Обычная полезность

В экономике , порядковая полезность функция является функцией , представляющая предпочтению агента по порядковой шкале . Теория порядковой полезности утверждает, что имеет смысл только спросить, какой вариант лучше другого, но бессмысленно спрашивать, насколько он лучше или насколько хорош. Вся теория принятия решений потребителем в условиях уверенности может быть выражена и обычно выражается в терминах порядковой полезности.

Например, предположим, что Джордж говорит нам: «Я предпочитаю A, а не B, и B - C». Предпочтения Джорджа могут быть представлены функцией u такой, что:

${\ Displaystyle и (А) = 9, и (В) = 8, и (С) = 1}$

Но критики кардинальной полезности заявляют, что единственным значимым посланием этой функции является порядок ; реальные цифры бессмысленны. Следовательно, предпочтения Джорджа также могут быть представлены следующей функцией v :${\ Displaystyle и (А)> и (В)> и (С)}$

${\ Displaystyle v (A) = 9, v (B) = 2, v (C) = 1}$

Функции u и v обычно эквивалентны - они одинаково хорошо отражают предпочтения Джорджа.

Порядковая полезность контрастирует с теорией кардинальной полезности : последняя предполагает, что различия между предпочтениями также важны. В u разница между A и B намного меньше, чем между B и C, в то время как в v верно обратное. Следовательно, у и v являются не кардинально эквивалентны.

Понятие порядковой полезности было впервые введено Парето в 1906 г. ^[1]

Обозначение [ править ]

Предположим, что множество всех состояний мира есть, и у агента есть отношение предпочтения . Обычно слабое отношение предпочтения обозначается значком , так что оно читается как «агент хочет B по крайней мере так же, как A».${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ prevq}$${\ Displaystyle A \ prevq B}$

Этот символ используется как сокращение отношения безразличия:, которое читается как «Агент безразличен между B и A».${\ displaystyle \ sim}$${\ Displaystyle А \ сим В \ если и только если (А \ prevq B \ land B \ prevq A)}$

Этот символ используется как сокращение для строгого отношения предпочтения:, которое гласит: «Агент строго предпочитает B перед A».${\ Displaystyle \ Prec}$${\ Displaystyle А \ пре В \ если и только тогда (А \ Preq B \ земля В \ not \ PreQ A)}$

Говорят, что функция представляет отношение, если:${\displaystyle u:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \preceq }$

${\displaystyle A\preceq B\iff u(A)\leq u(B)}$

Понятия, связанные с данным [ править ]

Отображение кривой безразличия [ править ]

Вместо определения числовой функции отношение предпочтений агента может быть представлено графически с помощью кривых безразличия. Это особенно полезно, когда есть два вида товаров: x и y . Затем каждая кривая безразличия показывает набор таких точек , что, если и находятся на одной кривой, то .${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})\sim (x_{2},y_{2})}$

Пример кривой безразличия показан ниже:

Каждая кривая безразличия представляет собой набор точек, каждая из которых представляет собой комбинацию количества двух товаров или услуг, каждая из которых одинаково удовлетворяет потребителя. Чем дальше кривая от начала координат, тем выше уровень полезности.

Наклон кривой (отрицательная величина предельной нормы замещения X вместо Y) в любой точке показывает скорость, с которой индивид готов обменять товар X на товар Y, сохраняя тот же уровень полезности. Кривая выпуклая к началу координат, как показано, при условии, что у потребителя уменьшается предельная норма замещения. Можно показать, что потребительский анализ с использованием кривых безразличия (порядковый подход) дает те же результаты, что и анализ, основанный на теории кардинальной полезности, т. Е. Потребители будут потреблять в точке, где предельная норма замещения между любыми двумя товарами равна отношению цены на эти товары (принцип равномаржинальности).

