Субъективная логика

Субъективная логика - это тип вероятностной логики, которая явно принимает во внимание эпистемическую неопределенность и доверие к источнику. В целом субъективная логика подходит для моделирования и анализа ситуаций, связанных с неопределенностью и относительно ненадежными источниками. ^{[1] [2] [3]} Например, его можно использовать для моделирования и анализа сетей доверия и байесовских сетей .

Аргументы в субъективной логике - это субъективные мнения о переменных состояния, которые могут принимать значения из домена (также известного как пространство состояний), где значение состояния можно рассматривать как утверждение, которое может быть истинным или ложным. Биномиальное мнение применяется к двоичной переменной состояния и может быть представлено как бета-версия PDF (функция плотности вероятности). Мультиномиальное мнение применяется к переменной состояния с несколькими возможными значениями и может быть представлено как PDF Дирихле (функция плотности вероятности). Через соответствие между мнениями и распределениями Бета / Дирихле субъективная логика предоставляет алгебру для этих функций. Мнения также связаны с репрезентацией убеждений в теории убеждений Демпстера – Шафера .

Фундаментальный аспект человеческого состояния состоит в том, что никто никогда не может определить с абсолютной уверенностью, истинно или ложно утверждение о мире. Кроме того, всякий раз, когда выражается истинность предложения, это всегда делает человек, и это никогда нельзя рассматривать как представление общего и объективного убеждения. Эти философские идеи напрямую отражены в математическом формализме субъективной логики.

Субъективные мнения [ править ]

Субъективные мнения выражают субъективные убеждения об истинности государственных ценностей / утверждений со степенью эпистемической неопределенности и могут явно указывать на источник убеждений, когда это необходимо. Мнение, как правило , обозначаются как , где есть источник , по мнению, и является переменным состоянием , к которому относится мнение. Переменная может принимать значения из домена (также называемого пространством состояний), например, обозначенного как . Предполагается, что значения домена являются исчерпывающими и взаимно непересекающимися, и предполагается, что источники имеют общую семантическую интерпретацию домена. Источник и переменная являются атрибутами мнения. Если это не имеет значения, указание на источник может быть опущено.${\ displaystyle \ omega _ {X} ^ {A}}$${\ Displaystyle А \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle X \, \!}$${\ Displaystyle \ mathbb {X}}$

Биномиальные мнения [ править ]

Позвольте быть значением состояния в двоичной области. Биномиальное мнение об истинности государственного значения - это упорядоченная четверка, где:${\ Displaystyle х \, \!}$${\ Displaystyle х \, \!}$${\ displaystyle \ omega _ {x} = (b_ {x}, d_ {x}, u_ {x}, a_ {x}) \, \!}$

${\ displaystyle b_ {x} \, \!}$: масса веры	это вера, которая истинна.${\ Displaystyle х \, \!}$
${\ Displaystyle d_ {х} \, \!}$: масса неверия	это вера, которая ложна.${\ Displaystyle х \, \!}$
${\ Displaystyle и_ {х} \, \!}$: масса неопределенности	это количество незарегистрированных убеждений, также интерпретируемое как эпистемическая неопределенность .
${\ Displaystyle а_ {х} \, \!}$: базовая ставка	это априорная вероятность при отсутствии веры или неверия.

Эти компоненты удовлетворяют и . Характеристики различных классов мнений перечислены ниже.${\displaystyle b_{x}+d_{x}+u_{x}=1\,\!}$${\displaystyle b_{x},d_{x},u_{x},a_{x}\in [0,1]\,\!}$

Мнение	куда ${\displaystyle b_{x}=1\,\!}$	является абсолютным мнением, которое эквивалентно логическому ИСТИНА,
	куда ${\displaystyle d_{x}=1\,\!}$	является абсолютным мнением, которое эквивалентно логическому FALSE,
	куда ${\displaystyle b_{x}+d_{x}=1\,\!}$	догматическое мнение, эквивалентное традиционной вероятности,
	куда ${\displaystyle b_{x}+d_{x}<1\,\!}$	является неопределенным мнением, которое выражает степень эпистемической неопределенности , и
	куда ${\displaystyle b_{x}+d_{x}=0\,\!}$	это пустое мнение, которое выражает полную эпистемическую неопределенность или полную пустоту убеждений.

