Движение снаряда

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста, помогите улучшить его или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны )

‹Приведенный ниже шаблон ( необходим эксперт ) рассматривается на предмет удаления. См. Шаблоны для обсуждения, чтобы помочь достичь консенсуса. ›

Эта статья требует внимания эксперта по данной теме . Конкретная проблема: Содержит различную высокоуровневую информацию без каких-либо ссылок. При размещении этого тега рассмотрите возможность связывания этого запроса с WikiProject . ( Ноябрь 2019 г. )

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Движение снаряда» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( ноябрь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Параболическая траектория движения воды

Составляющие начальной скорости параболического броска

Движение Метательное является формой движения , испытываемого объектом или частицей ( снаряд ) , который проецируется рядом с Землей «сек поверхности и двигаетесь по криволинейной траектории под действием силы тяжести только (в частности, эффекты сопротивления воздуха являются пассивными и предполагается пренебрежимо малым). Этот изогнутый путь был показан Галилеем как парабола , но он также может быть линией в особом случае, когда он брошен прямо вверх. Изучение таких движений называется баллистикой , а такая траектория - баллистической траекторией.. Единственная сила, имеющая математическое значение, которая активно воздействует на объект, - это сила тяжести, которая действует вниз, тем самым сообщая объекту ускорение вниз по направлению к центру масс Земли . Из-за инерции объекта никакая внешняя сила не требуется для поддержания горизонтальной составляющей скорости движения объекта. Учет других сил, таких как аэродинамическое сопротивление или внутренняя тяга (например, в ракете ), требует дополнительного анализа. Баллистическая ракетой является ракетой только руководствовались во время относительно короткого начального питанияфаза полета, и оставшийся курс которой регулируется законами классической механики .

Баллистика ( греч . Βάλλειν , латинизировано : ba'llein , букв. « Бросать ») - это наука о динамике, которая имеет дело с полетом, поведением и действием снарядов, особенно пуль , неуправляемых бомб , ракет и т. П .; наука или искусство конструирования и ускорения снарядов для достижения желаемых характеристик.

Траектории полета снаряда с воздушным сопротивлением и изменяющимися начальными скоростями

Элементарные уравнения баллистики не учитывают почти все факторы, кроме начальной скорости и предполагаемого постоянного гравитационного ускорения. Практические решения проблемы баллистики часто требуют учета сопротивления воздуха, бокового ветра, движения цели, переменного ускорения под действием силы тяжести, а в таких задачах, как запуск ракеты из одной точки на Земле в другую, - вращения Земли. Подробные математические решения практических задач обычно не имеют решений в замкнутой форме и поэтому требуют решения численных методов .

Кинематические количества движения снаряда [ править ]

При движении снаряда горизонтальное движение и вертикальное движение не зависят друг от друга; то есть ни одно движение не влияет на другое. Это принцип сложного движения, установленный Галилеем в 1638 г. ^[1] и использованный им для доказательства параболической формы движения снаряда. ^[2]

Горизонтальная и вертикальная составляющие скорости снаряда не зависят друг от друга.

Баллистическая траектория - это парабола с однородным ускорением, например, в космическом корабле с постоянным ускорением в отсутствие других сил. На Земле ускорение изменяется по величине с высотой и направление с широтой / долготой. Это вызывает эллиптическую траекторию, которая очень близка к параболе в небольшом масштабе. Однако, если объект был брошен, и Земля внезапно была заменена черной дырой равной массы, стало бы очевидно, что баллистическая траектория является частью эллиптической орбиты вокруг этой черной дыры, а не параболой, простирающейся до бесконечности. На более высоких скоростях траектория также может быть круговой, параболической или гиперболической.(если не искажено другими объектами, такими как Луна или Солнце). В этой статье предполагается однородное ускорение.

Ускорение [ править ]

Поскольку есть только ускорение в вертикальном направлении, скорость в горизонтальном направлении постоянна и равна . Вертикальное движение снаряда - это движение частицы при ее свободном падении. Здесь ускорение постоянно и равно g . ^{[примечание 1]} Составляющими ускорения являются: $\mathbf {v} _{0}\cos \theta$

a_{x}=0

,

a_{y}=-g

.

Скорость [ править ]

Пусть снаряд запускается с начальной скоростью , которую можно выразить как сумму горизонтальной и вертикальной составляющих следующим образом: $\mathbf {v} (0)\equiv \mathbf {v} _{0}$

\mathbf {v} _{0}=v_{0x}\mathbf {\hat {x}} +v_{0y}\mathbf {\hat {y}}

.

Компоненты и могут быть найдены, если известен начальный угол пуска,, : $v_{0x}$ $v_{0y}$ $\theta$

v_{0x}=v_{0}\cos(\theta )

,

v_{0y}=v_{0}\sin(\theta )

Горизонтальная составляющая скорости объекта остается неизменной на протяжении всего движения. Вертикальная составляющая скорости изменяется линейно ^{[примечание 2],} потому что ускорение свободного падения постоянно. Ускорения в направлениях x и y можно проинтегрировать, чтобы найти компоненты скорости в любой момент времени t следующим образом:

v_{x}=v_{0}\cos(\theta )

,

v_{y}=v_{0}\sin(\theta )-gt

.

Величина скорости (согласно теореме Пифагора , также известной как закон треугольника):

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

.

Смещение [ править ]

Перемещение и координаты параболического метания

В любой момент смещение снаряда по горизонтали и вертикали составляет: $t$

x=v_{0}t\cos(\theta )

,

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

.

Величина смещения:

\Delta r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}

.

