Бета-распространение

Бета

Функция плотности вероятности
Кумулятивная функция распределения
Обозначение	Бета ( α , β )
Параметры	α > 0 форма ( реальная ) β > 0 форма ( реальная )
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в [0,1] \!}$ или же ${\ Displaystyle х \ в (0,1) \!}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {x ^ {\ alpha -1} (1-x) ^ {\ beta -1}} {\ mathrm {B} (\ alpha, \ beta)}} \!}$ где и - гамма-функция .${\ Displaystyle \ mathrm {B} (\ альфа, \ бета) = {\ гидроразрыва {\ Gamma (\ alpha) \ Gamma (\ beta)} {\ Gamma (\ alpha + \ beta)}}}$${\ displaystyle \ Gamma}$
CDF	${\ Displaystyle I_ {х} (\ альфа, \ бета) \!}$ ( регуляризованная неполная бета-функция )
Иметь в виду	${\ displaystyle \ operatorname {E} [X] = {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}} \!}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [\ ln X] = \ psi (\ alpha) - \ psi (\ alpha + \ beta) \!}$ ${\ displaystyle \ operatorname {E} [X \, \ ln X] = {\ frac {\ alpha} {\ alpha + \ beta}} \, \ left [\ psi (\ alpha +1) - \ psi (\ альфа + \ бета +1) \ право] \!}$ (см. функцию дигаммы и см. раздел: Среднее геометрическое )
Медиана	${\ displaystyle {\ begin {matrix} I _ {\ frac {1} {2}} ^ {[- 1]} (\ alpha, \ beta) {\ text {(в общем)}} \\ [0.5em] \ приблизительно {\ frac {\ alpha - {\ tfrac {1} {3}}} {\ alpha + \ beta - {\ tfrac {2} {3}}}} {\ text {for}} \ alpha, \ бета> 1 \ end {matrix}}}$
Режим	${\ displaystyle {\ frac {\ alpha -1} {\ alpha + \ beta -2}} \!}$для α , β > 1 любое значение в для α , β = 1${\ displaystyle (0,1)}$ {0, 1} (бимодальный) для α , β <1 0 для α ≤ 1, β > 1 1 для α > 1, β ≤ 1
Дисперсия	${\displaystyle \operatorname {var} [X]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}\!}$ ${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )\!}$ (см. функцию тригаммы и см. раздел: Геометрическая дисперсия )
Асимметрия	${\displaystyle {\frac {2\,(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}}$
Бывший. эксцесс	${\displaystyle {\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$
Энтропия	${\displaystyle {\begin{matrix}\ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )-(\alpha -1)\psi (\alpha )-(\beta -1)\psi (\beta )\\[0.5em]+(\alpha +\beta -2)\psi (\alpha +\beta )\end{matrix}}}$
MGF	${\displaystyle 1+\sum _{k=1}^{\infty }\left(\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {\alpha +r}{\alpha +\beta +r}}\right){\frac {t^{k}}{k!}}}$
CF	${\displaystyle {}_{1}F_{1}(\alpha ;\alpha +\beta ;i\,t)\!}$(см. Конфлюэнтная гипергеометрическая функция )
Информация Fisher	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\operatorname {var} [\ln X]&\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]&\operatorname {var} [\ln(1-X)]\end{bmatrix}}}$ см. раздел: Информационная матрица Fisher
Метод моментов	${\displaystyle \alpha =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)E[X]}$ ${\displaystyle \beta =\left({\frac {E[X](1-E[X])}{V[X]}}-1\right)(1-E[X])}$

В теории вероятностей и статистике , то бета - распределение представляет собой семейство непрерывных вероятностных распределений , заданных на интервале [0, 1] спараметрированного два положительных параметров формы , обозначаемых альфа и бета , которые появляются в качестве показателей случайной величины и управления формой распределения. Обобщение на несколько переменных называется распределением Дирихле .

Бета-распределение применялось для моделирования поведения случайных величин, ограниченных интервалами конечной длины, в самых разных дисциплинах.

В байесовском выводе бета-распределение - это сопряженное априорное распределение вероятностей для распределений Бернулли , биномиального , отрицательного биномиального и геометрического распределений. Бета-распределение является подходящей моделью для случайного поведения процентов и пропорций.

Обсуждаемая здесь формулировка бета-распределения также известна как бета-распределение первого типа , тогда как бета-распределение второго типа является альтернативным названием для простого бета-распределения .

Определения [ править ]

Функция плотности вероятности [ править ]

Функция плотности вероятности (pdf) бета-распределения для 0 ≤ x ≤ 1 и параметров формы α , β > 0 является степенной функцией переменной  x и ее отражения (1 - x ) следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&=\mathrm {constant} \cdot x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[3pt]&={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\displaystyle \int _{0}^{1}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\\[6pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\end{aligned}}}$

где Γ ( z ) - гамма-функция . Бета - функция , является константой нормировки , чтобы гарантировать , что суммарная вероятность равна 1. В приведенных выше уравнениях х является реализация -an наблюдаемое значение , которое фактически произошло из- случайный процесс X .${\displaystyle \mathrm {B} }$ 

Это определение включает оба конца x = 0 и x = 1 , что согласуется с определениями для других непрерывных распределений, поддерживаемых на ограниченном интервале, которые являются частными случаями бета-распределения, например, распределение арксинуса , и согласуется с несколькими авторами, такими как NL Джонсон и С. Коц . ^{[1] [2] [3] [4]} Однако включение x = 0 и x = 1 не работает для α , β <1 ; соответственно, несколько других авторов, в том числеУ. Феллер , ^{[5] [6] [7]} решили исключить концы x = 0 и x = 1 (так, чтобы два конца фактически не были частью области определения функции плотности) и вместо этого рассматривали 0 < x <1 .