Прогнозируемая вероятность биномиального мнения определяется как .${\displaystyle \mathrm {P} _{x}=b_{x}+a_{x}u_{x}\,\!}$

Биномиальные мнения можно представить в виде равностороннего треугольника, как показано ниже. Точка внутри треугольника представляет тройку. Б , д , у -axes работать от одного края к противоположной вершине , указанной Belief, Неверие или метка неопределенности. Например, сильное положительное мнение представлено точкой в ​​правом нижнем углу веры. Базовая ставка, также называемая априорной вероятностью, отображается красным указателем вдоль базовой линии, а прогнозируемая вероятность${\displaystyle (b_{x},d_{x},u_{x})\,\!}$${\displaystyle \mathrm {P} _{x}\,\!}$, формируется путем проецирования мнения на базу, параллельную линии проектора базовой скорости. Мнения о трех значениях / предложениях X, Y и Z визуализируются на треугольнике слева, а их эквивалентные бета-функции PDF (функции плотности вероятности) визуализируются на графиках справа. Также показаны числовые значения и словесные качественные описания каждого мнения.

Beta PDF обычно обозначается как , где и являются его двумя параметрами прочности. Бета-коэффициент вероятности биномиального мнения - это функция, где - неинформативный априорный вес, также называемый единицей свидетельства ^[4], обычно установленный на .${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta )\,\!}$${\displaystyle \alpha \,\!}$${\displaystyle \beta \,\!}$${\displaystyle \omega _{x}=(b_{x},d_{x},u_{x},a_{x})\,\!}$${\displaystyle \mathrm {Beta} (p(x);\alpha ,\beta ){\mbox{ where }}{\begin{cases}\alpha &={\frac {Wb_{x}}{u_{x}}}+Wa_{x}\\\beta &={\frac {Wd_{x}}{u_{x}}}+W(1-a_{x})\end{cases}}\,\!}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W=2}$

Полиномиальные мнения [ править ]

Позвольте быть переменной состояния, которая может принимать значения состояния . Полиномиальное мнение - это составной кортеж , где - распределение массы убеждений по возможным значениям состояния , - масса неопределенности и - априорное (базовое) распределение вероятностей по возможным значениям состояния . Этим параметрам удовлетворяют и так же как .${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle x\in \mathbb {X} \,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$${\displaystyle b_{X}\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle u_{X}\,\!}$${\displaystyle a_{X}\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle u_{X}+\sum b_{X}(x)=1\,\!}$${\displaystyle \sum a_{X}(x)=1\,\!}$${\displaystyle b_{X}(x),u_{X},a_{X}(x)\in [0,1]\,\!}$

Трехчленные мнения можно просто визуализировать как точки внутри тетраэдра , но мнения с размерами больше трехчлена не поддаются простой визуализации.

PDF Дирихле обычно обозначают как где - распределение вероятностей по значениям состояния , а - параметры прочности. PDF Дирихле полиномиального заключения - это функция, в которой параметры силы задаются формулой , где - неинформативный априорный вес, также называемый единицей доказательства, ^[4] обычно установлен на .${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})\,\!}$${\displaystyle p_{X}\,\!}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha _{X}\,\!}$${\displaystyle \omega _{X}=(b_{X},u_{X},a_{X})\,\!}$${\displaystyle \mathrm {Dir} (p_{X};\alpha _{X})}$${\displaystyle \alpha _{X}(x)={\frac {Wb_{X}(x)}{u_{X}}}+Wa_{X}(x)\,\!}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W=2}$

Операторы [ править ]

Большинство операторов в таблице ниже являются обобщениями бинарной логики и операторов вероятности. Например, сложение - это просто обобщение сложения вероятностей. Некоторые операторы имеют смысл только для объединения биномиальных мнений, а некоторые также применимы к полиномиальным мнениям. ^[5] Большинство операторов бинарны, но дополнение - унарное, а абдукция - троичное. См. Ссылки на публикации для математических подробностей каждого оператора.