Выявленные предпочтения [ править ]

Теория выявленных предпочтений обращается к проблеме того, как наблюдать порядковые отношения предпочтений в реальном мире. Проблема теории выявленных предпочтений отчасти состоит в том, чтобы определить, от каких наборов товаров отказались на основании того, что они менее нравятся, когда люди наблюдают, выбирая определенные наборы товаров. ^{[2] [3]}

Необходимые условия существования порядковой функции полезности [ править ]

Некоторые условия необходимы, чтобы гарантировать существование представляющей функции:${\displaystyle \preceq }$

• Транзитивность : если и то .${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle B\preceq C}$${\displaystyle A\preceq C}$
• Полнота: для всех пучков : или или или оба.${\displaystyle A,B\in X}$${\displaystyle A\preceq B}$${\displaystyle B\preceq A}$
  • Полнота также подразумевает рефлексивность: для каждого : .${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle A\preceq A}$

Когда эти условия выполняются и набор является конечным, легко создать функцию, которая представляет , просто присвоив соответствующий номер каждому элементу , как показано в первом абзаце. То же самое верно, когда X счетно бесконечен . Более того, можно индуктивно построить представляющую функцию полезности, значения которой находятся в диапазоне . ^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \prec }$${\displaystyle X}$${\displaystyle (-1,1)}$

Когда бесконечно, этих условий недостаточно. Например, лексикографические предпочтения транзитивны и полны, но они не могут быть представлены какой-либо функцией полезности. ^[4] Требуемым дополнительным условием является непрерывность .${\displaystyle X}$

Непрерывность [ править ]

Отношение предпочтений называется непрерывным, если всякий раз, когда B предпочтительнее A, небольшие отклонения от B или A не изменяют порядок между ними. Формально отношение предпочтения на множестве X называется непрерывным, если оно удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:

1. Для каждого , множество будет топологический закрыто в с топологией произведения (это определение требует , чтобы быть топологическим пространством ).${\displaystyle A\in X}$${\displaystyle \{(A,B)|A\preceq B\}}$${\displaystyle X\times X}$${\displaystyle X}$
2. Для каждой последовательности , если для всех i и и , то .${\displaystyle (A_{i},B_{i})}$ ${\displaystyle A_{i}\preceq B_{i}}$${\displaystyle A_{i}\to A}$${\displaystyle B_{i}\to B}$${\displaystyle A\preceq B}$
3. Для каждого такого , что существует шар вокруг и мяч вокруг таким образом , что для каждого в шаре вокруг и каждый в шаре вокруг , (это определение требует , чтобы быть метрическим пространством ).${\displaystyle A,B\in X}$${\displaystyle A\prec B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a\prec b}$${\displaystyle X}$

Если отношение предпочтения представлено непрерывной функцией полезности, то оно, очевидно, непрерывно. Согласно теоремам Дебре (1954) , верно и обратное:

Каждое непрерывное полное отношение предпочтения может быть представлено непрерывной порядковой функцией полезности.

Обратите внимание, что лексикографические предпочтения не являются непрерывными. Например, но в каждом шаре вокруг (5,1) есть точки с, и эти точки уступают . Это соответствует указанному выше факту, что эти предпочтения не могут быть представлены функцией полезности.${\displaystyle (5,0)\prec (5,1)}$${\displaystyle x<5}$${\displaystyle (5,0)}$

Уникальность [ править ]

Для каждой функции полезности v существует уникальное отношение предпочтения, представленное v . Однако обратное неверно: отношение предпочтения может быть представлено множеством различных функций полезности. Те же предпочтения можно выразить как любую функцию полезности, которая является монотонно возрастающим преобразованием v . Например, если

${\displaystyle v(A)\equiv f(v(A))}$

где - любая монотонно возрастающая функция, то функции v и v порождают идентичные отображения кривых безразличия.${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

Эта эквивалентность кратко описывается следующим образом:

Порядковая функция полезности уникальна с точностью до возрастающего монотонного преобразования .

Напротив, кардинальная функция полезности уникальна только до возрастающего аффинного преобразования . Каждое аффинное преобразование монотонно; следовательно, если две функции кардинально эквивалентны, они также обычно эквивалентны, но не наоборот.

