Уровня индекса ( LI ) Представление чисел, и его алгоритмы для арифметических операций, были введены Чарльз Clenshaw и Frank Олвером в 1984 году [1]
Симметричная форма системы LI и ее арифметические операции были представлены Кленшоу и Питером Тернером в 1987 году [2].
Майкл Анюта, Даниэль Лозье, Николас Шабанель и Тернер разработали алгоритм для арифметики симметричного индекса уровня ( SLI ) и его параллельную реализацию. Была проведена обширная работа по разработке арифметических алгоритмов SLI и их распространению на сложные и векторные арифметические операции.
Определение
Идея системы индекса-уровня состоит в том, чтобы представить неотрицательное действительное число X как
где и процесс возведения в степень выполняется ℓ раз, при этом. ℓ и F являются уровень и индекс из X соответственно. х = ℓ + F является LI образом X . Например,
так что его образ LI
Симметричная форма используется для разрешения отрицательных показателей, если величина X меньше 1. Берется sgn (log ( X )) или sgn (| X | - | X | −1 ) и сохраняется (после замены +1 для 0 для обратного знака, поскольку для X = 1 = e 0 изображение LI равно x = 1.0 и однозначно определяет X = 1, и мы можем отказаться от третьего состояния и использовать только один бит для двух состояний -1 и +1. ) в качестве обратного знака г X . Математически это эквивалентно взятию обратного (мультипликативного обратного) числа небольшой величины, а затем нахождению изображения SLI для обратного. Использование одного бита для обратного знака позволяет представлять очень маленькие числа.
Знаковый бит также может быть использован , чтобы отрицательные числа. Один берет sgn (X) и сохраняет его (после замены +1 на 0 для знака, поскольку для X = 0 изображение LI имеет x = 0.0 и однозначно определяет X = 0, и мы можем обойтись без третьего состояния и использовать только одно бит для двух состояний -1 и +1) , как знак сек X . Математически это эквивалентно взятию обратного (аддитивного обратного) отрицательного числа, а затем нахождению изображения SLI для обратного. Использование одного бита для знака позволяет представлять отрицательные числа.
Функция отображения называется функцией обобщенного логарифма . Он определяется как
и это отображает на себя монотонно и, следовательно, обратим на этом интервале. Обратная, обобщенная экспоненциальная функция , определяется как
Плотность значений Х , представленных й не имеет разрывов при переходе от уровня л к л + 1 (очень желательное свойства) , так как:
Функция обобщенного логарифма тесно связана с повторным логарифмом, используемым в компьютерном анализе алгоритмов.
Формально мы можем определить представление SLI для произвольного действительного X (не 0 или 1) как
где s X - знак (аддитивная инверсия или нет) X, а r X - обратный знак (мультипликативная инверсия или нет), как в следующих уравнениях:
тогда как для X = 0 или 1 мы имеем:
Например,
и его представление SLI
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Кленшоу, Чарльз Уильям; Олвер, Фрэнк Уильям Джон (1984). «За пределами с плавающей точкой». Журнал ACM . 31 (2): 319–328. DOI : 10.1145 / 62.322429 .
- ^ Кленшоу, Чарльз Уильям; Тернер, Питер Р. (1988-10-01) [1986-09-16, 1987-06-04]. «Симметричная система индекса-уровня» . Журнал численного анализа IMA . Oxford University Press , Институт математики и ее приложений. 8 (4): 517–526. DOI : 10.1093 / imanum / 8.4.517 . ISSN 0272-4979 . OCLC 42026743 . Проверено 10 июля 2018 .
дальнейшее чтение
- Кленшоу, Чарльз Уильям; Олвер, Фрэнк Уильям Джон ; Тернер, Питер Р. (1989). «Арифметика индекса-уровня: вводный обзор». Численный анализ и параллельная обработка (Материалы конференции / Ланкастерская летняя школа численного анализа 1987 г.). Конспект лекций по математике (LNM). 1397 : 95–168. DOI : 10.1007 / BFb0085718 .
- Кленшоу, Чарльз Уильям; Тернер, Питер Р. (1989-06-23) [1988-10-04]. «Возведение в квадрат корня с использованием арифметики индекса и уровня». Вычислительная техника . Springer-Verlag . 43 (2): 171–185. ISSN 0010-485X .
- Зехенднер, Эберхард (лето 2008 г.). "Rechnerarithmetik: Logarithmische Zahlensysteme" (PDF) (сценарий лекции) (на немецком языке). Фридрих-Шиллер-Университет Йены . С. 21–22. Архивировано (PDF) из оригинала на 2018-07-09 . Проверено 9 июля 2018 . [1]
- Хейс, Брайан (сентябрь – октябрь 2009 г.). «Высшая арифметика» . Американский ученый . 97 (5): 364–368. DOI : 10.1511 / 2009.80.364 . Архивировано 9 июля 2018 года . Проверено 9 июля 2018 . [2] . Также перепечатано в: Хейс, Брайан (2017). «Глава 8: Высшая арифметика». Защита от дурака и другие математические размышления (1-е изд.). MIT Press . С. 113–126. ISBN 978-0-26203686-3. ISBN 0-26203686-X .
Внешние ссылки
- sl-c-library (размещенная в Google Code), «Реализация симметричной арифметики индекса и уровня в C ++» .