Расширение размера системы

Расширение размера системы , также известное как расширение Ван Кампена или Ω-расширение , - это метод, впервые примененный Нико ван Кампеном ^[1] для анализа случайных процессов . В частности, это позволяет найти приближение к решению основного уравнения с нелинейными скоростями перехода. Член разложения в главном порядке дается приближением линейного шума , в котором основное уравнение аппроксимируется уравнением Фоккера – Планка с линейными коэффициентами, определяемыми скоростями переходов и стехиометрией системы.

Менее формально, как правило, просто написать математическое описание системы, в которой процессы происходят случайным образом (например, радиоактивные атомы случайным образом распадаются в физической системе или гены, которые выражаются в клетке стохастически ). Однако эти математические описания часто слишком сложно решить для изучения системной статистики (например, среднего и дисперсионного числа атомов или белков как функции времени). Расширение размера системы позволяет получить приблизительное статистическое описание, которое может быть решено намного проще, чем основное уравнение.

Предварительные мероприятия [ править ]

Системы, допускающие лечение с увеличением размера системы, могут быть описаны распределением вероятностей , дающим вероятность наблюдения системы в состоянии в определенный момент времени . может быть, например, вектором с элементами, соответствующими количеству молекул различных химических соединений в системе. В системе размеров (интуитивно интерпретируемой как объем) мы примем следующую номенклатуру: - вектор макроскопических копий, - вектор концентраций и - вектор детерминированных концентраций, как они выглядят в соответствии со скоростью уравнение в бесконечной системе. и , таким образом, являются величинами, подверженными стохастическим эффектам.${\ Displaystyle P (X, t)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {X} / \ Omega}$${\ Displaystyle \ mathbf {\ phi}}$${\ displaystyle \ mathbf {x}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Управляющее уравнение описывает эволюцию во время этой вероятности. ^{[1] В} дальнейшем система химических реакций ^[2] будет обсуждаться, чтобы предоставить конкретный пример, хотя номенклатура «разновидностей» и «реакций» является обобщенной. Систему, включающую виды и реакции, можно описать основным уравнением:${\ displaystyle N}$${\ displaystyle R}$

${\displaystyle {\frac {\partial P(\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}=\Omega \sum _{j=1}^{R}\left(\prod _{i=1}^{N}\mathbb {E} ^{-S_{ij}}-1\right)f_{j}(\mathbf {x} ,\Omega )P(\mathbf {X} ,t).}$

Здесь - размер системы, - оператор, к которому мы обратимся позже, - это стехиометрическая матрица для системы (в которой элемент дает стехиометрический коэффициент для веществ, участвующих в реакции ), и - это скорость реакции с учетом состояния и размера системы .${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {E} }$${\displaystyle S_{ij}}$${\displaystyle S_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \mathbb {E} ^{-S_{ij}}}$является оператором шага, ^[1] удаляющим из th элемента своего аргумента. Например, . Этот формализм пригодится позже.${\displaystyle S_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {E} ^{-S_{23}}f(x_{1},x_{2},x_{3})=f(x_{1},x_{2}-S_{23},x_{3})}$

Приведенное выше уравнение можно интерпретировать следующим образом. Начальная сумма на RHS - по всем реакциям. Для каждой реакции скобки сразу после суммы дают два члена. Член с простым коэффициентом -1 дает поток вероятности от данного состояния из-за реакции, изменяющей состояние. Термин, которому предшествует произведение операторов шага, дает поток вероятности из-за реакции, изменяющей другое состояние в состояние . Произведение операторов шага создает это состояние .${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbf {X'} }$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X'} }$

Пример [ править ]

Например, рассмотрим (линейный) химическую систему с участием двух химических соединений и и реакции . В этой системе (виды), (реакции). Состояние системы - это вектор , где - количество молекул и соответственно. Пусть , так что скорость реакции 1 (единственной реакции) зависит от концентрации . Матрица стехиометрии равна .${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle X_{1}\rightarrow X_{2}}$${\displaystyle N=2}$${\displaystyle R=1}$${\displaystyle \mathbf {X} =\{n_{1},n_{2}\}}$${\displaystyle n_{1},n_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle f_{1}(\mathbf {x} ,\Omega )={\frac {n_{1}}{\Omega }}=x_{1}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle (-1,1)^{T}}$

