В математике комбинаторных игр сумма или дизъюнктивная сумма двух игр — это игра, в которой две игры проводятся параллельно, причем каждому игроку разрешается делать ход только в одной из игр за ход . Суммарная игра заканчивается, когда ни в одной из двух параллельных игр не остается ходов, и в этот момент (в обычной игре ) побеждает последний игрок, сделавший ход. Эту операцию можно распространить на дизъюнктивные суммы любого количества игр, опять же, играя игры параллельно и двигаясь ровно в одной из игр за ход. Это фундаментальная операция, которая используется в теореме Спрэга – Гранди для беспристрастных игр и которая привела к области комбинаторной теории игр.для партизанских игр .
Дизъюнктивная сумма возникает в играх, которые естественным образом разбиваются на компоненты или регионы, не взаимодействующие друг с другом, за исключением того, что каждый игрок по очереди должен выбрать только один компонент для игры. Примерами таких игр являются Го , Ним , Ростки , Доминирование , Игра Амазонки и игры-раскраски карт .
В таких играх каждый компонент может быть проанализирован отдельно на предмет упрощений, которые не влияют на его результат или результат его дизъюнктивной суммы с другими играми. После того, как этот анализ был выполнен, компоненты могут быть объединены путем взятия дизъюнктивной суммы двух игр одновременно, объединяя их в одну игру с тем же результатом, что и исходная игра.
Операция суммы была формализована Конвеем (1976) . Это коммутативная и ассоциативная операция : если две игры объединены, результат один и тот же независимо от того, в каком порядке они объединены, а если объединено более двух игр, результат один и тот же независимо от того, как они сгруппированы.
Отрицание - G игры G (игры, образованной путем обмена ролями двух игроков) образует аддитивную обратную относительно дизъюнктивных сумм: игра G + - G является нулевой игрой (выигранной тем, кто ходит вторым) с использованием простого повторения стратегия, в которой второй игрок многократно копирует ход первого игрока в другой игре. Для любых двух игр G и H игра H + G + − G имеет тот же исход, что и сама H (хотя набор доступных ходов может быть больше).
Основываясь на этих свойствах, класс комбинаторных игр можно рассматривать как имеющий структуру абелевой группы , хотя и с соответствующим классом элементов, а не (что более стандартно для групп) набором элементов. Для важного подкласса игр, называемых сюрреалистическими числами , существует оператор умножения, который расширяет эту группу до поля .