Полезные функции для неделимых товаров

Некоторые разделы экономики и теории игр имеют дело с неделимыми товарами , отдельными предметами, которыми можно торговать только целиком. Например, на комбинаторных аукционах есть конечный набор предметов, и каждый агент может купить подмножество предметов, но предмет не может быть разделен между двумя или более агентами.

Обычно предполагается, что каждый агент присваивает субъективную полезность каждому подмножеству элементов. Это можно представить одним из двух способов:

Порядковое утилит отношение предпочтения, как правило , отмечено . Написано, что агент предпочитает набор множеству . Если агент слабо предпочитает (т.е. либо предпочитает, либо безразлично между и ), то это записывается . ${\ Displaystyle \ succ}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle A \ succ B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A \ successq B}$
Кардинал полезности функции, как правило , обозначается . Написана утилита, которую агент получает из набора . Кардинальные функции полезности часто нормализуются таким образом, что , где - пустое множество. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle и (А)}$ ${\ Displaystyle и (\ emptyset) = 0}$ ${\ displaystyle \ emptyset}$

Кардинальная функция полезности подразумевает отношение предпочтения: подразумевает и подразумевает . Служебные функции могут иметь несколько свойств. ^[1] ${\ Displaystyle и (А)> и (В)}$ ${\ Displaystyle A \ succ B}$ ${\ Displaystyle и (А) \ geq и (В)}$ ${\ displaystyle A \ successq B}$

Монотонность [ править ]

Монотонность означает, что агент всегда (слабо) предпочитает иметь лишние предметы. Формально:

Для отношения предпочтения: подразумевается . $A\supseteq B$ $A\succeq B$
Для функции полезности: подразумевает (т.е. u - монотонная функция ). $A\supseteq B$ $u(A)\geq u(B)$

Монотонность эквивалентна предположению о бесплатном удалении : если агент всегда может отбрасывать ненужные предметы, то дополнительные предметы никогда не могут снизить полезность.

Аддитивность [ править ]

Аддитивная утилита
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
яблоко	5
шляпа	7
яблоко и шляпа	12

Аддитивность (также называемая линейностью или модульностью ) означает, что «целое равно сумме своих частей». То есть полезность набора элементов - это сумма полезностей каждого элемента в отдельности. Это свойство актуально только для кардинальных функций полезности. В нем говорится, что для каждого набора предметов $A$

u(A)=\sum _{x\in A}u({x})

при условии, что . Другими словами, это аддитивная функция . Эквивалентное определение: для любых наборов предметов и , $u(\emptyset )=0$ $u$ $A$ $B$

u(A)+u(B)=u(A\cup B)+u(A\cap B).

Аддитивная функция полезности характерна для независимых товаров . Например, яблоко и шляпа считаются независимыми: польза, которую человек получает от яблока, одинакова независимо от того, есть у него шляпа или нет, и наоборот. Типичная функция полезности для этого случая приведена справа.

Субмодулярность и супермодульность [ править ]

Субмодульная утилита
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
яблоко	5
хлеб	7
яблоко и хлеб	9

Субмодулярность означает, что «целое - это не больше, чем сумма его частей (а может быть и меньше)». Формально для всех комплектов и , $A$ $B$

u(A)+u(B)\geq u(A\cup B)+u(A\cap B)

Другими словами, это функция субмодульного набора . $u$

Эквивалентным свойством является убывающая предельная полезность , что означает, что для любых наборов и с , и с каждым : ^[2] $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\notin B$

u(A\cup \{x\})-u(A)\geq u(B\cup \{x\})-u(B)

.

Субмодульная функция полезности характерна для товаров-заменителей . Например, яблоко и буханка хлеба можно рассматривать как заменители: полезность, которую человек получает от употребления яблока, меньше, если он уже ел хлеб (и наоборот), поскольку в этом случае он менее голоден. Типичная функция полезности для этого случая приведена справа.