Монотонность [ править ]

Предположим, с этого момента, что набор является набором всех неотрицательных вещественных двумерных векторов. Таким образом, элемент - это пара, которая представляет количество, потребленное от двух продуктов, например, яблок и бананов.${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x,y)}$

Тогда при определенных обстоятельствах отношение предпочтения представляется функцией полезности .${\displaystyle \preceq }$${\displaystyle v(x,y)}$

Предположим, что отношение предпочтений монотонно возрастает , что означает, что «чем больше, тем лучше»:

${\displaystyle x<x'\implies (x,y)\prec (x',y)}$

${\displaystyle y<y'\implies (x,y')\prec (x,y')}$

Тогда обе частные производные функции v , если они существуют, положительны. Коротко:

Если функция полезности представляет собой монотонно возрастающее отношение предпочтения, то функция полезности монотонно возрастает.

Предельная ставка замещения [ править ]

Предположим, у человека есть связка, и он утверждает, что ему безразлично, какая связка находится в ней . Это означает, что он готов отдать единицы x, чтобы получить единицы y. Если это соотношение сохраняется как , мы говорим, что это предельная норма замещения (MRS) между x и y в данной точке . ^{[5] : 82}${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (x_{0}-\lambda \cdot \delta ,y_{0}+\delta )}$${\displaystyle \lambda \cdot \delta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \delta \to 0}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

Это определение MRS основано только на порядковом отношении предпочтения - оно не зависит от числовой функции полезности. Если отношение предпочтения представлено функцией полезности, а функция дифференцируема, то MRS можно вычислить на основе производных этой функции:

${\displaystyle MRS={\frac {v'_{x}}{v'_{y}}}.}$

Например, если отношение предпочтения представлено тогда . MRS такой же для функции . Это не совпадение, поскольку эти две функции представляют одно и то же отношение предпочтения - каждая из них является увеличивающимся монотонным преобразованием другой.${\displaystyle v(x,y)=x^{a}\cdot y^{b}}$${\displaystyle MRS={\frac {a\cdot x^{a-1}\cdot y^{b}}{b\cdot y^{b-1}\cdot x^{a}}}={\frac {ay}{bx}}}$${\displaystyle v(x,y)=a\cdot \log {x}+b\cdot \log {y}}$

В общем, MRS может отличаться в разных точках . Например, возможно, что MRS низкий, потому что у человека много x и только один y , но при или MRS выше. Некоторые особые случаи описаны ниже.${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle (9,1)}$${\displaystyle (9,9)}$${\displaystyle (1,1)}$

Линейность [ править ]

Когда MRS определенного отношения предпочтения не зависит от связки, т. Е. MRS одинаков для всех , кривые безразличия являются линейными и имеют вид:${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle x+\lambda y={\text{const}},}$

а отношение предпочтений можно представить линейной функцией:

${\displaystyle v(x,y)=x+\lambda y.}$

(Конечно, то же отношение может быть представлено множеством других нелинейных функций, таких как или , но линейная функция является самой простой.) ^{[5] : 85}${\displaystyle {\sqrt {x+\lambda y}}}$${\displaystyle (x+\lambda y)^{2}}$

Квазилинейность [ править ]

Когда MRS зависит от, но не от , отношение предпочтений может быть представлено квазилинейной функцией полезности вида${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle x_{0}}$

${\displaystyle v(x,y)=x+\gamma v_{Y}(y)}$

где - некоторая монотонно возрастающая функция. Поскольку MRS является функцией , возможную функцию можно вычислить как интеграл от : ^{[6] [5] : 87}${\displaystyle v_{Y}}$${\displaystyle \lambda (y)}$${\displaystyle v_{Y}}$${\displaystyle \lambda (y)}$

${\displaystyle v_{Y}(y)=\int _{0}^{y}{\lambda (y')dy'}}$

В этом случае все кривые безразличия параллельны - это горизонтальные переходы друг друга.