Несколько авторов, в том числе Н.Л. Джонсон и С. Коц , ^[1] используют символы p и q (вместо α и β ) для параметров формы бета-распределения, напоминающие символы, традиционно используемые для параметров распределения Бернулли , потому что бета-распределение приближается к распределению Бернулли в пределе, когда оба параметра формы α и β приближаются к значению нуля.

Далее случайная величина X с бета-распределением параметров α и β будет обозначаться как: ^{[8] [9]}

${\displaystyle X\sim \operatorname {Beta} (\alpha ,\beta )}$

Другие обозначения для бета-распределенных случайных величин, используемые в статистической литературе: ^[10] и . ^[5]${\displaystyle X\sim {\mathcal {B}}e(\alpha ,\beta )}$${\displaystyle X\sim \beta _{\alpha ,\beta }}$

Кумулятивная функция распределения [ править ]

Кумулятивная функция распределения является

${\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {\mathrm {B} {}(x;\alpha ,\beta )}{\mathrm {B} {}(\alpha ,\beta )}}=I_{x}(\alpha ,\beta )}$

где - неполная бета-функция и - регуляризованная неполная бета-функция .${\displaystyle \mathrm {B} (x;\alpha ,\beta )}$${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )}$

Альтернативные параметризации [ править ]

Два параметра [ править ]

Среднее значение и размер выборки [ править ]

Бета-распределение также может быть повторно параметризовано в терминах его среднего μ (0 < μ <1) и суммы двух параметров формы ν = α + β > 0 ( ^[9] стр. 83). Обозначение αPosterior и βPosterior параметров формы апостериорного бета-распределения, полученного в результате применения теоремы Байеса к биномиальной функции правдоподобия и априорной вероятности, интерпретация сложения обоих параметров формы как размер выборки = ν = α · Posterior + β· Апостериорная верна только для априорной вероятности Холдейна Бета (0,0). В частности, для байесовского (однородного) предшествующего бета (1,1) правильной интерпретацией будет размер выборки = α · Posterior + β  Posterior - 2 или ν = (размер выборки) + 2. Конечно, для размера выборки намного больше. чем 2, разница между этими двумя априорными числами становится незначительной. (Подробнее см. В разделе Байесовский вывод .) В остальной части этой статьи ν = α + β будет называться «размером выборки», но следует помнить, что, строго говоря, это «размер выборки» бинома. функция правдоподобия только при использовании беты Холдейна (0,0) до теоремы Байеса.

Эта параметризация может быть полезна при оценке байесовских параметров. Например, можно провести тест нескольким людям. Если предположить, что оценка каждого человека (0 ≤ θ ≤ 1) получена из бета-распределения на уровне популяции, то важной статистикой будет среднее значение этого распределения на уровне популяции. Параметры среднего и размера выборки связаны с параметрами формы α и β через ^[9]

α = μν , β = (1 - μ ) ν

При такой параметризации можно поставить неинформативную априорную вероятность над средним, а неопределенную априорную вероятность (такую ​​как экспоненциальное или гамма-распределение) - над положительными действительными значениями для размера выборки, если они независимы, и априорных данных и / или убеждений. оправдать это.

Режим и концентрация [ править ]

Режим и «концентрация» также могут использоваться для расчета параметров бета-распределения. ^[11]${\displaystyle \kappa =\alpha +\beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\omega (\kappa -2)+1\\\beta &=(1-\omega )(\kappa -2)+1\end{aligned}}}$

Среднее значение (частота аллелей) и генетическое расстояние (Райта) между двумя популяциями [ править ]

Модель Болдинга – Николса ^[12] представляет собой двухпараметрическую параметризацию бета-распределения, используемую в популяционной генетике . Это статистическое описание частот аллелей в компонентах подразделяемой популяции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\mu \nu ,\\\beta &=(1-\mu )\nu ,\end{aligned}}}$

где и ; здесь F - генетическая дистанция (Райта) между двумя популяциями.${\displaystyle \nu =\alpha +\beta ={\frac {1-F}{F}}}$${\displaystyle 0<F<1}$

Дополнительную информацию см. В статьях Модель Болдинга – Николса , F-статистика , индекс фиксации и коэффициент взаимосвязи .

Среднее и дисперсия [ править ]

Решая систему (связанных) уравнений, приведенную в предыдущих разделах как уравнения для среднего и дисперсии бета-распределения в терминах исходных параметров α и β , можно выразить параметры α и β через среднее ( μ ) и дисперсия (var):

${\displaystyle {\begin{aligned}\nu &=\alpha +\beta ={\frac {\mu (1-\mu )}{\mathrm {var} }}-1,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0,{\text{ therefore: }}{\text{var}}<\mu (1-\mu )\\\alpha &=\mu \nu =\mu \left({\frac {\mu (1-\mu )}{\text{var}}}-1\right),{\text{ if }}{\text{var}}<\mu (1-\mu )\\\beta &=(1-\mu )\nu =(1-\mu )\left({\frac {\mu (1-\mu )}{\text{var}}}-1\right),{\text{ if }}{\text{var}}<\mu (1-\mu ).\end{aligned}}}$

Эта параметризация бета-распределения может привести к более интуитивному пониманию, чем то, которое основано на исходных параметрах α и β . Например, выражая режим, асимметрию, избыточный эксцесс и дифференциальную энтропию через среднее значение и дисперсию:

Четыре параметра [ править ]

Бета-распределение с двумя параметрами формы α и β поддерживается в диапазоне [0,1] или (0,1). Можно изменить местоположение и масштаб распределения, введя два дополнительных параметра, представляющих минимальное, a и максимальное c ( c > a ), значения распределения, ^[1] путем линейного преобразования, заменяющего безразмерную переменную x в терминах новой переменной y (с поддержкой [ a , c ] или ( a , c )) и параметров a и c :

${\displaystyle y=x(c-a)+a,{\text{ therefore }}x={\frac {y-a}{c-a}}.}$

Функция плотности вероятности четырехпараметрического бета-распределения равна двухпараметрическому распределению, масштабируемому по диапазону ( c - a ) (так, чтобы общая площадь под кривой плотности равнялась вероятности, равной единице), и с «y "переменная смещена и масштабирована следующим образом:

${\displaystyle f(y;\alpha ,\beta ,a,c)={\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{c-a}}={\frac {\left({\frac {y-a}{c-a}}\right)^{\alpha -1}\left({\frac {c-y}{c-a}}\right)^{\beta -1}}{(c-a)B(\alpha ,\beta )}}={\frac {(y-a)^{\alpha -1}(c-y)^{\beta -1}}{(c-a)^{\alpha +\beta -1}B(\alpha ,\beta )}}.}$

То, что случайная величина Y имеет бета-распределение с четырьмя параметрами α, β, a и c, будет обозначаться следующим образом:

${\displaystyle Y\sim Beta(\alpha ,\beta ,a,c).}$

Меры центрального расположения масштабируются (на ( c - a )) и смещаются (на a ) следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{Y}&=\mu _{X}(c-a)+a=\left({\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\right)(c-a)+a={\frac {\alpha c+\beta a}{\alpha +\beta }}\\{\text{mode}}(Y)&={\text{mode}}(X)(c-a)+a=\left({\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}\right)(c-a)+a={\frac {(\alpha -1)c+(\beta -1)a}{\alpha +\beta -2}}\ ,\qquad {\text{ if }}\alpha ,\beta >1\\{\text{median}}(Y)&={\text{median}}(X)(c-a)+a=\left(I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )\right)(c-a)+a\\{\text{Wrong!!: }}G_{Y}&=G_{X}(c-a)+a=\left(e^{\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}\right)(c-a)+a\\{\text{Wrong!!: }}H_{Y}&=H_{X}(c-a)+a=\left({\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}\right)(c-a)+a,\,\qquad {\text{if }}\alpha ,\beta >0\\\end{aligned}}}$

(среднее геометрическое и среднее гармоническое не могут быть преобразованы линейным преобразованием так, как это могут сделать среднее значение, медиана и мода.)

Параметры формы Y могут быть записаны через его среднее значение и дисперсию как

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {(a-\mu _{Y})(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\\\beta &=-{\frac {(c-\mu _{Y})(a\,c-a\,\mu _{Y}-c\,\mu _{Y}+\mu _{Y}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}{\sigma _{Y}^{2}(c-a)}}\\\end{aligned}}}$

Меры статистической дисперсии масштабируются (их не нужно сдвигать, потому что они уже сосредоточены на среднем значении) по диапазону (ca), линейно для среднего отклонения и нелинейно для дисперсии:

${\displaystyle {\text{(mean deviation around mean)}}(Y)=}$

${\displaystyle ({\text{(mean deviation around mean)}}(X))(c-a)={\frac {2\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(\alpha +\beta )^{\alpha +\beta +1}}}(c-a)}$

${\displaystyle {\text{var}}(Y)={\text{var}}(X)(c-a)^{2}={\frac {\alpha \beta (c-a)^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.}$

Поскольку асимметрия и избыточный эксцесс являются безразмерными величинами (как моменты с центром в среднем и нормированные на стандартное отклонение ), они не зависят от параметров a и c и, следовательно, равны выражениям, приведенным выше в терминах X (с support [0,1] или (0,1)):

${\displaystyle {\text{skewness}}(Y)={\text{skewness}}(X)={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.}$

${\displaystyle {\text{kurtosis excess}}(Y)={\text{kurtosis excess}}(X)={\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}}$

Свойства / Характеристики [ править ]

Меры центральной тенденции [ править ]

Режим [ править ]

Режим из беты - распределенный случайная величина X с & alpha ; , β > 1 является наиболее вероятным значением распределения (соответствующим пику в PDF), и задается следующим выражением: ^[1]

${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}$

Когда оба параметра меньше единицы ( α , β <1), это анти-режим: самая низкая точка кривой плотности вероятности. ^[3]

Если принять α = β , выражение для режима упрощается до 1/2, показывая, что при α = β > 1 мода (соответственно, анти-мода, когда α , β <1 ) находится в центре распределения: это симметричный в тех случаях. См. Раздел « Фигуры » в этой статье для получения полного списка случаев режима для произвольных значений α и β . Для некоторых из этих случаев максимальное значение функции плотности приходится на один или оба конца. В некоторых случаях (максимальное) значение функции плотности, встречающееся в конце, конечно. Например, в случае α = 2, β = 1 (илиα = 1, β = 2) функция плотности становится распределением в виде прямоугольного треугольника , конечного на обоих концах. В некоторых других случаях есть особенность на одном конце, где значение функции плотности стремится к бесконечности. Например, в случае α = β = 1/2, бета-распределение упрощается до арксинусного распределения . Среди математиков ведутся споры о некоторых из этих случаев и о том, могут ли концы ( x = 0 и x = 1) называться модами или нет. ^{[6] [8]}

• Являются ли концы частью области определения функции плотности
• Будь то особенность может когда - либо назвать режим
• Следует ли называть случаи с двумя максимумами бимодальными?