Рассмотрим уравнения,

x=v_{0}t\cos(\theta ),y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

.

Если исключить t между этими двумя уравнениями, получится следующее уравнение:

y=\tan(\theta )\cdot x-{\frac {g}{2v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}\cdot x^{2}

.

Поскольку g , θ и v ₀ - константы, приведенное выше уравнение имеет вид

y=ax+bx^{2}

,

в котором a и b - константы. Это уравнение параболы, поэтому путь параболический. Ось параболы вертикальна.

Если положение снаряда (x, y) и угол запуска (θ или α) известны, начальную скорость можно найти, решив для v ₀ в вышеупомянутом параболическом уравнении:

v_{0}={\sqrt {{x^{2}g} \over {x\sin 2\theta -2y\cos ^{2}\theta }}}

.

Смещение в полярных координатах [ править ]

Параболическая траектория снаряда также может быть выражена в полярных координатах вместо декартовых координат. В этом случае позиция имеет общую формулу

r(\phi )={\frac {v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }{g}}\left(-\tan \phi \sec \phi +{\sqrt {(\tan ^{2}\phi +\tan ^{2}\theta )\sec ^{2}\phi }}\right)

.

В этом уравнении начало координат - это середина горизонтальной дальности полета снаряда, и, если земля плоская, параболическая дуга отображается в диапазоне . Это выражение можно получить, преобразовав декартово уравнение, как указано выше, с помощью и . $0\leq \phi \leq \pi$ $y=r\sin \phi$ $x=r\cos \phi$

Свойства траектории [ править ]

Время полета или общее время всего путешествия [ править ]

Общее время t, в течение которого снаряд остается в воздухе, называется временем полета.

y=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

После полета снаряд возвращается на горизонтальную ось (ось x), т . $y=0$

0=v_{0}t\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt^{2}

v_{0}t\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt^{2}

v_{0}\sin(\theta )={\frac {1}{2}}gt

t={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}

Обратите внимание, что мы пренебрегли сопротивлением воздуха на снаряде.

Если начальная точка находится на высоте y ₀ относительно точки удара, время полета составляет:

t={\frac {d}{v\cos \theta }}={\frac {v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}}{g}}

Как и выше, это выражение можно свести к

t={\frac {v\sin {\theta }+{\sqrt {(v\sin {\theta })^{2}}}}{g}}={\frac {v\sin {\theta }+v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {\theta }}{g}}={\frac {2v\sin {(45)}}{g}}={\frac {2v{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{g}}={\frac {{\sqrt {2}}v}{g}}

если θ равно 45 °, а y ₀ равно 0.

Максимальная высота снаряда [ править ]

Максимальная высота снаряда

Наибольшая высота, которой может достичь объект, называется пиком движения объекта. Увеличение роста продлится до тех пор , пока $v_{y}=0$

0=v_{0}\sin(\theta )-gt_{h}

.

Время достижения максимальной высоты (ч):

t_{h}={\frac {v_{0}\sin(\theta )}{g}}

.

Для вертикального перемещения максимальной высоты снаряда:

h=v_{0}t_{h}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{h}^{2}

h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}(\theta )}{2g}}

Максимальная достижимая высота достигается при θ = 90 °:

h_{\mathrm {max} }={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}

Связь между горизонтальным диапазоном и максимальной высотой [ править ]

Связь между диапазоном d в горизонтальной плоскости и максимальной достигаемой высотой h составляет: ${\frac {t_{d}}{2}}$

h={\frac {d\tan \theta }{4}}

Доказательство

$h={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}$

d={\frac {v_{0}^{2}\sin 2\theta }{g}}

{\frac {h}{d}}={\frac {v_{0}^{2}\sin ^{2}\theta }{2g}}

×

{\frac {g}{v_{0}^{2}\sin 2\theta }}

{\frac {h}{d}}={\frac {\sin ^{2}\theta }{4\sin \theta \cos \theta }}

$h={\frac {d\tan \theta }{4}}$ .

Максимальная дальность полета снаряда [ править ]

Максимальная дальность снаряда

Дальность и максимальная высота снаряда не зависят от его массы. Следовательно, дальность и максимальная высота одинаковы для всех тел, брошенных с одинаковой скоростью и направлением. Горизонтальный диапазон d снаряда - это расстояние по горизонтали, которое он прошел, когда вернулся на свою начальную высоту ( ). $y=0$

0=v_{0}t_{d}\sin(\theta )-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}

.

Время добраться до земли:

t_{d}={\frac {2v_{0}\sin(\theta )}{g}}

.

От горизонтального перемещения максимальная дальность снаряда:

d=v_{0}t_{d}\cos(\theta )

,

так ^{[примечание 3]}

d={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\sin(2\theta )

.

Обратите внимание, что d имеет максимальное значение, когда

\sin 2\theta =1

,

что обязательно соответствует

2\theta =90^{\circ }

,

или же

\theta =45^{\circ }

.

Траектории снарядов, выпущенных под разными углами возвышения, но с одинаковой скоростью 10 м / с в вакууме и однородном нисходящем гравитационном поле 10 м / с ² . Точки находятся с интервалом 0,05 с, и длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. t = время от запуска, T = время полета, R = дальность и H = самая высокая точка траектории (обозначена стрелками).

Общее пройденное расстояние (d) по горизонтали .

d={\frac {v\cos \theta }{g}}\left(v\sin \theta +{\sqrt {(v\sin \theta )^{2}+2gy_{0}}}\right)

Когда поверхность плоская (начальная высота объекта равна нулю), пройденное расстояние: ^[3]

d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}

Таким образом, максимальное расстояние получается, если θ составляет 45 градусов. Это расстояние составляет:

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}

Применение теоремы об энергии работы [ править ]

Согласно теореме работы-энергии вертикальная составляющая скорости равна:

v_{y}^{2}=(v_{0}\sin \theta )^{2}-2gy

.

