Синхронизация хаоса

Синхронизация хаоса - это явление, которое может происходить, когда две или более диссипативных хаотических систем связаны.

Из-за экспоненциального расхождения близлежащих траекторий хаотических систем наличие двух хаотических систем, развивающихся синхронно, может показаться удивительным. Однако синхронизация связанных или управляемых хаотических генераторов - явление, хорошо установленное экспериментально и достаточно хорошо понимаемое теоретически.

Стабильность синхронизации для связанных систем может быть проанализирована с помощью стабильности ведущего . Синхронизация хаоса - это богатое явление и междисциплинарная тема с широким спектром приложений. ^[1]^[2]^[3]

Синхронизация может иметь различные формы в зависимости от природы взаимодействующих систем и типа связи, а также близости между системами.

Идентичная синхронизация [ править ]

Этот тип синхронизации также известен как полная синхронизация. Это можно наблюдать для одинаковых хаотических систем. Говорят, что системы полностью синхронизированы, когда есть набор начальных условий, так что системы в конечном итоге развиваются одинаково во времени. В простейшем случае двух диффузно связанных динамики описывается выражением

{\ Displaystyle х ^ {\ простое} = F (х) + \ альфа (yx)}

y^{\prime }=F(y)+\alpha (x-y)

где - векторное поле, моделирующее изолированную хаотическую динамику, - параметр связи. Режим определяет инвариантное подпространство связанной системы, если это подпространство является локально привлекательным, то связанная система демонстрирует идентичную синхронизацию. $F$ $\alpha$ $x(t)=y(t)$ $x(t)=y(t)$

Если связь исчезает, осцилляторы разъединяются, и хаотическое поведение приводит к расхождению близлежащих траекторий. Полная синхронизация происходит за счет взаимодействия, если параметр связи достаточно велик, чтобы расхождение траекторий взаимодействующих систем из-за хаоса подавлялось диффузионной связью. Чтобы найти критическую силу связи, мы изучаем поведение разницы . Предполагая, что это мало, мы можем разложить векторное поле последовательно и получить линейное дифференциальное уравнение, пренебрегая остатком Тейлора, определяющим поведение разности $v=x-y$ $v$

v^{\prime }=DF(x(t))v-2\alpha v

где обозначает якобиан векторного поля вдоль решения. Если тогда получим $DF(x(t))$ $\alpha =0$

u^{\prime }=DF(x(t))u,

а так как динамика хаотична , то где означает максимальный показатель Ляпунова изолированной системы. Теперь, используя анзац, мы переходим от уравнения для к уравнению для . Следовательно, получаем $\|u(t)\|\leq \|u(0)\|e^{\lambda t}$ $\lambda$ $v=ue^{-2\alpha t}$ $v$ $u$

\|v(t)\|\leq \|u(0)\|e^{(-2\alpha +\lambda )t}

дают критическую прочность связи , так как вся система демонстрирует полную синхронизацию. Наличие критической силы связи связано с хаотическим характером изолированной динамики. $\alpha _{c}=\lambda /2$ $\alpha >\alpha _{c}$

В общем, эти рассуждения приводят к правильному критическому значению связи для синхронизации. Однако в некоторых случаях можно наблюдать потерю синхронизации для значений прочности связи, превышающих критическое значение. Это происходит потому, что нелинейные члены, которыми пренебрегают при выводе критического значения связи, могут играть важную роль и разрушать экспоненциальную оценку поведения разности. ^[4] Однако можно строго рассмотреть эту проблему и получить критическое значение, чтобы нелинейности не влияли на стабильность. ^[5]

Общая синхронизация [ править ]

Этот тип синхронизации происходит в основном, когда связанные хаотические генераторы различны, хотя сообщалось также и между идентичными генераторами. Учитывая динамические переменные (x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) и (y ₁ , y ₂ , ..., y _m ), которые определяют состояние осцилляторов, обобщенная синхронизация происходит при наличии функционала, Φ такая, что после временной эволюции от соответствующих начальных условий это [y ₁ (t), y ₂ (t), ..., y _m (t)] = Φ [x ₁ (t), x ₂ (t), ..., x _n(t)]. Это означает, что динамическое состояние одного из осцилляторов полностью определяется состоянием другого. Когда генераторы взаимно связаны, этот функционал должен быть обратимым, если есть конфигурация отклика возбуждения, привод определяет эволюцию отклика, и Φ не обязательно должен быть обратимым. Идентичная синхронизация - это частный случай обобщенной синхронизации, когда Φ - это тождество.

Фазовая синхронизация [ править ]

Фазовая синхронизация происходит, когда связанные хаотические генераторы поддерживают ограниченную разность фаз, а их амплитуды остаются некоррелированными. Это явление происходит, даже если генераторы не идентичны. Наблюдение фазовой синхронизации требует предварительного определения фазы хаотического осциллятора. Во многих практических случаях можно найти плоскость в фазовом пространстве, в которой проекция траекторий осциллятора следует за вращением вокруг четко определенного центра. В этом случае фаза определяется углом φ (t), который описывается отрезком, соединяющим центр вращения и проекцию точки траектории на плоскость. В других случаях все еще можно определить фазу с помощью методов, предусмотренных теорией обработки сигналов , таких какПреобразование Гильберта . В любом случае, если φ ₁ (t) и φ ₂ (t) обозначают фазы двух связанных осцилляторов, синхронизация фазы дается соотношением nφ ₁ (t) = mφ ₂ (t) с m и n целыми числа.