Супермодульная утилита
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
яблоко	5
нож	7
яблоко и нож	15

Супермодулярность противоположна субмодульности: это означает, что «целое не меньше суммы его частей (а может быть и больше)». Формально для всех комплектов и , $A$ $B$

u(A)+u(B)\leq u(A\cup B)+u(A\cap B)

Другими словами, это функция супермодульного множества . $u$

Эквивалентным свойством является увеличение предельной полезности , что означает, что для всех наборов и с , и с каждым : $A$ $B$ $A\subseteq B$ $x\notin B$

u(B\cup \{x\})-u(B)\geq u(A\cup \{x\})-u(A)

.

Функция полезности супермоделера характерна для дополнительных товаров . Например, яблоко и нож можно считать взаимодополняющими: полезность, которую человек получает от яблока, больше, если у него уже есть нож (и наоборот), поскольку яблоко легче съесть, разрезав его ножом. Возможная функция полезности для этого случая указана справа.

Функция полезности является аддитивной тогда и только тогда, когда она является одновременно субмодульной и супермодульной.

Субаддитивность и супераддитивность [ править ]

Субаддитивный, но не субмодульный
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X или Y или Z	2
X, Y или Y, Z или Z, X	3
X, Y, Z	5

Субаддитивность означает, что для каждой пары непересекающихся множеств $A,B$

u(A\cup B)\leq u(A)+u(B)

Другими словами, это функция субаддитивного набора . $u$

При условии неотрицательности каждая субмодульная функция является субаддитивной. Однако есть неотрицательные субаддитивные функции, которые не являются субмодульными. Например, предположим, что есть 3 одинаковых элемента, и Z, и полезность зависит только от их количества. Таблица справа описывает вспомогательную функцию, которая является субаддитивной, но не субмодульной, поскольку $u(\emptyset )$ $X,Y$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Супераддитивный, но не супермодульный
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
X или Y или Z	1
X, Y или Y, Z или Z, X	3
X, Y, Z	4

Супераддитивность означает, что для любой пары непересекающихся множеств $A,B$

u(A\cup B)\geq u(A)+u(B)

Другими словами, это функция супераддитивного множества . $u$

Предполагая, что это не положительно, каждая супермодульная функция супераддитивна. Однако есть неотрицательные супераддитивные функции, которые не являются супермодульными. Например, предположим, что есть 3 одинаковых элемента, и Z, и полезность зависит только от их количества. Таблица справа описывает функцию полезности, которая является неотрицательной и супераддитивной, но не супермодульной, поскольку $u(\emptyset )$ $X,Y$

u(\{X,Y\})+u(\{Y,Z\})<u(\{X,Y\}\cup \{Y,Z\})+u(\{X,Y\}\cap \{Y,Z\}).

Функция полезности с называется аддитивной тогда и только тогда, когда она одновременно супераддитивна и субаддитивна. $u(\emptyset )=0$

При типичном предположении, что каждая субмодульная функция субаддитивна, а каждая супермодульная функция супераддитивна. Без каких-либо предположений о полезности из пустого набора эти отношения не выполняются. $u(\emptyset )=0$

В частности, если субмодульная функция не является субаддитивной, она должна быть отрицательной. Например, предположим, что есть два элемента,, с , и . Эта функция полезности является субмодульной и супермодульной и неотрицательной, за исключением пустого набора, но не является субаддитивной, поскольку $u(\emptyset )$ $X,Y$ $u(\emptyset )=-1$ $u(\{X\})=u(\{Y\})=1$ $u(\{X,Y\})=3$

u(\{X,Y\})>u(\{X\})+u(\{Y\}).

Кроме того, если супермодульная функция не является супераддитивной, она должна быть положительной. Предположим вместо этого . Эта функция полезности является неотрицательной, супермодульной и субмодульной, но не супераддитивной, поскольку $u(\emptyset )$ $u(\emptyset )=u(\{X\})=u(\{Y\})=u(\{X,Y\})=1$

u(\{X,Y\})<u(\{X\})+u(\{Y\}).