В этих формулах не учитывается аэродинамическое сопротивление, а также предполагается, что зона приземления находится на постоянной высоте 0.

Угол досягаемости [ править ]

«Угол досягаемости» - это угол ( θ ), под которым снаряд должен быть запущен, чтобы пройти расстояние d , учитывая начальную скорость v .

\sin(2\theta )={\frac {gd}{v^{2}}}

Есть два решения:

\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

(пологая траектория)

и

\theta ={\frac {1}{2}}\arccos \left({\frac {gd}{v^{2}}}\right)

(крутая траектория)

Угол `θ,` необходимый для попадания в координаты ( `x` , `y` ) [ править ]

Вакуумная траектория снаряда для разных углов пуска. Скорость пуска одинакова для всех углов, 50 м / с, если «g» равно 10 м / с ² .

Чтобы поразить цель на дальности x и высоте y при выстреле из точки (0,0) и с начальной скоростью v, требуемый угол (ы) пуска θ составляет:

\tan \theta ={\left({\frac {v^{2}\pm {\sqrt {v^{4}-g(gx^{2}+2yv^{2})}}}{gx}}\right)}

Два корня уравнения соответствуют двум возможным углам запуска, если они не являются воображаемыми, и в этом случае начальная скорость недостаточно велика для достижения выбранной точки ( x , y ). Эта формула позволяет найти необходимый угол пуска без ограничения . $y=0$

Можно также спросить, какой угол пуска обеспечивает минимально возможную скорость пуска. Это происходит, когда два вышеуказанных решения равны, что означает, что величина под знаком квадратного корня равна нулю. Это требует решения квадратного уравнения для , и мы находим $v^{2}$

v^{2}/g=y+{\sqrt {y^{2}+x^{2}}}.

Это дает

\theta =\arctan \left(y/x+{\sqrt {y^{2}/x^{2}+1}}\right).

Если обозначить угол, касательная к которому равна $y / x,$ через $α$ , то

\tan \theta ={\frac {\sin \alpha +1}{\cos \alpha }}

\tan(\pi /2-\theta )={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha +1}}

\cos ^{2}(\pi /2-\theta )={\frac {1}{2}}(\sin \alpha +1)

2\cos ^{2}(\pi /2-\theta )-1=\cos(\pi /2-\alpha )

Из этого следует

\theta =\pi /2-{\frac {1}{2}}(\pi /2-\alpha ).

Другими словами, запуск должен происходить под углом посередине между целью и Зенитом (вектор, противоположный гравитации).

Общая длина траектории [ править ]

Длина параболической дуги, прослеживаемой снарядом L , при одинаковой высоте взлета и посадки и отсутствии сопротивления воздуха, определяется по формуле:

L={\frac {v_{0}^{2}}{2g}}\left(2\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \ln {\frac {1+\sin \theta }{1-\sin \theta }}\right)={\frac {v_{0}^{2}}{g}}\left(\sin \theta +\cos ^{2}\theta \cdot \tanh ^{-1}(\sin \theta )\right)

где - начальная скорость, - угол запуска, - ускорение свободного падения как положительное значение. Выражение может быть получено путем вычисления интеграла длины дуги для параболы высота-расстояние между границами начального и конечного смещений (то есть между 0 и горизонтальным диапазоном снаряда) таким образом, что: $v_{0}$ $\theta$ $g$

L=\int _{0}^{\mathrm {range} }{\sqrt {1+\left({\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right)^{2}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{v_{0}^{2}\sin(2\theta )/g}{\sqrt {1+\left(-{\frac {g}{v_{0}^{2}\cos ^{2}\theta }}x+\tan \theta \right)^{2}}}\,\mathrm {d} x

.

Траектория полета снаряда с сопротивлением воздуха [ править ]

Траектории движения массы, брошенной под углом 70 °:
без сопротивления
с перетаскиванием Стокса
с сопротивлением Ньютона

Сопротивление воздуха создает силу , которая (для симметричных снарядов) всегда направленная против направления движения в окружающей среде и имеет величину , которая зависит от абсолютной скорости: . Зависимость силы трения от скорости является линейной ( ) на очень низких скоростях ( сопротивление Стокса ) и квадратичной ( ) при больших скоростях ( сопротивление Ньютона ). ^[4] Переход между этими поведениями определяется числом Рейнольдса , которое зависит от скорости, размера объекта и кинематической вязкости среды. Для чисел Рейнольдса ниже примерно 1000 зависимость линейная, выше - квадратичная. В воздухе, кинематическая вязкость которого составляет около $\mathbf {F_{air}} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$ $f(v)\propto v$ $f(v)\propto v^{2}$ $0.15\,\mathrm {cm^{2}/s}$ , это означает, что сила сопротивления становится квадратичной по v, когда произведение скорости и диаметра больше примерно , что обычно имеет место для снарядов. $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$

Стокса сопротивление: (для ) $\mathbf {F_{air}} =-k_{\mathrm {Stokes} }\cdot \mathbf {v} \qquad$ $Re\lesssim 1000$
Ньютон сопротивление: (для ) $\mathbf {F_{air}} =-k\,|\mathbf {v} |\cdot \mathbf {v} \qquad$ $Re\gtrsim 1000$

Схема свободного тела тела, на которое действует только сила тяжести и сопротивление воздуха

