В теории групп , Титце преобразования используются для преобразования заданного представления группы в другую, часто проще представление одной и той же группы . Эти преобразования названы в честь Генриха Франца Фридриха Титце, который представил их в своей статье в 1908 году.
Представление в терминах генераторов и отношений ; формально говоря, представление - это пара, состоящая из набора именованных генераторов и набора слов в свободной группе по генераторам, которые считаются отношениями. Преобразования Титце состоят из элементарных шагов, каждый из которых в отдельности довольно очевидно переводит представление в представление изоморфной группы. Эти элементарные шаги могут работать с генераторами или отношениями и бывают четырех видов.
Добавление отношения
Если отношение может быть получено из существующих отношений, оно может быть добавлено к презентации без изменения группы. Пусть G = 〈x | x 3 = 1〉 - конечное представление циклической группы порядка 3. Умножая x 3 = 1 с обеих сторон на x 3, получаем x 6 = x 3 = 1, так что x 6 = 1 выводится из x 3 = 1. Следовательно, G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1〉 - еще одно представление той же группы.
Удаление отношения
Если отношение в презентации может быть получено из других отношений, то оно может быть удалено из презентации, не затрагивая группу. В G = 〈x | x 3 = 1, x 6 = 1〉 соотношение x 6 = 1 может быть получено из x 3 = 1, поэтому его можно безопасно удалить. Заметим, однако, что если x 3 = 1 удаляется из представления, группа G = 〈x | x 6 = 1〉 определяет циклическую группу порядка 6 и не определяет ту же группу. Необходимо проявлять осторожность, чтобы показать, что любые удаляемые отношения являются следствием других отношений.
Добавление генератора
Для данной презентации можно добавить новый генератор, который выражается словом в исходных генераторах. Начиная с G = 〈x | x 3 = 1〉 и положив y = x 2 новое представление G = 〈x , y | x 3 = 1, y = x 2〉 определяет ту же группу.
Снятие генератора
Если может быть сформировано отношение, в котором один из генераторов является словом в других генераторах, то этот генератор может быть удален. Для этого необходимо заменить все вхождения удаленного генератора на его эквивалентное слово. Представление элементарной абелевой группы порядка 4, G = 〈x, y, z | x = yz, y 2 = 1, z 2 = 1, x = x −1〉 можно заменить на G = 〈y , z | y 2 = 1, z 2 = 1, ( yz ) = ( yz ) −1〉, удалив x .
Примеры
Пусть G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1〉 - представление симметрической группы третьей степени. Генератор x соответствует перестановке (1,2,3), а y - (2,3). С помощью преобразований Титце это представление может быть преобразовано в G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1〉, где z соответствует (1,2).
G = 〈x , y | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1〉 | (Начало) |
G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, z = xy〉 | Правило 3 - Добавьте генератор z |
G = 〈x , y , z | x 3 = 1, y 2 = 1, ( xy ) 2 = 1, x = zy〉 | правила 1 и 2 - сложите x = z y −1 = zy и удалите z = xy |
G = 〈y , z | ( zy ) 3 = 1, y 2 = 1, z 2 = 1〉 | Правило 4 - Убрать генератор x |
Смотрите также
Рекомендации
- Роджер С. Линдон , Пол Э. Шупп , комбинаторная теория групп , Springer, 2001. ISBN 3-540-41158-5 .