Субъективные логические операторы, обозначения и соответствующие пропозициональные / бинарные логические операторы

Субъективный логический оператор	Обозначение оператора	Пропозициональный / бинарный логический оператор
Дополнение [6]	${\displaystyle \omega _{x\cup y}^{A}=\omega _{x}^{A}+\omega _{y}^{A}\,\!}$	Союз
Вычитание [6]	${\displaystyle \omega _{x\backslash y}^{A}=\omega _{x}^{A}-\omega _{y}^{A}\,\!}$	Разница
Умножение [7]	${\displaystyle \omega _{x\land y}^{A}=\omega _{x}^{A}\cdot \omega _{y}^{A}\,\!}$	Соединение / И
Дивизия [7]	${\displaystyle \omega _{x{\overline {\land }}y}^{A}=\omega _{x}^{A}/\omega _{y}^{A}\,\!}$	Несоединение / UN-AND
Коумножение [7]	${\displaystyle \omega _{x\lor y}^{A}=\omega _{x}^{A}\sqcup \omega _{y}^{A}\,\!}$	Дизъюнкция / ИЛИ
Codivision [7]	${\displaystyle \omega _{x{\overline {\lor }}y}^{A}=\omega _{x}^{A}\;{\overline {\sqcup }}\;\omega _{y}^{A}\,\!}$	Нерасхождение / UN-OR
Дополнение [2] [3]	${\displaystyle \omega _{\overline {x}}^{A}\;\;=\lnot \omega _{x}^{A}\,\!}$	НЕТ
Удержание [1]	${\displaystyle \omega _{Y\|X}^{A}=\omega _{Y|X}^{A}\circledcirc \omega _{X}^{A}\,\!}$	Modus ponens
Субъективная теорема Байеса [1] [8]	${\displaystyle \omega _{X{\tilde {|}}Y}^{A}=\omega _{Y|X}^{A}\;{\widetilde {\phi \,}}\;a_{X}\,\!}$	Противопоставление
Похищение [1]	${\displaystyle \omega _{X{\widetilde {\|}}Y}^{A}=\omega _{Y|X}^{A}\;{\widetilde {\circledcirc }}\;(a_{X},\omega _{Y}^{A})\,\!}$	Modus tollens
Транзитивность / дисконтирование [1]	${\displaystyle \omega _{X}^{A;B}=\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B}\,\!}$	на
Кумулятивное слияние [1]	${\displaystyle \omega _{X}^{A\diamond B}=\omega _{X}^{A}\oplus \omega _{X}^{B}\,\!}$	на
Объединение ограничений [1]	${\displaystyle \omega _{X}^{A\&B}=\omega _{X}^{A}\;\odot \;\omega _{X}^{B}\,\!}$	на

Комбинация переходных источников может быть обозначена в компактной или развернутой форме. Например, транзитивный путь доверия от аналитика / источника через источник к переменной может быть обозначен как в компактной форме, так и в развернутой форме. Здесь выражает, что имеет некоторое доверие / недоверие к источнику , тогда как выражает, что имеет мнение о состоянии переменной, которое дается в качестве совета . Расширенная форма является наиболее общей и напрямую соответствует способу формирования субъективных логических выражений с помощью операторов.${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle [A;B,X]\,\!}$${\displaystyle [A;B]:[B,X]\,\!}$${\displaystyle [A;B]\,\!}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle [B,X]\,\!}$${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$

Свойства [ править ]

В случае, если мнения аргументов эквивалентны логическому ИСТИНА или ЛОЖЬ, результат любого субъективного логического оператора всегда равен результату соответствующего пропозиционального / бинарного логического оператора. Точно так же, когда аргументы мнений эквивалентны традиционным вероятностям, результат любого оператора субъективной логики всегда равен результату соответствующего оператора вероятности (если он существует).

В случае, если аргументы мнений содержат степени неопределенности, операторы, включающие умножение и деление (включая дедукцию, абдукцию и теорему Байеса), будут давать производные мнения, которые всегда имеют правильную прогнозируемую вероятность, но, возможно, с приблизительной дисперсией, когда рассматриваются как PDF-файлы Бета / Дирихле. ^[1] Все другие операторы дают заключения, в которых прогнозируемые вероятности и дисперсия всегда аналитически верны.

Различные логические формулы, которые традиционно эквивалентны в логике высказываний, не обязательно имеют одинаковые мнения. Например, в целом, хотя дистрибутивность конъюнкции над дизъюнкцией, выраженная как , сохраняется в бинарной логике высказываний. Это неудивительно, поскольку соответствующие операторы вероятности также не являются распределительными. Однако умножение является распределительным по сравнению с сложением, что выражается выражением . Также соблюдаются законы Де Моргана, выраженные, например, выражением .${\displaystyle \omega _{x\land (y\lor z)}\neq \omega _{(x\land y)\lor (x\land z)}\,\!}$${\displaystyle x\land (y\lor z)\Leftrightarrow (x\land y)\lor (x\land z)\,\!}$${\displaystyle \omega _{x\land (y\cup z)}=\omega _{(x\land y)\cup (x\land z)}\,\!}$${\displaystyle \omega _{\overline {x\land y}}=\omega _{{\overline {x}}\lor {\overline {y}}}\,\!}$

