В математике функция
является супермодульным, если
для всех , , где обозначает покомпонентный максимум, а покомпонентный минимум а также .
Если - f супермодульный, то f называется субмодульным , а если неравенство заменяется равенством, функция модулярна .
Если f дважды непрерывно дифференцируема, то супермодулярность эквивалентна условию [1]
Супермодульность в экономике и теории игр
Концепция супермодульности используется в социальных науках для анализа того, как решение одного агента влияет на стимулы других.
Рассмотрим симметричную игру с гладкой функцией выигрыша определяется по действиям двух или более игроков . Предположим, что пространство действий непрерывно; для простоты предположим, что каждое действие выбирается из интервала:. В этом контексте супермодульность подразумевает, что увеличение игрока выбор увеличивает предельный выигрыш действия для всех остальных игроков . То есть, если какой-нибудь игрок выбирает более высокий , все остальные игроки есть стимул повышать свой выбор тоже. Следуя терминологии Бюлов, Geanakoplos и Клемперером (1985), экономисты называют эту ситуацию стратегической комплементарности , поскольку стратегии игроков являются дополняющими друг друга. [2] Это основное свойство, лежащее в основе примеров множественного равновесия в координационных играх . [3]
Противоположный случай субмодульности соответствует ситуации стратегической взаимозаменяемости . Увеличение снижает предельную выплату по выбору всех остальных игроков , так что стратегии заменяют. То есть, если выбирает более высокий , у других игроков есть стимул выбрать более низкую .
Например, Bulow et al. рассмотрим взаимодействие многих фирм с несовершенной конкуренцией . Когда увеличение выпуска одной фирмой увеличивает предельную выручку других фирм, производственные решения являются стратегическим дополнением. Когда увеличение выпуска одной фирмой снижает предельную выручку других фирм, производственные решения являются стратегической заменой.
Супермодульная функция полезности часто связана с дополнительными товарами . Однако это мнение оспаривается. [4]
Субмодульные функции подмножеств
Супермодульность и субмодульность также определены для функций, определенных над подмножествами большего набора. Интуитивно субмодульная функция над подмножествами демонстрирует «убывающую отдачу». Существуют специализированные методы оптимизации субмодульных функций.
Пусть S - конечное множество. Функция является субмодульным, если для любого а также , . Для сверхмодулярности неравенство обратное.
Определение субмодулярности эквивалентно можно сформулировать как
для всех подмножеств A и B из S .
Теория и алгоритмы перебора для поиска локальных и глобальных максимумов (минимумов) субмодульных (супермодульных) функций можно найти в Б. Гольденгорине. Европейский журнал операционных исследований 198 (1): 102-112, DOI: 10.1016 / j.ejor.2008.08.022
Смотрите также
Примечания и ссылки
- ^ Эквивалентность между определением супермодулярности и ее формулировкой в исчислении иногда называют характеристической теоремой Топкиса . См. Милгром, Пол; Робертс, Джон (1990). «Рационализируемость, обучение и равновесие в играх со стратегической взаимодополняемостью». Econometrica . 58 (6): 1255–1277 [стр. 1261]. DOI : 10.2307 / 2938316 . JSTOR 2938316 .
- ^ Bulow, Джереми I .; Geanakoplos, John D .; Клемперер, Пол Д. (1985). «Мультимаркетинговая олигополия: стратегические заменители и дополнения». Журнал политической экономии . 93 (3): 488–511. CiteSeerX 10.1.1.541.2368 . DOI : 10.1086 / 261312 . S2CID 154872708 .
- ^ Купер, Рассел; Джон, Эндрю (1988). «Координация сбоев координации в кейнсианских моделях» (PDF) . Ежеквартальный экономический журнал . 103 (3): 441–463. DOI : 10.2307 / 1885539 . JSTOR 1885539 .
- ^ Chambers, Christopher P .; Echenique, Федерико (2009). «Супермодульность и предпочтения». Журнал экономической теории . 144 (3): 1004. CiteSeerX 10.1.1.122.6861 . DOI : 10.1016 / j.jet.2008.06.004 .