В математике , то идентичность Weinstein-Ароншайн утверждает , что если а также - матрицы размера m × n и n × m соответственно (одна или обе из которых могут быть бесконечными), тогда при условии, чтоимеет класс следа (а значит, и),
где - единичная матрица размера k × k .
Он тесно связан с леммой о матричном определителе и ее обобщением. Это детерминантный аналог матричного тождества Вудбери для обратных матриц.
Доказательство
Тождество можно доказать следующим образом. [1] Пустьбыть матрицей, состоящей из четырех блоков , , а также .
Поскольку я т является обратимым , то формула для определителя блочной матрицы дает
Поскольку I n обратим, формула для определителя блочной матрицы дает
Таким образом
Приложения
Позволять . Идентификатор может использоваться, чтобы показать несколько более общее утверждение, что
Отсюда следует , что ненулевые собственные значения из а также одинаковы.
Это тождество полезно при разработке байесовской оценки для многомерных гауссовских распределений .
Это тождество также находит применения в теории случайных матриц , связывая определители больших матриц с определителями меньших. [2]
Рекомендации
- ^ Позрикидис, К. (2014), Введение в сетки, графы и сети , Oxford University Press, стр. 271, ISBN 9780199996735
- ^ «Мезоскопическая структура собственных значений GUE | Что нового» . Terrytao.wordpress.com . Проверено 16 января 2016 .