Субъективная логика позволяет очень эффективно вычислять математически сложные модели. Это возможно путем аппроксимации аналитически правильных функций. Хотя аналитически перемножить два бета- файла PDF в виде единого бета-файла PDF относительно просто , все более сложное быстро становится трудноразрешимым. При объединении двух бета-файлов PDF с некоторым оператором / связкой аналитический результат не всегда является бета-файлом PDF и может включать гипергеометрические ряды . В таких случаях субъективная логика всегда аппроксимирует результат как мнение, эквивалентное бета-версии PDF.

Приложения [ править ]

Субъективная логика применима, когда ситуация, подлежащая анализу, характеризуется значительной эпистемической неопределенностью из-за неполного знания. Таким образом, субъективная логика становится вероятностной логикой эпистемически неопределенных вероятностей. Преимущество состоит в том, что неопределенность сохраняется на протяжении всего анализа и явно выражается в результатах, так что можно различать определенные и неопределенные выводы.

Моделирование сетей доверия и байесовских сетей - типичные приложения субъективной логики.

Сети субъективного доверия [ править ]

Сети субъективного доверия можно смоделировать с помощью комбинации операторов транзитивности и слияния. Позвольте выразить край доверия рефералов от до , и позвольте выразить край доверия от до . Сеть субъективного доверия может, например, быть выражена, как показано на рисунке ниже.${\displaystyle [A;B]\,\!}$${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle [B,X]\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle ([A;B]:[B,X])\diamond ([A;C]:[C,X])\,\!}$

Индексы 1, 2 и 3 указывают хронологический порядок формирования ребер доверия и советов. Таким образом, учитывая набор доверительных ребер с индексом 1, доверительный управляющий-источник получает совет от и и, таким образом, может получить доверие к переменной . Выражая каждую крайность доверия и край убеждений как мнение, можно получить убеждение, выраженное как .${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle B\,\!}$${\displaystyle C\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle A\,\!}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle \omega _{X}^{A}=\omega _{X}^{[A;B]\diamond [A;C]}=(\omega _{B}^{A}\otimes \omega _{X}^{B})\oplus (\omega _{C}^{A}\otimes \omega _{X}^{C})\,\!}$

Сети доверия могут выражать надежность источников информации и могут использоваться для определения субъективных мнений о переменных, о которых источники предоставляют информацию.

Субъективная логика, основанная на доказательствах ( EBSL ) ^[4], описывает альтернативное вычисление сети доверия, где транзитивность мнений (дисконтирование) обрабатывается путем применения весов к свидетельствам, лежащим в основе мнений.

Субъективные байесовские сети [ править ]

В приведенной ниже байесовской сети и являются родительскими переменными, а являются дочерней переменной. Аналитик должен изучить набор совместных условных мнений , чтобы применить оператор дедукции и получить предельное мнение о переменной . Условные мнения выражают условную связь между родительскими переменными и дочерней переменной.${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle Y\,\!}$${\displaystyle Z\,\!}$${\displaystyle \omega _{Z|XY}}$${\displaystyle \omega _{Z\|XY}}$${\displaystyle Z}$

Выведенное мнение вычисляется как . Мнение о совместных доказательствах может быть вычислено как результат мнений независимых доказательств и , или как совместный продукт мнений частично зависимых доказательств.${\displaystyle \omega _{Z\|XY}=\omega _{Z|XY}\circledcirc \omega _{XY}}$${\displaystyle \omega _{XY}}$${\displaystyle X\,\!}$${\displaystyle Y\,\!}$

Субъективные сети [ править ]

Комбинация сети субъективного доверия и субъективной байесовской сети является субъективной сетью. Сеть субъективного доверия может использоваться для получения из различных источников мнений, которые будут использоваться в качестве исходных мнений для субъективной байесовской сети, как показано на рисунке ниже.

Традиционные байесовские сети обычно не принимают во внимание надежность источников. В субъективных сетях явно учитывается доверие к источникам.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Субъективная логика , Аудун Йосанг
• Структура субъективного логического экспериментирования, основанная на субъективных логических операторах в оценке доверия: эмпирическое исследование Ф. Черутти, Л. М. Каплан, Т. Дж. Норман, Н. Орен и А. Тониоло