Медиана [ править ]

Медиана бета-распределения - это уникальное действительное число, для которого регуляризована неполная бета-функция . Не существует общего выражения в замкнутой форме для медианы бета-распределения для произвольных значений α и β . Выражения в закрытой форме для конкретных значений параметров α и β следующие: ^{[ необходима ссылка ]}${\displaystyle x=I_{\frac {1}{2}}^{[-1]}(\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle I_{x}(\alpha ,\beta )={\tfrac {1}{2}}}$

• Для симметричных случаев α = β , медиана = 1/2.
• Для α = 1 и β > 0 медиана (этот случай является зеркальным отображением распределения степенной функции [0,1])${\displaystyle =1-2^{-{\frac {1}{\beta }}}}$
• Для α > 0 и β = 1 median = (это случай распределения степенной функции [0,1] ^[6] ).${\displaystyle 2^{-{\frac {1}{\alpha }}}}$
• При & alpha ; = 3 , и β = 2, медиана = 0,6142724318676105 ..., реальное решение уравнения четвертой степени 1 - 8 х ³ + 6 х ⁴ = 0, которая лежит в [0,1].
• Для α = 2 и β = 3 медиана = 0,38572756813238945 ... = 1 - медиана (бета (3, 2))

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (отличным от нуля), а другой приближается к этим пределам: ^{[ необходима ссылка ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}{\text{median}}=\lim _{\alpha \to \infty }{\text{median}}=1,\\\lim _{\alpha \to 0}{\text{median}}=\lim _{\beta \to \infty }{\text{median}}=0.\end{aligned}}}$

Разумное приближение значения медианы бета-распределения, для обоих α и β больше или равных единице, дается формулой ^[13]

${\displaystyle {\text{median}}\approx {\frac {\alpha -{\tfrac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\tfrac {2}{3}}}}{\text{ for }}\alpha ,\beta \geq 1.}$

Когда α, β ≥ 1, относительная ошибка ( абсолютная ошибка, деленная на медианное значение) в этом приближении составляет менее 4%, а для α ≥ 2 и β ≥ 2 она составляет менее 1%. Абсолютная погрешность делила на разности между средним значением и режимом является так же мала:

Среднее [ править ]

Ожидаемое значение (среднее значение) ( μ ) из бета - распределения случайной величины Х с двумя параметрами альфа и β является функцией только соотношение β / & alpha ; из этих параметров: ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =\operatorname {E} [X]&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx\\&=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\\&={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}\end{aligned}}}$

Полагая α = β в приведенном выше выражении, получаем μ = 1/2 , показывая, что при α = β среднее значение находится в центре распределения: оно симметрично. Кроме того, из приведенного выше выражения можно получить следующие пределы:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to 0}\mu =1\\\lim _{{\frac {\beta }{\alpha }}\to \infty }\mu =0\end{aligned}}}$

Следовательно, при β / α → 0 или при α / β → ∞ среднее значение находится на правом конце, x = 1 . Для этих предельных соотношений бета-распределение становится одноточечным вырожденным распределением с выбросом дельта-функции Дирака на правом конце, x = 1 , с вероятностью 1 и нулевой вероятностью везде. На правом конце сосредоточена 100% вероятность (абсолютная уверенность), x = 1 .

Аналогично, при β / α → ∞ или при α / β → 0 среднее значение находится на левом конце, x = 0 . Бета-распределение становится 1-точечным вырожденным распределением с выбросом дельта-функции Дирака на левом конце, x = 0, с вероятностью 1 и нулевой вероятностью везде. 100% вероятность (абсолютная уверенность) сосредоточена на левом конце, x = 0. Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (ненулевым), а другой приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}\mu =\lim _{\alpha \to \infty }\mu =1\\\lim _{\alpha \to 0}\mu =\lim _{\beta \to \infty }\mu =0\end{aligned}}}$

В то время как для типичных одномодальных распределений (с центрально расположенными модами, точками перегиба по обе стороны от моды и более длинными хвостами) (с Beta ( α ,  β ), таким, что α , β > 2 ) известно, что среднее значение выборки (как оценка местоположения) не так надежна, как медиана выборки, наоборот, для равномерных или "U-образных" бимодальных распределений (с Beta ( α ,  β ) таким, что α , β ≤ 1 ), с модами, расположенными в концы раздачи. Как отмечают Мостеллер и Тьюки ( ^[14]п. 207) «среднее двух крайних наблюдений использует всю выборочную информацию. Это показывает, как для распределений с коротким хвостом крайние наблюдения должны иметь больший вес». Напротив, из этого следует, что медиана «U-образных» бимодальных распределений с модами на краю распределения (с Beta ( α ,  β ) такими, что α , β ≤ 1 ) не является устойчивой, поскольку медиана выборки снижает крайние выборочные наблюдения из рассмотрения. Практическое применение этого имеет место, например, для случайных блужданий , поскольку вероятность для времени последнего посещения исходной точки при случайном блуждании распределяется как распределение арксинусов Beta (1/2, 1/2): ^[5][15] среднее число реализаций случайного блуждания является гораздо более надежной оценкой, чем медиана (которая в данном случае является неподходящей оценкой выборочной меры).

Среднее геометрическое [ править ]

Логарифм среднего геометрического G _X распределения со случайной величиной X - это среднее арифметическое ln ( X ) или, что то же самое, его математическое ожидание:

${\displaystyle \ln G_{X}=\operatorname {E} [\ln X]}$

Для бета-распределения интеграл ожидаемого значения дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\ln X]&=\int _{0}^{1}\ln x\,f(x;\alpha ,\beta )\,dx\\[4pt]&=\int _{0}^{1}\ln x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,\int _{0}^{1}{\frac {\partial x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\partial \alpha }}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\int _{0}^{1}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx\\[4pt]&={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}{\frac {\partial \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&={\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha )}{\partial \alpha }}-{\frac {\partial \ln \Gamma (\alpha +\beta )}{\partial \alpha }}\\[4pt]&=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\end{aligned}}}$

где ψ - дигамма-функция .

Следовательно, среднее геометрическое бета-распределения с параметрами формы α и β является экспонентой дигамма-функций α и β следующим образом:

${\displaystyle G_{X}=e^{\operatorname {E} [\ln X]}=e^{\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )}}$

В то время как для бета-распределения с равными параметрами формы α = β следует, что асимметрия = 0 и мода = среднее значение = медиана = 1/2, среднее геометрическое меньше 1/2: 0 < G _X <1/2 . Причина этого в том, что логарифмическое преобразование сильно взвешивает значения X, близкие к нулю, поскольку ln ( X ) сильно стремится к отрицательной бесконечности, когда X приближается к нулю, а ln ( X ) выравнивается к нулю при X → 1 .