Бесплатно схема тела справа есть на снаряд , который испытывает сопротивление воздуха и влияние гравитации. Здесь предполагается, что сопротивление воздуха направлено в направлении, противоположном скорости снаряда: $\mathbf {F_{\mathrm {air} }} =-f(v)\cdot \mathbf {\hat {v}}$

Траектория полета снаряда с перетаскиванием Стокса [ править ]

Сопротивление Стокса применяется только при очень низкой скорости в воздухе и, таким образом, не является типичным случаем для снарядов. Тем не менее, линейная зависимость от вызывает очень простое дифференциальное уравнение движения $\mathbf {F_{air}} \propto \mathbf {v}$ $F_{\mathrm {air} }$ $v$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\mu \,v_{x}\\-g-\mu \,v_{y}\end{pmatrix}}

в котором два декартовых компонента становятся полностью независимыми и, следовательно, их легче решать. ^[5] Здесь , и будет использоваться для обозначения начальной скорости, скорости вдоль направления х и скорости вдоль направления у , соответственно. Масса снаряда обозначим m , и . Для вывода рассматривается только случай, когда . Опять же, снаряд выстреливается из исходной точки (0,0). $v_{0}$ $v_{x}$ $v_{y}$ $\mu :=k/m$ $0^{o}\leq \theta \leq 180^{o}$

Вывод горизонтального положения

Отношения, которые представляют движение частицы, выводятся из Второго закона Ньютона как в направлениях x, так и y. По оси x и по оси y . $\Sigma F=-kv_{x}=ma_{x}$ $\Sigma F=-kv_{y}-mg=ma_{y}$

Это означает, что:

$a_{x}=-\mu v_{x}={\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}$ (1),

и

$a_{y}=-\mu v_{y}-g={\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}$ (2)

Решение (1) является элементарным дифференциальным уравнением , поэтому шаги, ведущие к единственному решению для v _x и, следовательно , x не будут перечислены. Учитывая начальные условия (где v _x0 понимается как x-составляющая начальной скорости) и для : $v_{x}=v_{x0}$ $x=0$ $t=0$

$v_{x}=v_{x0}e^{-\mu t}$ (1а)

x(t)={\frac {v_{x0}}{\mu }}\left(1-e^{-\mu t}\right)

(1b)

Вывод вертикального положения

В то время как (1) решается почти таким же образом, (2) представляет особый интерес из-за своей неоднородной природы. Следовательно, мы будем активно решать (2). Обратите внимание, что в этом случае используются начальные условия и когда . $v_{y}=v_{y0}$ $y=0$ $t=0$

${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}-g$ (2)

${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y}=-g$ (2а)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть решено несколькими способами; однако в этом случае будет быстрее подойти к решению с помощью интегрирующего фактора . $e^{\int \mu \,\mathrm {d} t}$

$e^{\mu t}({\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}+\mu v_{y})=e^{\mu t}(-g)$ (2c)

$(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }=e^{\mu t}(-g)$ (2г)

$\int {(e^{\mu t}v_{y})^{\prime }\,\mathrm {d} t}=e^{\mu t}v_{y}=\int {e^{\mu t}(-g)\,\mathrm {d} t}$ (2e)

$e^{\mu t}v_{y}={\frac {1}{\mu }}e^{\mu t}(-g)+C$ (2f)

$v_{y}={\frac {-g}{\mu }}+Ce^{-\mu t}$ (2g)

И путем интегрирования находим:

$y=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+C$ (3)

Решение для наших начальных условий:

$v_{y}(t)=-{\frac {g}{\mu }}+(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}$ (2ч)

$y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t-{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})e^{-\mu t}+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})$ (3a)

Немного алгебры для упрощения (3a):

y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}\left(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }}\right)\left(1-e^{-\mu t}\right)

(3b)

Вывод времени полета

Общее время в пути при наличии сопротивления воздуха (точнее, когда ) можно рассчитать по той же стратегии, что и выше, а именно решаем уравнение . Если в случае нулевого сопротивления воздуха это уравнение можно решить элементарно, то здесь нам понадобится W-функция Ламберта . Уравнение имеет форму , и такое уравнение может быть преобразовано в уравнение, решаемое функцией (см. Пример такого преобразования здесь ). Некоторые алгебры показывают, что полное время полета в замкнутой форме дается как ^[6] $F_{air}=-kv$ $y(t)=0$ $y(t)=-{\frac {g}{\mu }}t+{\frac {1}{\mu }}(v_{y0}+{\frac {g}{\mu }})(1-e^{-\mu t})=0$ $c_{1}t+c_{2}+c_{3}e^{c_{4}t}=0$ $W$

t={\frac {1}{\mu }}\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}+W\left(-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)e^{-\left(1+{\frac {\mu }{g}}v_{y0}\right)}\right)\right)

.

Траектория полета снаряда с сопротивлением Ньютона [ править ]

Траектории парашютиста в воздухе с сопротивлением Ньютона

Наиболее типичный случай сопротивления воздуха , для случая чисел Рейнольдса выше приблизительно 1000 Ньютон перетащить с силой сопротивления , пропорциональной квадрату скорости, . В воздухе, который имеет кинематическую вязкость по всему , это означает , что произведение скорости и диаметра должно быть больше , чем примерно . $F_{\mathrm {air} }=-kv^{2}$ $0.15\,\mathrm {cm^{2}/s}$ $0.015\,\mathrm {m^{2}/s}$

К сожалению, в этом случае уравнения движения не могут быть легко решены аналитически. Поэтому будет рассмотрено численное решение.

