{21}{\frac {\lambda ^{2}}{8\pi n^{2}}}g(\nu )}$

куда

₂₁ является Эйнштейна коэффициент ,

λ - длина волны в вакууме,

n - показатель преломления среды (безразмерный), а

g ( ν ) - функция формы спектральной линии.

Оптическое усиление [ править ]

Вынужденное излучение может обеспечить физический механизм оптического усиления . Если внешний источник энергии стимулирует более чем 50% атомов в основном состоянии перейти в возбужденное состояние, то создается так называемая инверсия населенностей . Когда свет соответствующей частоты проходит через инвертированную среду, фотоны либо поглощаются атомами, которые остаются в основном состоянии, либо фотоны побуждают возбужденные атомы испускать дополнительные фотоны той же частоты, фазы и направления. Так как в возбужденном состоянии находится больше атомов, чем в основном состоянии, происходит усиление входной интенсивности .

Инверсия населенности в единицах атомов на кубический метр равна

${\displaystyle \Delta N_{21}=N_{2}-{g_{2} \over g_{1}}N_{1}}$

где g ₁ и g ₂ - вырождения уровней энергии 1 и 2 соответственно.

Уравнение усиления слабого сигнала [ править ]

Интенсивность (в ваттах на квадратный метр) стимулированного излучения определяется следующим дифференциальным уравнением:

${\displaystyle {dI \over dz}=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}\cdot I(z)}$

до тех пор, пока интенсивность I ( z ) достаточно мала, чтобы не оказывать существенного влияния на величину инверсии населенности. Объединяя первые два фактора вместе, это уравнение упрощается как

${\displaystyle {dI \over dz}=\gamma _{0}(\nu )\cdot I(z)}$

куда

${\displaystyle \gamma _{0}(\nu )=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}}$

- коэффициент усиления слабого сигнала (в радианах на метр). Мы можем решить дифференциальное уравнение, используя разделение переменных :

${\displaystyle {dI \over I(z)}=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz}$

Интегрируя, находим:

${\displaystyle \ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

или же

${\displaystyle I(z)=I_{in}e^{\gamma _{0}(\nu )z}}$

куда

${\displaystyle I_{in}=I(z=0)\,}$ - оптическая интенсивность входного сигнала (в ваттах на квадратный метр).

Интенсивность насыщенности [ править ]

Интенсивность насыщения I _S определяется как входная интенсивность, при которой коэффициент усиления оптического усилителя падает ровно до половины коэффициента усиления слабого сигнала. Мы можем вычислить интенсивность насыщения как

${\displaystyle I_{S}={h\nu \over \sigma (\nu )\cdot \tau _{S}}}$

куда

${\displaystyle h}$является постоянная Планка , а

${\displaystyle \tau _{\text{S}}}$ - постоянная времени насыщения, которая зависит от времени жизни спонтанного излучения различных переходов между уровнями энергии, связанных с усилением.

${\displaystyle \nu }$ частота в Гц

Минимальное значение возникает при резонансе ^[4], где сечение наибольшее. Это минимальное значение:${\displaystyle I_{\text{S}}(\nu )}$${\displaystyle \sigma (\nu )}$

${\displaystyle I_{\text{sat}}={\frac {\pi }{3}}{hc \over \lambda ^{3}\tau _{S}}}$

Для простого двухуровневого атома с естественной шириной линии постоянная времени насыщения .${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \tau _{\text{S}}=\Gamma ^{-1}}$

Уравнение общего усиления [ править ]

Общая форма уравнения усиления, которая применяется независимо от входной интенсивности, происходит из общего дифференциального уравнения для интенсивности I как функции положения z в усиливающей среде :

${\displaystyle {dI \over dz}={\gamma _{0}(\nu ) \over 1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}}\cdot I(z)}$

где - интенсивность насыщения. Чтобы решить эту проблему, мы сначала изменим уравнение, чтобы разделить переменные, интенсивность I и положение z :${\displaystyle I_{S}}$

${\displaystyle {dI \over I(z)}\left[1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}\right]=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz}$

Интегрируя обе части, получаем

${\displaystyle \ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I(z)-I_{in} \over I_{S}}=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

или же

${\displaystyle \ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left({I(z) \over I_{in}}-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

Коэффициент усиления G усилителя определяется как оптическая интенсивность I в позиции z, деленная на входную интенсивность:

${\displaystyle G=G(z)={I(z) \over I_{in}}}$

Подставляя это определение в предыдущее уравнение, мы находим общее уравнение усиления :

${\displaystyle \ln \left(G\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left(G-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

Приближение слабого сигнала [ править ]

В особом случае, когда входной сигнал мал по сравнению с интенсивностью насыщения, другими словами,

${\displaystyle I_{in}\ll I_{S}\,}$

то общее уравнение усиления дает усиление малого сигнала как

${\displaystyle \ln(G)=\ln(G_{0})=\gamma _{0}(\nu )\cdot z}$

или же

${\displaystyle G=G_{0}=e^{\gamma _{0}(\nu )z}}$

что идентично уравнению усиления слабого сигнала (см. выше).

Асимптотика больших сигналов [ править ]

Для больших входных сигналов, где

${\displaystyle I_{in}\gg I_{S}\,}$

усиление приближается к единице

${\displaystyle G\rightarrow 1}$

и общее уравнение усиления приближается к линейной асимптоте :

${\displaystyle I(z)=I_{in}+{\gamma _{0}(\nu )\cdot z \over {\bar {g}}(\nu )}I_{S}}$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• Салех, Бахаа Э.А. и Тейч, Малвин Карл (1991). Основы фотоники . Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-83965-5.
• Алан Корни (1977). Атомная и лазерная спектроскопия . Оксфорд: Oxford Uni. Нажмите. ISBN 0-19-921145-0. ISBN  978-0-19-921145-6 .

.3 Основы лазера, Уильям Т. Сильфваст