Вдоль линии α = β применяются следующие ограничения:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{X}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{X}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (отличным от нуля), а другой приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{X}=1\\\lim _{\alpha \to 0}G_{X}=\lim _{\beta \to \infty }G_{X}=0\end{aligned}}}$

На прилагаемом графике показана разница между средним и средним геометрическим для параметров формы α и β от нуля до 2. Помимо того факта, что разница между ними приближается к нулю, когда α и β приближаются к бесконечности, и что разница становится большой для значений α и β приближаются к нулю, наблюдается явная асимметрия среднего геометрического относительно параметров формы α и β. Разница между средним геометрическим и средним значением больше для малых значений α по отношению к β, чем при обмене величинами β и α.

Н. Л. Джонсон и С. Коц ^[1] предлагают логарифмическое приближение к дигамма-функции ψ ( α ) ≈ ln ( α  - 1/2), которое приводит к следующему приближению к среднему геометрическому:

${\displaystyle G_{X}\approx {\frac {\alpha \,-{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$

Численные значения относительной ошибки в этом приближении следующие: [ ( α = β = 1): 9,39% ]; [ ( α = β = 2): 1,29% ]; [ ( α = 2, β = 3): 1,51% ]; [ ( α = 3, β = 2): 0,44% ]; [ ( α = β = 3): 0,51% ]; [ ( α = β = 4): 0,26% ]; [ ( α = 3, β = 4): 0,55% ]; [ ( α= 4, β = 3): 0,24% ].

Точно так же можно вычислить значение параметров формы, необходимых для того, чтобы среднее геометрическое было равно 1/2. Учитывая значение параметра β , каково значение другого параметра  α , необходимого для того, чтобы среднее геометрическое равнялось 1/2 ?. Ответ состоит в том, что (при β > 1 ) требуемое значение α стремится к β + 1/2 при β → ∞ . Например, все эти пары имеют одно и то же среднее геометрическое 1/2: [ β = 1, α = 1,4427 ], [ β = 2, α = 2,46958 ], [ β = 3, α = 3,47943], [ β = 4, α = 4,48449 ], [ β = 5, α = 5,48756 ], [ β = 10, α = 10,4938 ], [ β = 100, α = 100,499 ].

Основным свойством среднего геометрического, которое может быть доказано, что оно неверно для любого другого среднего, является

${\displaystyle G\left({\frac {X_{i}}{Y_{i}}}\right)={\frac {G(X_{i})}{G(Y_{i})}}}$

Это делает геометрическое среднее единственным правильным средним при усреднении нормализованных результатов, то есть результатов, которые представлены как отношения к контрольным значениям. ^[16] Это актуально, потому что бета-распределение является подходящей моделью для случайного поведения процентов и особенно подходит для статистического моделирования пропорций. Среднее геометрическое играет центральную роль в оценке максимального правдоподобия, см. Раздел «Оценка параметров, максимальное правдоподобие». Фактически, при выполнении оценки максимального правдоподобия, помимо среднего геометрического G _X, основанного на случайной величине X, естественным образом появляется еще одно геометрическое среднее: среднее геометрическое, основанное на линейном преобразовании –– (1 -X ) , зеркальное отображение X , обозначаемое G _{(1 - X )} :

${\displaystyle G_{(1-X)}=e^{\operatorname {E} [\ln(1-X)]}=e^{\psi (\beta )-\psi (\alpha +\beta )}}$

Вдоль линии α = β применяются следующие ограничения:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha =\beta \to 0}G_{(1-X)}=0\\&\lim _{\alpha =\beta \to \infty }G_{(1-X)}={\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}}$

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (отличным от нуля), а другой приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\alpha \to \infty }G_{(1-X)}=0\\\lim _{\alpha \to 0}G_{(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }G_{(1-X)}=1\end{aligned}}}$

Он имеет следующее приблизительное значение:

${\displaystyle G_{(1-X)}\approx {\frac {\beta -{\frac {1}{2}}}{\alpha +\beta -{\frac {1}{2}}}}{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$

Хотя и G _X, и G _{(1 - X )} асимметричны, в случае, когда оба параметра формы равны α = β , геометрические средние равны: G _X = G _{(1 - X )} . Это равенство следует из следующей симметрии, отображаемой между обоими геометрическими средними:

${\displaystyle G_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=G_{(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )).}$

Гармоническое среднее [ править ]

Обратное значение гармонического среднего ( H _X ) распределения со случайной величиной X является средним арифметическим 1 / X или, что то же самое, его ожидаемым значением. Следовательно, гармоническое среднее ( H _X ) бета-распределения с параметрами формы α и β равно:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{X}&={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {f(x;\alpha ,\beta )}{x}}\,dx}}\\&={\frac {1}{\int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{x\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx}}\\&={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\alpha >1{\text{ and }}\beta >0\\\end{aligned}}}$

Гармоническое среднее ( Н _Х ) из бета - распределения с α <1 не определен, так как его определение выражение не ограничено в [0, 1] для параметра формы α меньше единицы.

Полагая α = β в приведенном выше выражении, получаем

${\displaystyle H_{X}={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}},}$

показывая, что при α = β среднее гармоническое колеблется от 0 при α = β = 1 до 1/2 при α = β → ∞.

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (отличным от нуля), а другой приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}H_{X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\alpha \to 1}H_{X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{X}=0\\&\lim _{\beta \to 0}H_{X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{X}=1\end{aligned}}}$

Гармоническое среднее играет роль в оценке максимального правдоподобия для случая с четырьмя параметрами в дополнение к среднему геометрическому. Фактически, при выполнении оценки максимального правдоподобия для случая с четырьмя параметрами, помимо гармонического среднего H _X, основанного на случайной величине X , естественным образом появляется еще одно гармоническое среднее: гармоническое среднее, основанное на линейном преобразовании (1 -  X ), зеркальное образ X , обозначаемый H _{1 -  X} :

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {1}{\operatorname {E} \left[{\frac {1}{1-X}}\right]}}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ if }}\beta >1,{\text{ and }}\alpha >0.}$

Гармоническое среднее ( Н _{(1 -  Х )} ) из бета - распределения с β <1 не определен, так как его определение выражение не ограничено в [0, 1] для параметра формы β меньше единицы.

