Семантика истинного значения

В формальной семантике , истинностное значение семантики является альтернативой Тарского семантики . Его в первую очередь отстаивали Рут Баркан Маркус , ^[1] Х. Леблан, М. Данн и Н. Белнап. ^[2] Это также называется интерпретацией замещения (квантификаторов) или количественной оценкой замещения.

Идея этой семантики состоит в том, что универсальный (экзистенциальный) квантор может быть прочитан как конъюнкция (дизъюнкция) формул, в которых константы заменяют переменные в области действия квантора. Например, ∀xPx можно прочитать (Pa & Pb & Pc & ...), где a, b, c - отдельные константы, заменяющие все вхождения x в Px.

Основное различие между семантикой истинностного значения и стандартной семантикой для логики предикатов состоит в том, что не существует областей для семантики истинностного значения. Только пункты истинности для атомарных и количественных формул отличаются от таковых для стандартной семантики. Тогда как в стандартной семантике атомарные формулыкак Pb или Rca истинны тогда и только тогда, когда (референт) b является членом расширения предиката P, соответственно, тогда и только тогда, когда пара (c, a) является членом расширения R, в Семантика значений истинности Значения истинности атомарных формул являются базовыми. Универсальная (экзистенциальная) формула верна тогда и только тогда, когда верны все (некоторые) ее подстановочные примеры. Сравните это со стандартной семантикой, которая гласит, что универсальная (экзистенциальная) формула истинна тогда и только тогда, когда для всех (некоторых) членов области, формула верна для всех (некоторых) из них; например, ∀xA истинно (согласно интерпретации) тогда и только тогда, когда для всех k в области D, A (k / x) истинно (где A (k / x) - результат замены k на все вхождения x в А). (Здесь мы предполагаем, что константы - это имена сами по себе, т. Е. Они также являются членами домена.)

Семантика истинного значения не лишена проблем. Во-первых, не работают сильная теорема о полноте и компактности . Чтобы убедиться в этом, рассмотрим множество {F (1), F (2), ...}. Ясно, что формула ∀xF (x) является логическим следствием множества, но не следствием какого-либо его конечного подмножества (и, следовательно, не выводима из него). Отсюда немедленно следует, что и компактность, и сильная теорема о полноте не подходят для семантики истинностного значения. Это исправлено модифицированным определением логического следствия, данным Dunn and Belnap 1968. ^[2]

Другая проблема возникает в свободной логике . Рассмотрим язык с одной индивидуальной константой c, которая не имеет значения, и предикатом F, обозначающим «не существует». Тогда ∃xFx ложно, даже если экземпляр подстановки (фактически каждый такой экземпляр в этой интерпретации) истинен. Чтобы решить эту проблему, мы просто добавляем условие, что квантифицированное экзистенциальное утверждение истинно при интерпретации по крайней мере одного экземпляра подстановки, в котором константа обозначает что-то существующее.

Смотрите также

• Семантика игры
• Семантика Крипке
• Теоретико-доказательная семантика
• Квази-котировка
• Истинно-условная семантика

использованная литература