Супермодульная функция

В математике функция

{\ Displaystyle е \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R}}

является супермодульным, если

{\ Displaystyle е (х \ стрелка вверх y) + е (х \ стрелка вниз у) \ geq f (x) + f (y)}

для всех , где обозначает максимум покомпонентного и покомпонентный минимум и . ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle у \ в \ mathbb {R} ^ {k}}$ ${\ displaystyle x \ uparrow y}$ ${\ displaystyle x \ downarrow y}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$

Если - f супермодульный, то f называется субмодульным , а если неравенство заменяется равенством, функция модулярна .

Если f дважды непрерывно дифференцируема, то супермодулярность эквивалентна условию ^[1]

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z_{i}\,\partial z_{j}}}\geq 0{\mbox{ for all }}i\neq j.

Супермодульность в экономике и теории игр [ править ]

Концепция супермодульности используется в социальных науках для анализа того, как решение одного агента влияет на стимулы других.

Рассмотрим симметричную игру с гладкой функцией выигрыша, определенной для действий двух или более игроков . Предположим, что пространство действий непрерывно; Для простоты предположим, что каждое действие выбирается из интервала: . В этом контексте супермодульность подразумевает, что увеличение выбора игрока увеличивает предельный выигрыш действий для всех остальных игроков . То есть, если какой-либо игрок выбирает более высокий , у всех других игроков тоже есть стимул повысить свой выбор . Следуя терминологии Бюлов, Geanakoplos и Клемперером (1985), экономисты называют эту ситуацию $\,f$ $\,z_{i}$ $i\in {1,2,\dots ,N}$ $z_{i}\in [a,b]$ $\,f$ $\,i$ $\,z_{i}$ $df/dz_{j}$ $\,z_{j}$ $\,j$ $\,i$ $\,z_{i}$ $\,j$ $\,z_{j}$ стратегическая взаимодополняемость , поскольку стратегии игроков дополняют друг друга. ^[2] Это основное свойство, лежащее в основе примеров множественного равновесия в координационных играх . ^[3]

Противоположный случай субмодульности соответствует ситуации стратегической взаимозаменяемости . Увеличение снижает предельный выигрыш для всех вариантов выбора других игроков , поэтому стратегии заменяют друг друга . То есть, если выбирает более высокий , у других игроков есть стимул выбрать более низкий . $\,f$ $\,z_{i}$ $\,z_{j}$ $\,i$ $\,z_{i}$ $\,z_{j}$

Например, Bulow et al. рассмотрим взаимодействие многих фирм с несовершенной конкуренцией . Когда увеличение выпуска одной фирмой увеличивает предельную выручку других фирм, производственные решения являются стратегическим дополнением. Когда увеличение выпуска одной фирмой снижает предельную выручку других фирм, производственные решения являются стратегической заменой.

Супермодульная функция полезности часто связана с дополнительными товарами . Однако это мнение оспаривается. ^[4]

Субмодульные функции подмножеств [ править ]

Супермодульность и субмодульность также определены для функций, определенных над подмножествами большего набора. Интуитивно субмодульная функция над подмножествами демонстрирует «убывающую отдачу». Существуют специализированные методы оптимизации субмодульных функций.

Пусть S - конечное множество. Функция является субмодулярной , если для любого и , . Для сверхмодулярности неравенство обратное. $f\colon 2^{S}\to \mathbb {R}$ $A\subset B\subset S$ $x\in S\setminus B$ $f(A\cup \{x\})-f(A)\geq f(B\cup \{x\})-f(B)$

Определение субмодулярности эквивалентно можно сформулировать как

f(A)+f(B)\geq f(A\cap B)+f(A\cup B)

для всех подмножеств A и B из S .

Теория и алгоритмы перебора для поиска локальных и глобальных максимумов (минимумов) субмодульных (супермодульных) функций можно найти в Б. Гольденгорине. Европейский журнал операционных исследований 198 (1): 102-112, DOI: 10.1016 / j.ejor.2008.08.022

См. Также [ править ]

Примечания и ссылки [ править ]

^ Эквивалентность между определением супермодулярности и ее формулировкой в исчислении иногда называют характеристической теоремой Топкиса . См. Милгром, Пол; Робертс, Джон (1990). «Рационализируемость, обучение и равновесие в играх со стратегической взаимодополняемостью». Econometrica . 58 (6): 1255–1277 [стр. 1261]. DOI : 10.2307 / 2938316 . JSTOR 2938316 .
^ Bulow, Джереми I .; Geanakoplos, John D .; Клемперер, Пол Д. (1985). «Мультимаркетинговая олигополия: стратегические заменители и дополнения». Журнал политической экономии . 93 (3): 488–511. CiteSeerX 10.1.1.541.2368 . DOI : 10.1086 / 261312 . S2CID 154872708 .
^ Купер, Рассел; Джон, Эндрю (1988). «Координация сбоев координации в кейнсианских моделях» (PDF) . Ежеквартальный экономический журнал . 103 (3): 441–463. DOI : 10.2307 / 1885539 . JSTOR 1885539 .
^ Чемберс, Кристофер П .; Echenique, Федерико (2009). «Супермодульность и предпочтения». Журнал экономической теории . 144 (3): 1004. CiteSeerX 10.1.1.122.6861 . DOI : 10.1016 / j.jet.2008.06.004 .

[1] Эквивалентность между определением супермодулярности и ее формулировкой в исчислении иногда называют характеристической теоремой Топкиса . См. Милгром, Пол; Робертс, Джон (1990). «Рационализируемость, обучение и равновесие в играх со стратегической взаимодополняемостью». Econometrica . 58 (6): 1255–1277 [стр. 1261]. DOI : 10.2307 / 2938316 . JSTOR 2938316 .

[2] Bulow, Джереми I .; Geanakoplos, John D .; Клемперер, Пол Д. (1985). «Мультимаркетинговая олигополия: стратегические заменители и дополнения». Журнал политической экономии . 93 (3): 488–511. CiteSeerX 10.1.1.541.2368 . DOI : 10.1086 / 261312 . S2CID 154872708 .

[3] Купер, Рассел; Джон, Эндрю (1988). «Координация сбоев координации в кейнсианских моделях» (PDF) . Ежеквартальный экономический журнал . 103 (3): 441–463. DOI : 10.2307 / 1885539 . JSTOR 1885539 .

[4] Чемберс, Кристофер П .; Echenique, Федерико (2009). «Супермодульность и предпочтения». Журнал экономической теории . 144 (3): 1004. CiteSeerX 10.1.1.122.6861 . DOI : 10.1016 / j.jet.2008.06.004 .

[1]