Полагая α = β в приведенном выше выражении, получаем

${\displaystyle H_{(1-X)}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}},}$

показывая, что при α = β среднее гармоническое колеблется от 0 при α = β = 1 до 1/2 при α = β → ∞.

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (отличным от нуля), а другой приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}{\text{ is undefined}}\\&\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\&\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

Хотя оба H _Икс и H _{1- Х} асимметричны, в случае, когда оба параметра формы равен α = β , гармонические средства равны: Н _Х = Н _{1- Х} . Это равенство следует из следующей симметрии, отображаемой между обоими гармоническими средними:

${\displaystyle H_{X}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=H_{1-X}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )){\text{ if }}\alpha ,\beta >1.}$

Меры статистической дисперсии [ править ]

Дисперсия [ править ]

Дисперсия (второй момент сосредоточен на среднем) из беты - распределения случайной величины X с параметрами а и β является: ^{[1] [17]}

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$

Полагая α = β в приведенном выше выражении, получаем

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(2\beta +1)}},}$

показывая, что при α = β дисперсия монотонно уменьшается с увеличением α = β . Устанавливая в этом выражении α = β = 0 , можно найти максимальную дисперсию var ( X ) = 1/4 ^[1], которая возникает только при приближении к пределу, при α = β = 0 .

Бета-распределение также может быть параметризовано с точки зрения его среднего значения μ (0 < μ <1) и размера выборки ν = α + β ( ν > 0 ) (см. Подраздел « Среднее значение и размер выборки» ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=\mu \nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0\\\beta &=(1-\mu )\nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0.\end{aligned}}}$

Используя эту параметризацию , можно выразить дисперсию через среднее значение μ и размер выборки ν следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {\mu (1-\mu )}{1+\nu }}}$

Поскольку ν = ( α + β )> 0 , должно следовать, что var ( X ) < μ (1 - μ ) .

Для симметричного распределения среднее значение находится в середине распределения, μ = 1/2 , и поэтому:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(1+\nu )}}{\text{ if }}\mu ={\tfrac {1}{2}}}$

Кроме того, следующие пределы (с приближением к пределу только указанной переменной) могут быть получены из приведенных выше выражений:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\beta \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\beta \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\alpha \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\nu \to \infty }\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 0}\operatorname {var} (X)=\lim _{\mu \to 1}\operatorname {var} (X)=0\\&\lim _{\nu \to 0}\operatorname {var} (X)=\mu (1-\mu )\end{aligned}}}$

Геометрическая дисперсия и ковариация [ править ]

Логарифм геометрической дисперсии ln (var _GX ) распределения со случайной величиной X - это второй момент логарифма X с центром на среднем геометрическом X , ln ( G _X ):

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {var} _{GX}&=\operatorname {E} \left[(\ln X-\ln G_{X})^{2}\right]\\&=\operatorname {E} [(\ln X-\operatorname {E} \left[\ln X])^{2}\right]\\&=\operatorname {E} \left[(\ln X)^{2}\right]-(\operatorname {E} [\ln X])^{2}\\&=\operatorname {var} [\ln X]\end{aligned}}}$

и, следовательно, геометрическая дисперсия составляет:

${\displaystyle \operatorname {var} _{GX}=e^{\operatorname {var} [\ln X]}}$

В информационной матрице Фишера и кривизне логарифмической функции правдоподобия появляются логарифм геометрической дисперсии отраженной переменной 1 -  X и логарифм геометрической ковариации между X и 1 -  X :

${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \operatorname {var_{G(1-X)}} &=\operatorname {E} [(\ln(1-X)-\ln G_{1-X})^{2}]\\&=\operatorname {E} [(\ln(1-X)-\operatorname {E} [\ln(1-X)])^{2}]\\&=\operatorname {E} [(\ln(1-X))^{2}]-(\operatorname {E} [\ln(1-X)])^{2}\\&=\operatorname {var} [\ln(1-X)]\\&\\\operatorname {var_{G(1-X)}} &=e^{\operatorname {var} [\ln(1-X)]}\\&\\\ln \operatorname {cov_{G{X,1-X}}} &=\operatorname {E} [(\ln X-\ln G_{X})(\ln(1-X)-\ln G_{1-X})]\\&=\operatorname {E} [(\ln X-\operatorname {E} [\ln X])(\ln(1-X)-\operatorname {E} [\ln(1-X)])]\\&=\operatorname {E} \left[\ln X\ln(1-X)\right]-\operatorname {E} [\ln X]\operatorname {E} [\ln(1-X)]\\&=\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]\\&\\\operatorname {cov} _{G{X,(1-X)}}&=e^{\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]}\end{aligned}}}$

Для бета-распределения логарифмические моменты более высокого порядка могут быть получены путем использования представления бета-распределения как пропорции двух гамма-распределений и дифференцирования через интеграл. Их можно выразить через полигамма-функции более высокого порядка. См. Раздел «Другие моменты, Моменты преобразованных случайных величин, Моменты логарифмически преобразованных случайных величин». Дисперсия логарифмических переменных и ковариации из пер  Х и п (1- Х ) являются:

${\displaystyle \operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

где тригамма-функция , обозначаемая ψ ₁ (α), является второй из полигамма-функций и определяется как производная дигамма-функции :

${\displaystyle \psi _{1}(\alpha )={\frac {d^{2}\ln \Gamma (\alpha )}{d\alpha ^{2}}}={\frac {d\,\psi (\alpha )}{d\alpha }}.}$