Ожидаемая и запаздывающая синхронизация [ править ]

В этих случаях синхронизированное состояние характеризуется таким интервалом времени τ, что динамические переменные осцилляторов (x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) и (x ' ₁ , x' ₂ , ... , x ' _n ), связаны соотношением x' _i (t) = x _i (t + τ); это означает, что динамика одного из осцилляторов следует за динамикой другого или опережает ее. Ожидаемая синхронизация может происходить между хаотическими осцилляторами, динамика которых описывается дифференциальными уравнениями с запаздыванием , объединенными в конфигурацию «возбуждение-отклик». В этом случае реакция предвосхищает динамику привода. Задержка синхронизации может возникнуть при увеличении силы связи между синхронизированными по фазе генераторами.

Синхронизация огибающей амплитуды [ править ]

Это мягкая форма синхронизации, которая может возникать между двумя слабосвязанными хаотическими осцилляторами. В этом случае нет корреляции между фазами и амплитудами; вместо этого колебания двух систем образуют периодическую огибающую, которая имеет одинаковую частоту в двух системах.

Это имеет тот же порядок величины, что и разница между средними частотами колебаний двух хаотических осцилляторов. Часто синхронизация огибающей амплитуды предшествует фазовой синхронизации в том смысле, что при увеличении силы связи между двумя генераторами, синхронизированными с огибающей амплитуды, развивается фазовая синхронизация.

Все эти формы синхронизации обладают свойством асимптотической устойчивости. Это означает, что после достижения синхронизированного состояния эффект небольшого возмущения, разрушающего синхронизацию, быстро затухает, и синхронизация снова восстанавливается. Математически асимптотическая устойчивость характеризуется положительным показателем Ляпунова системы, состоящей из двух осцилляторов, который становится отрицательным при достижении хаотической синхронизации.

Некоторые хаотические системы позволяют еще сильнее контролировать хаос , и как синхронизация хаоса, так и управление хаосом составляют части того, что известно как « кибернетическая физика ».

Заметки [ править ]

↑ Аренас, Алекс; Диас-Гилера, Альберт; Куртс, Юрген; Морено, Ямир; Чжоу, Чансон (01.12.2008). «Синхронизация в сложных сетях». Отчеты по физике . 469 (3): 93–153. arXiv : 0805.2976 . Bibcode : 2008PhR ... 469 ... 93A . DOI : 10.1016 / j.physrep.2008.09.002 .
^ У, Chai Вах (2007). Синхронизация в сложных сетях нелинейных динамических систем . DOI : 10,1142 / 6570 . ISBN 978-981-270-973-8.
^ Эроглу, Дениз; Lamb, Jeroen SW; Перейра, Тьяго (2017). «Синхронизация хаоса и его приложений» . Современная физика . 58 (3): 207–243. DOI : 10.1080 / 00107514.2017.1345844 . hdl : 10044/1/53479 . ISSN 0010-7514 .
^ Эшвин, Питер (2006-08-09). «Пузырьковый переход» . Scholarpedia . 1 (8): 1725. Bibcode : 2006SchpJ ... 1.1725A . DOI : 10,4249 / scholarpedia.1725 . ISSN 1941-6016 .
^ Тьяго Перейра, Устойчивость синхронизированного движения в сложных сетях , arXiv: 1112.2297v1, 2011.

Ссылки [ править ]

Пиковский, А .; Rosemblum, M .; Куртс, Дж. (2001). Синхронизация: универсальная концепция нелинейных наук . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-53352-2.
Гонсалес-Миранда, JM (2004). Синхронизация и контроль хаоса. Введение для ученых и инженеров . Imperial College Press . ISBN 978-1-86094-488-8.
Фрадков А.Л. Кибернетическая физика: от управления хаосом к квантовому управлению. Springer-Verlag, 2007, (Предварительная русскоязычная версия: Санкт-Петербург, Наука, 2003) .

[1] Аренас, Алекс; Диас-Гилера, Альберт; Куртс, Юрген; Морено, Ямир; Чжоу, Чансон (01.12.2008). «Синхронизация в сложных сетях». Отчеты по физике . 469 (3): 93–153. arXiv : 0805.2976 . Bibcode : 2008PhR ... 469 ... 93A . DOI : 10.1016 / j.physrep.2008.09.002 .

[2] У, Chai Вах (2007). Синхронизация в сложных сетях нелинейных динамических систем . DOI : 10,1142 / 6570 . ISBN 978-981-270-973-8.

[3] Эроглу, Дениз; Lamb, Jeroen SW; Перейра, Тьяго (2017). «Синхронизация хаоса и его приложений» . Современная физика . 58 (3): 207–243. DOI : 10.1080 / 00107514.2017.1345844 . hdl : 10044/1/53479 . ISSN 0010-7514 .

[4] Эшвин, Питер (2006-08-09). «Пузырьковый переход» . Scholarpedia . 1 (8): 1725. Bibcode : 2006SchpJ ... 1.1725A . DOI : 10,4249 / scholarpedia.1725 . ISSN 1941-6016 .

[5] Тьяго Перейра, Устойчивость синхронизированного движения в сложных сетях , arXiv: 1112.2297v1, 2011.

[1]