Сделаны следующие предположения:

Постоянное ускорение свободного падения
Сопротивление воздуха задается следующей формулой сопротивления ,

\mathbf {F_{D}} =-{\tfrac {1}{2}}c\rho A\,v\,\mathbf {v}

Где:

F _D - сила сопротивления
c - коэффициент лобового сопротивления
ρ - плотность воздуха
А - площадь поперечного сечения снаряда
μ = k / m = cρA / (2 м )

Особые случаи [ править ]

Хотя общий случай снаряда с сопротивлением Ньютона не может быть решен аналитически, некоторые частные случаи могут. Здесь мы обозначаем предельную скорость при свободном падении как и характеристическую постоянную времени установления . $v_{\infty }={\sqrt {g/\mu }}$ $t_{f}=1/{\sqrt {g\mu }}$

Почти горизонтальное движение: если движение почти горизонтальное, например, летящая пуля, вертикальная составляющая скорости имеет очень небольшое влияние на горизонтальное движение. В этом случае: $|v_{x}|\gg |v_{y}|$

{\dot {v}}_{x}(t)=-\mu \,v_{x}^{2}(t)

v_{x}(t)={\frac {1}{1/v_{x,0}+\mu \,t}}

x(t)={\frac {1}{\mu }}\ln(1+\mu \,v_{x,0}\cdot t)

То же самое относится к движению с трением по линии в любом направлении, когда сила тяжести незначительна. Это также применимо, когда предотвращается вертикальное движение, например, для движущегося автомобиля с выключенным двигателем.

Вертикальное движение вверх:

{\dot {v}}_{y}(t)=-g-\mu \,v_{y}^{2}(t)

v_{y}(t)=v_{\infty }\tan {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}

y(t)=y_{\mathrm {peak} }+{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cos {\frac {t_{\mathrm {peak} }-t}{t_{f}}}\right)

Снаряд не может подниматься дольше, чем вертикально, прежде чем достигнет пика.

t_{\mathrm {rise} }={\frac {\pi }{2}}t_{f}

Вертикальное движение вниз: ^[7]

{\dot {v}}_{y}(t)=-g+\mu \,v_{y}^{2}(t)

v_{y}(t)=-v_{\infty }\tanh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}

y(t)=y_{\mathrm {peak} }-{\frac {1}{\mu }}\ln \left(\cosh {\frac {t-t_{\mathrm {peak} }}{t_{f}}}\right)

Через некоторое время снаряд достигает почти конечной скорости .

t_{f}

-v_{\infty }

Интегральные выражения [ править ]

Этот раздел может потребовать очистки для соответствия стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: вывод не очень доступен. Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел, если можете. ( Сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Подход будет заключаться в формулировке интегральных выражений, которые можно вычислить численно . Затем все переменные будут выражены через параметр . $Q$

Вывод интегральных выражений.

Снаряд массы m запускается из точки с начальной скоростью в начальном направлении, составляющем угол с горизонтом. Он испытывает сопротивление воздуха, создаваемое тем, что действует по касательной к траектории движения в любой точке. $(x_{0},y_{0})$ $\mathbf {v_{0}}$ $\Psi _{0}$ $F_{air}=-kv^{2}$

Второй закон Ньютона является . Применение этого в направлении x дает; $\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

F_{x}=-kv^{2}\cos \Psi =m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}

( 1 )

Там , где, , и являются горизонтальные и вертикальные составляющие скорости соответственно. $v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$ $v_{x}$ $v_{y}$ $v$

Пусть , и . Уравнение ( 1 ) теперь принимает вид; $\mu ={\frac {k}{m}}$ ${\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}$ $\cos \Psi ={\frac {v_{x}}{v}}$

{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}

( А )

В направлении y;

F_{y}=-kv^{2}\sin \Psi -mg=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}

( 2 )

Пусть снова, , и . Уравнение ( 2 ) теперь; $\mu ={\frac {k}{m}}$ ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} t^{2}}}$ $\sin \Psi ={\frac {v_{y}}{v}}$

{\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}=-\mu v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}-g

( В )

Зная, что мы можем разделить уравнение ( B ) на уравнение ( A ), чтобы получить; ${\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}{{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}}$

{\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {v_{y}}{v_{x}}}+{\frac {g}{\mu v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}}

( С )

Введите такое количество , чтобы тогда; $q$ $v_{y}=qv_{x}$

{\frac {\mathrm {d} v_{y}}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} v_{x}}}(qv_{x})=q+v_{x}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} u}}

( D )

Из уравнений ( C ) и ( D ) заметьте, что; ${\frac {v_{y}}{v_{x}}}+{\frac {g}{\mu v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}}=q+v_{x}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} v_{x}}}$

Следовательно, который можно переписать как; $v_{x}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {g}{\mu v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}}}$ $v_{x}{\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} v_{x}}}={\frac {g}{\mu v_{x}^{2}{\sqrt {1+q^{2}}}}}$

Разделите переменные и интегрируйте как;

{\frac {g}{\mu }}\int v_{x}^{-3}\,\mathrm {d} v_{x}=\int {\sqrt {1+q^{2}}}\,\mathrm {d} q

( E )

Левая часть уравнения ( E ) равна $\int v_{x}^{-3}\,\mathrm {d} v_{x}=-{\frac {1}{2v_{x}^{2}}}$

Для правой части пусть , такие, что и, $q=\sinh Q$ $1+q^{2}=1+\sinh ^{2}Q=\cosh ^{2}Q$ $\mathrm {d} q=\cosh Q\,\mathrm {d} Q$