Следовательно,

${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{GX}=\operatorname {var} [\ln X]=\psi _{1}(\alpha )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\operatorname {var} [\ln(1-X)]=\psi _{1}(\beta )-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

${\displaystyle \ln \operatorname {cov} _{GX,1-X}=\operatorname {cov} [\ln X,\ln(1-X)]=-\psi _{1}(\alpha +\beta )}$

Прилагаемые графики показывают логарифмическую геометрическую дисперсию и логарифмическую геометрическую ковариацию в зависимости от параметров формы α и β . Графики показывают, что логарифмическая геометрическая дисперсия и логарифмическая геометрическая ковариация близки к нулю для параметров формы α и β, превышающих 2, и что значение логарифмической геометрической дисперсии быстро увеличивается при значениях параметров формы α и β меньше единицы. Геометрические отклонения бревна положительны для всех значений параметров формы. Логарифмическая геометрическая ковариация отрицательна для всех значений параметров формы и достигает больших отрицательных значений для α и β меньше единицы.

Ниже приведены пределы с одним конечным параметром (отличным от нуля), а другой приближается к этим пределам:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\infty \\&\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX}=\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=0\\&\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX}=\psi _{1}(\alpha )\\&\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}=\psi _{1}(\beta )\\&\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=-\psi _{1}(\beta )\\&\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}=-\psi _{1}(\alpha )\end{aligned}}}$

Пределы с двумя изменяющимися параметрами:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to \infty }\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to \infty }\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=0\\&\lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {var} _{GX})=\lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {var} _{G(1-X)})=\infty \\&\lim _{\alpha \to 0}(\lim _{\beta \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=\lim _{\beta \to 0}(\lim _{\alpha \to 0}\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)})=-\infty \end{aligned}}}$

Хотя и ln (var _GX ), и ln (var _{G (1 -  X )} ) асимметричны, при равных параметрах формы α = β получается: ln (var _GX ) = ln (var _{G (1 − X)} ). Это равенство следует из следующей симметрии, отображаемой между двумя логарифмическими геометрическими отклонениями:

${\displaystyle \ln \operatorname {var} _{GX}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=\ln \operatorname {var} _{G(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha )).}$

Лог-геометрическая ковариация симметрична:

${\displaystyle \ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}(\mathrm {B} (\alpha ,\beta ))=\ln \operatorname {cov} _{GX,(1-X)}(\mathrm {B} (\beta ,\alpha ))}$

Среднее абсолютное отклонение от среднего [ править ]

Среднее абсолютное отклонение вокруг среднего значения для бета - распределения с параметрами формы а и β составляет: ^[6]

${\displaystyle \operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2\alpha ^{\alpha }\beta ^{\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )(\alpha +\beta )^{\alpha +\beta +1}}}}$

Среднее абсолютное отклонение вокруг среднего значения является более надежной оценки по статистической дисперсии , чем стандартное отклонение для бета - распределений с хвостами и точек перегиба на каждой стороне режима, бета ( α ,  β ) распределения с & alpha ; , β > 2, как это зависит от линейных (абсолютных) отклонений, а не от квадратичных отклонений от среднего. Таким образом, влияние очень больших отклонений от среднего значения не так сильно взвешено.

Используя приближение Стирлинга к гамма-функции , Н.Л.Джонсон и С.Котц ^[1] вывели следующее приближение для значений параметров формы больше единицы (относительная ошибка для этого приближения составляет всего -3,5% при α = β = 1, и это убывает до нуля при α → ∞, β → ∞):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\text{mean abs. dev. from mean}}{\text{standard deviation}}}&={\frac {\operatorname {E} [|X-E[X]|]}{\sqrt {\operatorname {var} (X)}}}\\&\approx {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\left(1+{\frac {7}{12(\alpha +\beta )}}{}-{\frac {1}{12\alpha }}-{\frac {1}{12\beta }}\right),{\text{ if }}\alpha ,\beta >1.\end{aligned}}}$

В пределе α → ∞, β → ∞, отношение среднего абсолютного отклонения от стандартного отклонения (для бета - распределения) становится равным отношением тех же самых мер для нормального распределения: . При α = β = 1 это отношение равно , так что от α = β = 1 к α, β → ∞ отношение уменьшается на 8,5%. Для α = β = 0 стандартное отклонение в точности равно среднему абсолютному отклонению от среднего. Следовательно, это отношение уменьшается на 15% с α = β = 0 до α = β = 1 и на 25% с α = β = 0 до α, β → ∞. Однако для искаженных бета-распределений, таких, что α → 0 или β → 0, отношение стандартного отклонения к среднему абсолютному отклонению приближается к бесконечности (хотя каждое из них по отдельности стремится к нулю), потому что среднее абсолютное отклонение приближается к нулю быстрее, чем стандартное отклонение.${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

Используя параметризацию в терминах среднего μ и объема выборки ν = α + β> 0:

α = μν, β = (1 − μ) ν

можно выразить среднее абсолютное отклонение от среднего значения через среднее значение μ и размер выборки ν следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2\mu ^{\mu \nu }(1-\mu )^{(1-\mu )\nu }}{\nu \mathrm {B} (\mu \nu ,(1-\mu )\nu )}}}$

Для симметричного распределения среднее значение находится в середине распределения, μ = 1/2, и поэтому:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [|X-E[X]|]={\frac {2^{1-\nu }}{\nu \mathrm {B} ({\tfrac {\nu }{2}},{\tfrac {\nu }{2}})}}&={\frac {2^{1-\nu }\Gamma (\nu )}{\nu (\Gamma ({\tfrac {\nu }{2}}))^{2}}}\\\lim _{\nu \to 0}\left(\lim _{\mu \to {\frac {1}{2}}}\operatorname {E} [|X-E[X]|]\right)&={\tfrac {1}{2}}\\\lim _{\nu \to \infty }\left(\lim _{\mu \to {\frac {1}{2}}}\operatorname {E} [|X-E[X]|]\right)&=0\end{aligned}}}$