Спрос на единицу [ править ]

Энергетическая ценность единицы спроса
$A$	$u(A)$
$\emptyset$	0
яблоко	5
груша	7
яблоко и груша	7

Единичный спрос (UD) означает, что агент хочет только один товар. Если агент получает два или более товара, он использует тот из них, который дает ему наибольшую полезность, а остальные отбрасывает. Формально:

Для отношения предпочтения: для каждого набора существует подмножество мощности , такое что . $B$ $A\subseteq B$ $|A|=1$ $A\succeq B$
Для служебной функции: Для каждого набора : ^[3] $A$

u(A)=\max _{x\in A}u({x})

Функция единичного спроса - это крайний случай субмодульной функции. Это характерно для товаров, являющихся чистыми заменителями. Например, если есть яблоко и груша, и агент хочет съесть один фрукт, то его функция полезности - это единичный спрос, как показано в таблице справа.

Валовые заменители [ править ]

Иллюстрация отношений включения между общими классами функций полезности.

Валовые заменители (GS) означают, что агенты рассматривают товары как товары-заменители или независимые товары, но не как дополнительные товары . Есть много формальных определений этого свойства, все из которых эквивалентны.

Каждая оценка UD - это GS, но обратное неверно.
Каждая оценка GS является субмодульной, но обратное неверно.

Подробнее см. Валовые заменители (неделимые позиции) .

Следовательно, между классами выполняются следующие отношения:

UD\subsetneq GS\subsetneq Submodular\subsetneq Subadditive

См. Диаграмму справа.

Агрегаты служебных функций [ править ]

Функция полезности описывает счастье человека. Часто нам нужна функция, описывающая счастье всего общества. Такая функция называется функцией общественного благосостояния , и обычно она является агрегированной функцией двух или более функций полезности. Если отдельные функции полезности являются аддитивными , то для агрегатных функций верно следующее:

Агрегатная функция	Имущество	Примеры значений функций на {a}, {b} и {a, b }
Агрегатная функция	Имущество	ж	грамм	час	агрегат (f, g, h)
Сумма	Добавка	1,3; 4	3,1; 4		4,4; 8
В среднем	Добавка	1,3; 4	3,1; 4		2,2; 4
Минимум	Супердобавка	1,3; 4	3,1; 4		1,1; 4
Максимум	Субдобавка	1,3; 4	3,1; 4		3,3; 4
Медиана	ни один	1,3; 4	3,1; 4	1,1; 2	1,1; 4
Медиана	ни один	1,3; 4	3,1; 4	3,3; 6	3,3; 4

См. Также [ править ]

Полезные функции для делимых товаров

Ссылки [ править ]

^ Gul, F .; Stacchetti, E. (1999). «Вальрасовское равновесие с валовыми заменителями». Журнал экономической теории . 87 : 95–124. DOI : 10,1006 / jeth.1999.2531 .
^ Мулен, Эрве (1991). Аксиомы совместного принятия решений . Кембридж, Англия, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521424585.
^ Koopmans, TC; Бекманн, М. (1957). «Проблемы присвоения и место экономической деятельности» (PDF) . Econometrica . 25 (1): 53–76. DOI : 10.2307 / 1907742 . JSTOR 1907742 .

[gs99-1] Gul, F .; Stacchetti, E. (1999). «Вальрасовское равновесие с валовыми заменителями». Журнал экономической теории . 87 : 95–124. DOI : 10,1006 / jeth.1999.2531 .

[2] Мулен, Эрве (1991). Аксиомы совместного принятия решений . Кембридж, Англия, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521424585.

[kb57-3] Koopmans, TC; Бекманн, М. (1957). «Проблемы присвоения и место экономической деятельности» (PDF) . Econometrica . 25 (1): 53–76. DOI : 10.2307 / 1907742 . JSTOR 1907742 .

[1]