Итак . Также $\int {\sqrt {1+q^{2}}}\,\mathrm {d} q=\int \cosh ^{2}Q\,\mathrm {d} Q$ $\cosh ^{2}Q={\frac {1}{2}}(1+\cosh {2Q})$

Следовательно; $\int \cosh ^{2}Q\,\mathrm {d} Q={\frac {1}{2}}{\biggl \{}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\biggr \}}$

Уравнение ( E ) теперь; $-{\frac {g}{2\mu v_{x}^{2}}}={\frac {1}{2}}{\biggl \{}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\biggr \}}-{\tilde {B}}$

От чего;

v_{x}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}{\frac {1}{\sqrt {{\biggl \{}B-{\Bigl (}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\Bigr )}{\biggr \}}}}}

С $v_{y}=v_{x}q=v_{x}\sinh {Q}$

v_{y}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}{\frac {\sinh {Q}}{\sqrt {{\biggl \{}B-{\Bigl (}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\Bigr )}{\biggr \}}}}}

Обозначим такие, что; $\lambda =B-{\Bigl (}Q+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q}{\Bigr )}$

v_{x}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}{\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}

( F )

v_{y}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}{\frac {\sinh {Q}}{\sqrt {\lambda }}}

( G )

В начале движения и $t=0$ $v_{0}^{2}=v_{x,0}^{2}+v_{y,0}^{2}$

Следовательно; , такое, что; $\tan {\Psi _{0}}={\frac {v_{y,0}}{v_{x,0}}}=q_{0}=\sinh {Q_{0}}$ $B={\frac {g}{\mu v_{x,0}^{2}}}+{\biggl \{}Q_{0}+{\frac {1}{2}}\sinh {2Q_{0}}{\biggr \}}$

По мере движения, и , т. Е. , И $v_{x}\rightarrow 0$ $v_{y}\rightarrow (a\,negative\,constant)$ $q\rightarrow -\infty$ $Q\rightarrow -\infty$

Это означает, что и $\lambda \to +\infty$ ${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}\to 0$

Следовательно; $\lim _{Q\to -\infty }{\frac {\sinh {Q}}{\sqrt {\lambda }}}=-1$

В уравнениях ( F ) и ( G ) обратите внимание на то, что;

Как , $v_{x}\to 0$ $v_{y}\to {\sqrt {\frac {g}{\mu }}}$

Когда состояние динамического равновесия достигается при вертикальном свободном падении, противодействующие силы тяжести и сопротивления уравниваются, т. Е. $kv_{y,t}^{2}=mg$

v_{y,t}={\sqrt {\frac {g}{\mu }}}

( H )

В уравнении ( A ) замены для и из уравнений ( F ) и ( G ) дают; $v_{x}$ $v_{y}$

{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {g}{\lambda }}\cosh {Q}

Также; ${\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} Q}}={\frac {1}{2\lambda ^{3/2}}}{\sqrt {\frac {g}{\mu }}}(1+\cosh {2Q})$

Знаю это; , мы можем написать ${\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\frac {{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}{{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} v_{x}}{\mathrm {d} Q}}{\Bigr )}}}$

{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} Q}}=-{\frac {\cosh {Q}}{{\sqrt {g\mu }}{\sqrt {\lambda }}}}

t(Q)=-{\frac {1}{\sqrt {g\mu }}}\int _{Q_{0}}^{Q}{\frac {\cosh {\tilde {Q}}}{\sqrt {\lambda }}}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}

( Я )

Также; ${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} Q}}={\frac {{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}{{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}}=-{\frac {1}{\mu }}{\frac {\cosh {Q}}{\lambda }}$

x(Q)=x_{0}-{\frac {1}{\mu }}\int _{Q_{0}}^{Q}{\frac {\cosh {\tilde {Q}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}

( J )

И; ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} Q}}={\frac {{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}{{\Bigl (}{\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}{\Bigr )}}}=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\sinh {2Q}}{\lambda }}$

y(Q)=y_{0}-{\frac {1}{2\mu }}\int _{Q_{0}}^{Q}{\frac {\sinh {2{\tilde {Q}}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}

( К )

Определите время полета , установив значение в уравнении ( K ) выше. Найдите значение переменной . $T$ $y$ $0$ $Q$

y_{0}-{\frac {1}{2\mu }}\int _{Q_{0}}^{Q_{T}}{\frac {\sinh {2{\tilde {Q}}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}=0

( L )

Уравнение ( I ) с заменой на дает; $Q_{T}$ $Q$

T=-{\frac {1}{\sqrt {g\mu }}}\int _{Q_{0}}^{Q_{T}}{\frac {\cosh {\tilde {Q}}}{\sqrt {\lambda }}}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}

( М )

Уравнение ( J ) дает горизонтальный диапазон как; $R$

R=x_{0}-{\frac {1}{\mu }}\int _{Q_{0}}^{Q_{T}}{\frac {\cosh {\tilde {Q}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}

( N )

В самой высокой точке траектории снаряда и , давая максимальную высоту из уравнения ( K ) как; $\Psi =0$ $Q=0$ $H$

H=y_{0}-{\frac {1}{2\mu }}\int _{Q_{0}}^{0}{\frac {\sinh {2{\tilde {Q}}}}{\lambda }}\,\mathrm {d} {\tilde {Q}}

( O )

Численное решение [ править ]

Движение снаряда с сопротивлением может быть вычислено в общем пути численного интегрирования на обыкновенном дифференциальном уравнении , например, применяя редукцию к системе первого порядка . Решаемое уравнение:

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\v_{x}\\v_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}v_{x}\\v_{y}\\-\mu \,v_{x}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\\-g-\mu \,v_{y}{\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}\end{pmatrix}}

.