Кроме того, следующие пределы (с приближением к пределу только указанной переменной) могут быть получены из приведенных выше выражений:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\alpha \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\beta \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\alpha \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\mu \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=\lim _{\mu \to 1}\operatorname {E} [|X-E[X]|]=0\\\lim _{\nu \to 0}\operatorname {E} [|X-E[X]|]&={\sqrt {\mu (1-\mu )}}\\\lim _{\nu \to \infty }\operatorname {E} [|X-E[X]|]&=0\end{aligned}}}$

Средняя абсолютная разница [ править ]

Средняя абсолютная разница для бета - распределения:

${\displaystyle \mathrm {MD} =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}f(x;\alpha ,\beta )\,f(y;\alpha ,\beta )\,|x-y|\,dx\,dy=\left({\frac {4}{\alpha +\beta }}\right){\frac {B(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )}{B(\alpha ,\alpha )B(\beta ,\beta )}}}$

Коэффициент Джини для бета-распределения составляет половину относительной средней абсолютной разницы:

${\displaystyle \mathrm {G} =\left({\frac {2}{\alpha }}\right){\frac {B(\alpha +\beta ,\alpha +\beta )}{B(\alpha ,\alpha )B(\beta ,\beta )}}}$

Асимметрия [ править ]

Перекос (третий момент сосредоточены на среднее, нормированная 3/2 мощности дисперсии) бета - распределения ^[1]

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\operatorname {E} [(X-\mu )^{3}]}{(\operatorname {var} (X))^{3/2}}}={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.}$

Полагая α = β в приведенном выше выражении, получаем γ ₁ = 0, еще раз показывая, что при α = β распределение симметрично и, следовательно, асимметрия равна нулю. Положительный перекос (правосторонний) при α <β, отрицательный перекос (левосторонний) при α> β.

Используя параметризацию в терминах среднего μ и объема выборки ν = α + β:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &{}=\mu \nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0\\\beta &{}=(1-\mu )\nu ,{\text{ where }}\nu =(\alpha +\beta )>0.\end{aligned}}}$

можно выразить асимметрию через среднее значение μ и размер выборки ν следующим образом:

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\operatorname {E} [(X-\mu )^{3}]}{(\operatorname {var} (X))^{3/2}}}={\frac {2(1-2\mu ){\sqrt {1+\nu }}}{(2+\nu ){\sqrt {\mu (1-\mu )}}}}.}$

Перекос также может быть выражено только с точки зрения дисперсии вар и средним ц следующим образом :

${\displaystyle \gamma _{1}={\frac {\operatorname {E} [(X-\mu )^{3}]}{(\operatorname {var} (X))^{3/2}}}={\frac {2(1-2\mu ){\sqrt {\text{ var }}}}{\mu (1-\mu )+\operatorname {var} }}{\text{ if }}\operatorname {var} <\mu (1-\mu )}$

Прилагаемый график асимметрии как функции дисперсии и среднего показывает, что максимальная дисперсия (1/4) сочетается с нулевой асимметрией и условием симметрии (μ = 1/2), и что максимальная асимметрия (положительная или отрицательная бесконечность) возникает, когда среднее значение находится на одном или другом конце, так что «масса» распределения вероятностей сосредоточена на концах (минимальная дисперсия).

Следующее выражение для квадрата асимметрии с точки зрения размера выборки ν = α + β и дисперсии var полезно для метода оценки моментов четырех параметров:

${\displaystyle (\gamma _{1})^{2}={\frac {(\operatorname {E} [(X-\mu )^{3}])^{2}}{(\operatorname {var} (X))^{3}}}={\frac {4}{(2+\nu )^{2}}}{\bigg (}{\frac {1}{\text{var}}}-4(1+\nu ){\bigg )}}$

Это выражение правильно дает асимметрию нуля для α = β, так как в этом случае (смотрите раздел под названием «Отклонение»): .${\displaystyle \operatorname {var} ={\frac {1}{4(1+\nu )}}}$

Для симметричного случая (α = β) асимметрия = 0 во всем диапазоне, и применяются следующие ограничения:

${\displaystyle \lim _{\alpha =\beta \to 0}\gamma _{1}=\lim _{\alpha =\beta \to \infty }\gamma _{1}=\lim _{\nu \to 0}\gamma _{1}=\lim _{\nu \to \infty }\gamma _{1}=\lim _{\mu \to {\frac {1}{2}}}\gamma _{1}=0}$

Для несимметричных случаев (α ≠ β) следующие пределы (с приближением к пределу только указанной переменной) могут быть получены из приведенных выше выражений:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{\alpha \to 0}\gamma _{1}=\lim _{\mu \to 0}\gamma _{1}=\infty \\&\lim _{\beta \to 0}\gamma _{1}=\lim _{\mu \to 1}\gamma _{1}=-\infty \\&\lim _{\alpha \to \infty }\gamma _{1}=-{\frac {2}{\sqrt {\beta }}},\quad \lim _{\beta \to 0}(\lim _{\alpha \to \infty }\gamma _{1})=-\infty ,\quad \lim _{\beta \to \infty }(\lim _{\alpha \to \infty }\gamma _{1})=0\\&\lim _{\beta \to \infty }\gamma _{1}={\frac {2}{\sqrt {\alpha }}},\quad \lim _{\alpha \to 0}(\lim _{\beta \to \infty }\gamma _{1})=\infty ,\quad \lim _{\alpha \to \infty }(\lim _{\beta \to \infty }\gamma _{1})=0\\&\lim _{\nu \to 0}\gamma _{1}={\frac {1-2\mu }{\sqrt {\mu (1-\mu )}}},\quad \lim _{\mu \to 0}(\lim _{\nu \to 0}\gamma _{1})=\infty ,\quad \lim _{\mu \to 1}(\lim _{\nu \to 0}\gamma _{1})=-\infty \end{aligned}}}$