Аддитивность с двумя товарами [ править ]

Более общий тип функции полезности - это аддитивная функция :

${\displaystyle v(x,y)=v_{X}(x)+v_{Y}(y)}$

Есть несколько способов проверить, можно ли представить данные предпочтения с помощью аддитивной функции полезности.

Свойство двойной отмены [ править ]

Если предпочтения складываются, то простой арифметический расчет показывает, что

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\succeq (x_{2},y_{2})}$ а также

${\displaystyle (x_{2},y_{3})\succeq (x_{3},y_{1})}$ подразумевает

${\displaystyle (x_{1},y_{3})\succeq (x_{3},y_{2})}$

так что это свойство «двойной отмены» является необходимым условием аддитивности.

Дебре (1960) показал, что этого свойства также достаточно: т. Е. Если отношение предпочтения удовлетворяет свойству двойного сокращения, то оно может быть представлено аддитивной функцией полезности. ^[7]

Соответствующее свойство компромиссов [ править ]

Если предпочтения представлены аддитивной функцией, то простой арифметический расчет показывает, что

${\displaystyle MRS(x_{2},y_{2})={\frac {MRS(x_{1},y_{2})\cdot MRS(x_{2},y_{1})}{MRS(x_{1},y_{1})}}}$

так что это свойство «соответствующих компромиссов» является необходимым условием аддитивности. Этого условия тоже достаточно. ^{[8] [5] : 91}

Аддитивность с тремя и более товарами [ править ]

Когда есть три или более товаров, условие аддитивности функции полезности на удивление проще, чем для двух товаров. Это результат теоремы 3 Дебре (1960) . Условием аддитивности является преимущественная независимость . ^{[5] : 104}

Подмножество товаров A называется предпочтительно независимым от подмножества товаров B, если отношение предпочтения в подмножестве A при постоянных значениях для подмножества B не зависит от этих постоянных значений. Например, предположим, что есть три товара: x y и z . Подмножество { x , y } предпочтительно не зависит от подмножества { z }, если для всех :${\displaystyle x_{i},y_{i},z,z'}$

${\displaystyle (x_{1},y_{1},z)\preceq (x_{2},y_{2},z)\iff (x_{1},y_{1},z')\preceq (x_{2},y_{2},z')}$.

В этом случае мы можем просто сказать, что:

${\displaystyle (x_{1},y_{1})\preceq (x_{2},y_{2})}$для постоянного z .

Преимущественная независимость имеет смысл в случае независимых товаров . Например, предпочтения между связками яблок и бананов, вероятно, не зависят от количества обуви и носков, которые есть у агента, и наоборот.

По теореме Дебре, если все подмножества товаров предпочтительно независимы от своих дополнений, то отношение предпочтения может быть представлено аддитивной функцией стоимости. Здесь мы даем интуитивное объяснение этого результата, показывая, как можно построить такую ​​аддитивную функцию ценности. ^[5] Доказательство предполагает три предмета: x , y , z . Мы покажем, как определить три точки для каждой из трех функций значений : 0 балл, 1 балл и 2 балла. Другие точки могут быть рассчитаны аналогичным образом, а затем можно использовать непрерывность, чтобы сделать вывод о том, что функции четко определены во всем их диапазоне.${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}}$

0 баллов : выберите произвольные и назначьте их как ноль функции значения, то есть:${\displaystyle x_{0},y_{0},z_{0}}$

${\displaystyle v_{x}(x_{0})=v_{y}(y_{0})=v_{z}(z_{0})=0}$

1 балл : выберите произвольный такой, что . Установите его как единицу стоимости, например:${\displaystyle x_{1}>x_{0}}$${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\succ (x_{0},y_{0},z_{0})}$

${\displaystyle v_{x}(x_{1})=1}$

Выбрать и так , чтобы выполнялись следующие отношения безразличия: ${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle z_{1}}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{1},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{1})}$.