Следующая компьютерная программа в виде скрипта Python демонстрирует такое моделирование, в котором снаряд моделируется как бейсбольный мяч (параметры из ^[8] ). Скрипт использует библиотеки numpy (для массивов), scipy (для численного интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения и для поиска корня методом Ньютона ) и matplotlib (для построения графиков).

#! / USR / бен / окр python3 из  математики  импорта  * импорт  NumPy  в  нп от  scipy.integrate  импорта  odeint из  scipy.optimize  импорта  ньютон импорта  matplotlib.pyplot  как  PLTdef  projectile_motion ( g ,  mu ,  xy0 ,  vxy0 ,  tt ):  # использовать четырехмерную векторную функцию vec = [x, y, vx, vy]  def  diff ( vec ,  t ):  # производная по времени всего вектора vec  v  =  sqrt ( vec [ 2 ]  **  2  +  vec [ 3 ]  **  2 )  return  [ vec [ 2 ],  vec [ 3 ], - mu  *  v  *  vec [ 2 ],  - g  -  mu  *  v  *  vec [ 3 ]] # Решить дифференциальное уравнение численно  VEC  =  odeint ( DIF ,  [ xy0 [ 0 ],  xy0 [ 1 ],  vxy0 [ 0 ],  vxy0 [ 1 ]],  тт )  возвращение  VEC [:,  0 ],  VEC [:,  1 ] ,  vec [:,  2 ],  vec [:,  3 ]  # вернуть x, y, vx, vy# Параметры снаряда (по образцу бейсбольного мяча ) g  =  9,81  # Ускорение свободного падения (м / с ^ 2) rho_air  =  1,29  # Плотность воздуха (кг / м ^ 3) v0  =  44,7  # Начальная скорость (м / с) alpha0  =  радианы ( 75 )  # Угол пуска (град.) m  =  0,145  # Масса снаряда (кг) cD  =  0,5  # Коэффициент лобового сопротивления (сферический снаряд) r  =  0,0366  # Радиус снаряда (м) mu  =  0,5  *  cD  *  ( пи *  r  **  2 )  *  rho_air  /  м# Исходное положение и скорость запуска x0 ,  y0  =  0,0 ,  0,0 vx0 ,  vy0  =  v0  *  cos ( alpha0 ),  v0  *  sin ( alpha0 )T_peak  =  ньютон ( лямбда  t :  projectile_motion ( g ,  mu ,  ( x0 ,  y0 ),  ( vx0 ,  vy0 ),  [ 0 ,  t ]) [ 3 ] [ 1 ],  0 ) y_peak  =  projectile_motion ( g ,  mu ,  ( x0 ,  y0 ),  ( vx0 ,  vy0 ),  [ 0 , T_peak ]) [ 1 ] [ 1 ] T  =  ньютон ( лямбда  t :  projectile_motion ( g ,  mu ,  ( x0 ,  y0 ),  ( vx0 ,  vy0 ),  [ 0 ,  t ]) [ 1 ] [ 1 ],  2  *  T_peak ) t  =  np . linspace ( 0 ,  T ,  501 ) x ,  y,  vx ,  vy  =  projectile_motion ( g ,  mu ,  ( x0 ,  y0 ),  ( vx0 ,  vy0 ),  t )print ( "Время полета: {: .1f} s" . format ( T ))  # возвращает 6,6 s print ( "Horizontal range: {: .1f} m" . format ( x [ - 1 ]))  # возвращает 43,7 m print ( "Максимальная высота: {: .1f} m" . format ( y_peak ))  # возвращает 53,4 м# График траектории fig ,  ax  =  plt . subplots () топор . plot ( x ,  y ,  "r-" ,  label = "Numerical" ) ax . set_title ( r "Путь снаряда" ) ax . set_aspect ( "равно" ) топор . сетка ( b = True ) топор . легенда () топор . set_xlabel ("$ x $ (m)" ) топор . set_ylabel ( "$ y $ (m)" ) plt . savefig ( "01 Path.png" )fig ,  ax  =  plt . subplots () топор . plot ( t ,  vx ,  "b-" ,  label = "$ v_x $" ) ax . set_title ( r "Горизонтальная составляющая скорости" ) ax . сетка ( b = True ) топор . легенда () топор . set_xlabel ( "$ t $ (s)" ) топор . set_ylabel ( "$ v_x $ (м / с)") plt . savefig ( "02 Horiz vel.png" )fig ,  ax  =  plt . subplots () топор . plot ( t ,  vy ,  "b-" ,  label = "$ v_y $" ) ax . set_title ( r "Вертикальная составляющая скорости" ) ax . сетка ( b = True ) топор . легенда () топор . set_xlabel ( "$ t $ (s)" ) топор . set_ylabel ( "$ v_y $ (м / с)") plt . savefig ( "03 Vert vel.png" )

Этот подход также позволяет добавить эффекты зависящего от скорости коэффициента сопротивления, зависящей от высоты плотности воздуха и зависящего от положения гравитационного поля.