Тогда основное уравнение гласит:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial P(\mathbf {X} ,t)}{\partial t}}&=\Omega \left(\mathbb {E} ^{-S_{11}}\mathbb {E} ^{-S_{21}}-1\right)f_{1}\left({\frac {\mathbf {X} }{\Omega }}\right)P(\mathbf {X} ,t)\\&=\Omega \left(f_{1}\left({\frac {\mathbf {X} +\mathbf {\Delta X} }{\Omega }}\right)P\left(\mathbf {X} +\mathbf {\Delta X} ,t\right)-f_{1}\left({\frac {\mathbf {X} }{\Omega }}\right)P\left(\mathbf {X} ,t\right)\right),\end{aligned}}}$

где - сдвиг, вызванный действием произведения операторов шага, необходимый для изменения состояния на состояние-предшественник .${\displaystyle \mathbf {\Delta X} =\{1,-1\}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {X} '}$

Приближение линейного шума [ править ]

Если основное уравнение обладает нелинейными скоростями перехода, его невозможно решить аналитически. Расширение размера системы использует анзац , согласно которому дисперсия устойчивого распределения вероятностей составляющих чисел в совокупности масштабируется так же, как и размер системы. Этот анзац используется для расширения основного уравнения с помощью небольшого параметра, заданного размером обратной системы.

В частности, давайте запишем количество копий компонента как сумму его «детерминированного» значения (увеличенная концентрация) и случайной величины , масштабируемой следующим образом :${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \Omega ^{1/2}}$

${\displaystyle X_{i}=\Omega \phi _{i}+\Omega ^{1/2}\xi _{i}.}$

Тогда распределение вероятностей можно переписать в вектор случайных величин :${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle P(\mathbf {X} ,t)=P(\Omega \mathbf {\phi } +\Omega ^{1/2}\mathbf {\xi } )=\Pi (\mathbf {\xi } ,t).}$

Подумайте, как записать скорость реакции и оператор шага в терминах этой новой случайной величины. Разложение Тейлора скоростей перехода дает:${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {E} }$

${\displaystyle f_{j}(\mathbf {x} )=f_{j}(\mathbf {\phi } +\Omega ^{-1/2}\mathbf {\xi } )=f_{j}(\mathbf {\phi } )+\Omega ^{-1/2}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial f_{j}(\mathbf {\phi } )}{\partial \phi _{i}}}\xi _{i}+O(\Omega ^{-1}).}$

Оператор шаг имеет эффект и , следовательно :${\displaystyle \mathbb {E} f(n)\rightarrow f(n+1)}$${\displaystyle \mathbb {E} f(\xi )\rightarrow f(\xi +\Omega ^{-1/2})}$

${\displaystyle \prod _{i=1}^{N}\mathbb {E} ^{-S_{ij}}\simeq 1-\Omega ^{-1/2}\sum _{i}S_{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi _{i}}}+{\frac {\Omega ^{-1}}{2}}\sum _{i}\sum _{k}S_{ij}S_{kj}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi _{i}\,\partial \xi _{k}}}+O(\Omega ^{-3/2}).}$

Теперь мы можем изменить основное уравнение.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad {\frac {\partial \Pi (\mathbf {\xi } ,t)}{\partial t}}-\Omega ^{1/2}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}{\frac {\partial \Pi (\mathbf {\xi } ,t)}{\partial \xi _{i}}}\\&=\Omega \sum _{j=1}^{R}\left(-\Omega ^{-1/2}\sum _{i}S_{ij}{\frac {\partial }{\partial \xi _{i}}}+{\frac {\Omega ^{-1}}{2}}\sum _{i}\sum _{k}S_{ij}S_{kj}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \xi _{i}\,\partial \xi _{k}}}+O(\Omega ^{-3/2})\right)\\&{}\qquad \times \left(f_{j}(\mathbf {\phi } )+\Omega ^{-1/2}\sum _{i}{\frac {\partial f_{j}(\mathbf {\phi } )}{\partial \phi _{i}}}\xi _{i}+O(\Omega ^{-1})\right)\Pi (\mathbf {\xi } ,t).\end{aligned}}}$

Это довольно пугающее выражение приобретает больше смысла, когда мы собираем термины с разными степенями . Во-первых, условия заказа дают${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega ^{1/2}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}{\frac {\partial \Pi (\mathbf {\xi } ,t)}{\partial \xi _{i}}}=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{R}S_{ij}f_{j}(\mathbf {\phi } ){\frac {\partial \Pi (\mathbf {\xi } ,t)}{\partial \xi _{i}}}.}$

