В математике и физике , супер пространство Минковского или Минковское суперпространство является суперсимметричным расширение пространства Минковского , иногда используются в качестве базового многообразия для суперполь . На нем действует супералгебра Пуанкаре .
Неформальный набросок
Неформально суперпространство Минковского можно рассматривать как суперпространство Пуанкаре по модулю алгебры группы Лоренца , точно так же, как обычное пространство-время Минковского можно рассматривать как смежные классы обычной алгебры Пуанкаре по модулю действия алгебры Лоренца. Пространство смежных классов естественно аффинно (без начала координат), и нильпотентное антикоммутирующее поведение фермионных направлений естественно возникает из алгебры Клиффорда, связанной с группой Лоренца.
Определение
Базовое супермногообразие суперпространства Минковского изоморфно супервекторному пространству, заданному прямой суммой обычного пространства-времени Минковского в d измерениях (часто принимаемых равными 4) и числом N вещественных спинорных представлений алгебры Лоренца. (Когда d равно 2 по модулю 4, это немного неоднозначно, потому что есть 2 разных представления реальных спинов, поэтому нужно заменить N парой целых чисел N = N 1 + N 2 , хотя некоторые авторы используют другое соглашение и берут N копий обоих спиновых представлений.)
Однако эта конструкция вводит в заблуждение по двум причинам: во-первых, суперпространство Минковского на самом деле является аффинным пространством над группой, а не группой, или, другими словами, оно не имеет выделенного «происхождения», и, во-вторых, основная супергруппа переводов не является супер векторное пространство, но нильпотентная супергруппа нильпотентной длины 2. Эта супергруппа имеет следующую алгебру Ли . Предположим, что M - пространство Минковского, а S - конечная сумма неприводимых вещественных спинорных представлений . Тогда существует инвариантное симметричное билинейное отображение [,] из S × S в M , которое положительно определено в том смысле, что образ s × s находится в замкнутом положительном конусе M , и ненулевое, если s ненулевое. Это билинейное отображение единственно с точностью до изоморфизма. Супералгебра имеет M в качестве его части даже, S , как его нечетные или фермионном части, а скобка Ли задается [,] (а скобка Ли что - либо в М с чем - либо равна нулю).
Размерности неприводимых реальных спинорных представлений для различных размерностей d пространства-времени приведены в следующей таблице:
Размерность пространства-времени, d | Реальная размерность спинорных представлений | Состав | Билинейная форма |
---|---|---|---|
1 | 1 | Настоящий | Симметричный |
2 | 1, 1 | Настоящий | Два дуальных представления |
3 | 2 | Настоящий | Чередование |
4 | 4 | Комплекс (измерение 2) | Чередование |
5 | 8 | Кватернионный (размер 2) | Симметричный |
6 | 8, 8 | Кватернионный (размерность 2, 2) | Два дуальных представления |
7 | 16 | Кватернионный (размер 4) | Чередование |
8 | 16 | Комплекс (размер 8) | Симметричный |
9 | 16 | Настоящий | Симметричный |
10 | 16, 16 | Настоящий | Два дуальных представления |
11 | 32 | Настоящий | Чередование |
12 | 64 | Комплекс (размер 32) | Чередование |
Таблица повторяется всякий раз, когда размер увеличивается на 8, за исключением того, что размеры представлений вращения умножаются на 16.
Обозначение
В физической литературе пространство-время Минковского часто задается, задавая размерность d четной бозонной части и количество раз N, которое каждое неприводимое спинорное представление встречается в нечетной фермионной части. В математике пространство-время Минковского иногда задается в виде M m | n, где m - размер четной части, а n - размер нечетной части. Соотношение выглядит следующим образом: целое число d в обозначении физики - это целое число m в обозначении математики, а целое число n в обозначении математики - это степень, умноженная на 2 целого числа N в обозначении физики, где степень двойки равна размерность неприводимого вещественного спинорного представления (или вдвое больше, если существует два неприводимых вещественных спинорных представления). Например, пространство-время Минковского d = 4 , N = 1 равно M 4 | 4, а пространство-время Минковского N = 2 равно M 4 | 8 . Когда размерность d или m равна 2 mod 4, существуют два разных неприводимых реальных спинорных представления, и авторы используют различные соглашения.
В физике буква P используется для основы четной бозонной части супералгебры Ли, а буква Q часто используется для основы комплексификации нечетной фермионной части, поэтому, в частности, структурные константы супералгебры Ли могут быть сложным, а не реальным. Часто базисные элементы Q входят в комплексно сопряженные пары, поэтому действительное подпространство может быть восстановлено как неподвижные точки комплексного сопряжения.
Рекомендации
- Делинь, Пьер ; Морган, Джон В. (1999), «Заметки о суперсимметрии (вслед за Джозефом Бернштейном)», в Deligne, Pierre ; Этингоф, Павел; Freed, Daniel S .; Джеффри, Лиза С.; Каждан, Давид; Морган, Джон В .; Моррисон, Дэвид Р .; Виттен, Эдвард (ред.), Квантовые поля и струны: курс для математиков, Vol. 1 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6, Руководство по ремонту 1701597