Поднятая траектория [ править ]

Траектории полета северокорейских ракет Hwasong-14 и Hwasong-15

Частным случаем баллистической траектории ракеты является поднятая траектория , траектория с апогеем, превышающим траекторию с минимальной энергией на том же расстоянии. Другими словами, ракета летит выше и при этом использует больше энергии, чтобы добраться до той же точки приземления. Это может быть сделано по разным причинам, например, для увеличения расстояния до горизонта для увеличения дальности обзора / связи или для изменения угла падения ракеты при приземлении. Лофт-траектории иногда используются как в ракетной технике, так и в космических полетах . ^[9]

Движение снаряда в планетарном масштабе [ править ]

Траектория полета снаряда вокруг планеты по сравнению с движением в однородном поле

Когда снаряд без сопротивления воздуха перемещается на расстояние, значимое по сравнению с радиусом Земли (более ≈100 км), необходимо учитывать кривизну Земли и неоднородное гравитационное поле. Это, например, случай с космическими кораблями или межконтинентальными снарядами. Затем траектория обобщается от параболы до эллипса Кеплера с одним фокусом в центре Земли. Тогда движение снаряда следует законам движения планет Кеплера .

Параметры траекторий должны быть адаптированы из значений однородного гравитационного поля, указанных выше. Радиус Земли берется в качестве R и г в качестве стандартной поверхности силы тяжести. Пусть скорость старта относительно первой космической скорости. ${\tilde {v}}:=v/{\sqrt {Rg}}$

Общий диапазон d между пуском и ударом:

d={\frac {v^{2}\sin(2\theta )}{g}}{\Big /}{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}

Максимальная дальность полета снаряда при оптимальном угле пуска ( ): $\theta ={\tfrac {1}{2}}\arccos \left({\tilde {v}}^{2}/(2-{\tilde {v}}^{2})\right)$

d_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

с , в первой космической скорости

v<{\sqrt {Rg}}

Максимальная высота снаряда над поверхностью планеты:

h={\frac {v^{2}\sin ^{2}\theta }{g}}{\Big /}\left(1-{\tilde {v}}^{2}+{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}\right)

Максимальная высота снаряда при вертикальном пуске ( ): $\theta =90^{\circ }$

h_{\mathrm {max} }={\frac {v^{2}}{2g}}{\big /}\left(1-{\tfrac {1}{2}}{\tilde {v}}^{2}\right)

с , вторая космическая скорость

v<{\sqrt {2Rg}}

Время полета:

t={\frac {2v\sin \theta }{g}}\cdot {\frac {1}{2-{\tilde {v}}^{2}}}\left(1+{\frac {1}{{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }}\arcsin {\frac {{\sqrt {2-{\tilde {v}}^{2}}}\,{\tilde {v}}\sin \theta }{\sqrt {1-\left(2-{\tilde {v}}^{2}\right){\tilde {v}}^{2}\cos ^{2}\theta }}}\right)

Заметки [ править ]

^ Г есть ускорение силы тяжести . (у поверхности Земли). $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$
^ уменьшается, когда объект движется вверх, и увеличивается, когда он движется вниз
^ $2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )$

Ссылки [ править ]

^ Галилей, два новых наук , Leiden, 1638, p.249
^ Nolte, Дэвид Д., Galileo Unbound (Oxford University Press, 2018)стр. 39-63.
^ Татум (2019). Классическая механика (PDF) . стр. гл. 7.
^ Стивен Т. Торнтон; Джерри Б. Марион (2007). Классическая динамика частиц и систем . Брукс / Коул. п. 59. ISBN 978-0-495-55610-7.
^ Атам П. Арья; Атам Паркаш Арья (сентябрь 1997 г.). Введение в классическую механику . Prentice Hall Internat. п. 227. ISBN. 978-0-13-906686-3.
^ Ржинальд Кристиан, Бернардо; Хосе Перико, Эсгерра; День Жазмина, Валлехос; Джефф Джерард, Canda (2015). «Движение снаряда под воздействием ветра». Европейский журнал физики . 36 (2). DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 36/2/025016 .
^ Уолтер Грейнер (2004). Классическая механика: точечные частицы и теория относительности . Springer Science & Business Media. п. 181. ISBN. 0-387-95586-0.
^ Гиперфизика - Трение жидкости
^ Противоракетная оборона, Глоссарий, v. 3.0 , Министерство обороны США , июнь 1997 года.

[3] Г есть ускорение силы тяжести . (у поверхности Земли). $9.81\,\mathrm {m/s^{2}}$

[4] уменьшается, когда объект движется вверх, и увеличивается, когда он движется вниз

[5] $2\cdot \sin(\alpha )\cdot \cos(\alpha )=\sin(2\alpha )$

[1] Галилей, два новых наук , Leiden, 1638, p.249

[2] Nolte, Дэвид Д., Galileo Unbound (Oxford University Press, 2018)стр. 39-63.

[6] Татум (2019). Классическая механика (PDF) . стр. гл. 7.

[ThorntonMarion2007-7] Стивен Т. Торнтон; Джерри Б. Марион (2007). Классическая динамика частиц и систем . Брукс / Коул. п. 59. ISBN 978-0-495-55610-7.

[AryaArya1997-8] Атам П. Арья; Атам Паркаш Арья (сентябрь 1997 г.). Введение в классическую механику . Prentice Hall Internat. п. 227. ISBN. 978-0-13-906686-3.

[Bernardo-9] Ржинальд Кристиан, Бернардо; Хосе Перико, Эсгерра; День Жазмина, Валлехос; Джефф Джерард, Canda (2015). «Движение снаряда под воздействием ветра». Европейский журнал физики . 36 (2). DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 36/2/025016 .

[Greiner2003-10] Уолтер Грейнер (2004). Классическая механика: точечные частицы и теория относительности . Springer Science & Business Media. п. 181. ISBN. 0-387-95586-0.

[11] Гиперфизика - Трение жидкости

[12] Противоракетная оборона, Глоссарий, v. 3.0 , Министерство обороны США , июнь 1997 года.