Это безразличие служит для масштабирования единиц y и z, чтобы они соответствовали единицам x . Значение в этих трех точках должно быть 1, поэтому мы присваиваем

${\displaystyle v_{y}(y_{1})=v_{z}(z_{1})=1}$

2 балл : Теперь мы используем предположение о преимущественной независимости. Отношение между и не зависит от z , и аналогично отношение между и не зависит от x, а отношение между и не зависит от y . Следовательно${\displaystyle (x_{1},y_{0})}$${\displaystyle (x_{0},y_{1})}$${\displaystyle (y_{1},z_{0})}$${\displaystyle (y_{0},z_{1})}$${\displaystyle (z_{1},x_{0})}$${\displaystyle (z_{0},x_{1})}$

${\displaystyle (x_{1},y_{0},z_{1})\sim (x_{0},y_{1},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{0}).}$

Это полезно, потому что это означает, что функция v может иметь одинаковое значение - 2 - в этих трех точках. Выбрать так , чтобы${\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2}}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{0})\sim (x_{0},y_{2},z_{0})\sim (x_{0},y_{0},z_{2})\sim (x_{1},y_{1},z_{0})}$

и назначить

${\displaystyle v_{x}(x_{2})=v_{x}(y_{2})=v_{x}(z_{2})=2.}$

3 балла : чтобы показать, что наши задания согласованы, мы должны показать, что все баллы, получившие общую оценку 3, являются баллами безразличия. Здесь снова используется предположение о предпочтительной независимости, поскольку отношение между и не зависит от z (и аналогично для других пар); следовательно${\displaystyle (x_{2},y_{0})}$${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$

${\displaystyle (x_{2},y_{0},z_{1})\sim (x_{1},y_{1},z_{1})}$

и аналогично для остальных пар. Следовательно, 3-я точка определяется последовательно.

Мы можем продолжить это по индукции и определить товарные функции во всех целых точках, а затем использовать непрерывность, чтобы определить ее во всех реальных точках.

Неявное предположение в пункте 1 приведенного выше доказательства состоит в том, что все три товара являются существенными или важными для предпочтений . ^{[7] : 7} Это означает, что существует такой набор, что при увеличении количества определенного товара новый набор будет строго лучше.

Доказательство для более чем 3 товаров аналогично. Фактически, нам не нужно проверять, что все подмножества точек предпочтительно независимы; достаточно проверить линейное количество пар товаров. Например, если есть разные товары, то достаточно проверить, что для всех два товара предпочтительно независимы от других товаров. ^{[5] : 115}${\displaystyle m}$${\displaystyle j=1,...,m}$${\displaystyle j=1,...,m-1}$${\displaystyle \{x_{j},x_{j+1}\}}$${\displaystyle m-2}$

Уникальность аддитивного представления [ править ]

Аддитивное отношение предпочтения может быть представлено множеством различных аддитивных функций полезности. Однако все эти функции похожи: они не только увеличивают монотонное преобразование друг друга ( как и все функции полезности, представляющие одно и то же отношение ); они увеличивают линейные преобразования друг друга. ^{[7] : 9} Короче говоря,

Аддитивная порядковая функция полезности уникальна с точностью до возрастающего линейного преобразования .

Построение аддитивных и квадратичных функций полезности из порядковых данных [ править ]

Математические основы наиболее распространенных типов функций полезности - квадратичных и аддитивных - заложенные Жераром Дебре ^{[9] [10],} позволили Андранику Тангиану разработать методы их построения на основе чисто порядковых данных. В частности, аддитивные и квадратичные функции полезности в переменных могут быть построены из интервью с лицами, принимающими решения, где вопросы нацелены на отслеживание полностью двумерных кривых безразличия в координатных плоскостях без обращения к кардинальным оценкам полезности. ^{[11] [12]}${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

Сравнение порядковых и кардинальных функций полезности [ править ]

В следующей таблице сравниваются два типа функций полезности, распространенных в экономике:

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Лексикографическое отношение предпочтения не может быть представлено функцией полезности . В экономике.SE
• Распознавание линейных порядков, вложимых в R2, упорядоченных лексикографически . По математике.SE.
• Мюррей Н. Ротбард , «На пути к реконструкции экономики коммунальных услуг и благосостояния»