В математике , топологическая алгебра является алгеброй и одновременно топологическим пространством , в котором алгебраическая и топологическая структуры согласованы в определенном смысле.
Определение
Топологическая алгебра над топологическим полем является топологическим векторным пространством вместе с билинейным умножением
- ,
это превращается в алгебру нади в каком-то определенном смысле непрерывна . Обычно непрерывность умножения выражается одним из следующих (неэквивалентных) требований:
- совместная непрерывность : [1] для каждой окрестности нуля есть окрестности нуля а также такой, что (другими словами, это условие означает, что умножение непрерывно как отображение между топологическими пространствами ), или
- непрерывность стереотипа : [2] для каждого вполне ограниченного множества и для каждой окрестности нуля есть окрестность нуля такой, что а также , или же
- отдельная непрерывность : [3] для каждого элемента и для каждой окрестности нуля есть окрестность нуля такой, что а также .
(Разумеется, совместная преемственность предполагает преемственность стереотипов, а преемственность стереотипов предполагает отдельную преемственность.) В первом случае называется « топологической алгеброй с совместно непрерывным умножением », а в последнем - « с раздельно непрерывным умножением ».
Ассоциативная топологическая алгебра с единицей (иногда) называется топологическим кольцом .
История
Термин был придуман Дэвидом ван Данцигом ; он фигурирует в названии его докторской диссертации (1931 г.).
Примеры
- 1. Алгебры Фреше являются примерами ассоциативных топологических алгебр с совместно непрерывным умножением.
- 2. Банаховы алгебры являются частными случаями алгебр Фреше .
- 3. Стереотипные алгебры являются примерами ассоциативных топологических алгебр со стереотипным непрерывным умножением.
Заметки
Внешние ссылки
Рекомендации
- Beckenstein, E .; Narici, L .; Суэль, К. (1977). Топологические алгебры . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 9780080871356.
- Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре». Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. DOI : 10,1023 / А: 1020929201133 . S2CID 115297067 .
- Маллиос, А. (1986). Топологические алгебры . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 9780080872353.
- Балачандран, ВК (2000). Топологические алгебры . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 9780080543086.
- Фрагулопулу, М. (2005). Топологические алгебры с инволюцией . Амстердам: Северная Голландия. ISBN 9780444520258.