Эти члены сокращаются из-за макроскопического уравнения реакции

${\displaystyle {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}=\sum _{j=1}^{R}S_{ij}f_{j}(\mathbf {\phi } ).}$

Условия заказа интереснее:${\displaystyle \Omega ^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi (\mathbf {\xi } ,t)}{\partial t}}=\sum _{j}\left(\sum _{ik}-S_{ij}{\frac {\partial f_{j}}{\partial \phi _{k}}}{\frac {\partial (\xi _{k}\Pi (\mathbf {\xi } ,t))}{\partial \xi _{i}}}+{\frac {1}{2}}f_{j}\sum _{ik}S_{ij}S_{kj}{\frac {\partial ^{2}\Pi (\mathbf {\xi } ,t)}{\partial \xi _{i}\,\partial \xi _{k}}}\right),}$

который можно записать как

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi (\mathbf {\xi } ,t)}{\partial t}}=-\sum _{ik}A_{ik}{\frac {\partial (\xi _{k}\Pi )}{\partial \xi _{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{ik}[\mathbf {BB} ^{T}]_{ik}{\frac {\partial ^{2}\Pi }{\partial \xi _{i}\,\partial \xi _{k}}},}$

где

${\displaystyle A_{ik}=\sum _{j=1}^{R}S_{ij}{\frac {\partial f_{j}}{\partial \phi _{k}}}={\frac {\partial (\mathbf {S} _{i}\cdot \mathbf {f} )}{\partial \phi _{k}}},}$

а также

${\displaystyle [\mathbf {BB} ^{T}]_{ik}=\sum _{j=1}^{R}S_{ij}S_{kj}f_{j}(\mathbf {\phi } )=[\mathbf {S} \,{\mbox{diag}}(f(\mathbf {\phi } ))\,\mathbf {S} ^{T}]_{ik}.}$

Временная эволюция тогда определяется линейным уравнением Фоккера – Планка с матрицами коэффициентов и (в пределе больших значений можно пренебречь, это называется приближением линейного шума ). Затем, зная скорость реакции и стехиометрию , можно рассчитать моменты .${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {BB} ^{T}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle O(\Omega ^{-1/2})}$${\displaystyle \mathbf {f} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Pi }$

Приближение подразумевает, что флуктуации вокруг среднего имеют гауссово распределение. Негауссовские характеристики распределений могут быть вычислены с учетом членов более высокого порядка в разложении. ^[3]

Программное обеспечение [ править ]

Приближение линейного шума стало популярным методом для оценки размера внутреннего шума с точки зрения коэффициентов вариации и факторов Фано для молекулярных видов во внутриклеточных путях. Второй момент, полученный из приближения линейного шума (на котором основаны измерения шума), точен только в том случае, если путь состоит из реакций первого порядка. Однако бимолекулярные реакции, такие как фермент-субстрат , белок-белок и белок-ДНКвзаимодействия являются вездесущими элементами всех известных путей; для таких случаев приближение линейного шума может дать оценки, которые точны в пределах больших объемов реакции. Поскольку этот предел взят при постоянных концентрациях, из этого следует, что приближение линейного шума дает точные результаты в пределе большого числа молекул и становится менее надежным для путей, характеризующихся многими видами с низким числом копий молекул.

Ряд исследований выявили случаи недостаточности приближения линейного шума в биологических контекстах путем сравнения его прогнозов с предсказаниями стохастического моделирования. ^{[4] [5]} Это привело к исследованию членов высшего порядка расширения размера системы, которые выходят за рамки линейного приближения. Эти термины использовались для получения более точных оценок моментов для средних концентраций и для дисперсий колебаний концентраций во внутриклеточных путях. В частности, поправки в главном порядке к приближению линейного шума дают поправки к обычным скоростным уравнениям . ^[6]Члены более высокого порядка также использовались для получения поправок к оценкам дисперсии и ковариации приближения линейного шума. ^{[7] [8]} Приближение линейного шума и поправки к нему можно вычислить с помощью встроенного анализатора шума программного обеспечения с открытым исходным кодом . Коррекции, как было показано, особенно значительны для аллостерических и неаллостерических ферментно-опосредованных реакций во внутриклеточных компартментах .

Ссылки [ править ]