Транспонируемое целое число

Цифры некоторых конкретных целых чисел переставляются или сдвигаются циклически, когда они умножаются на число n . Примеры:

• 142857 × 3 = 428571 (циклический сдвиг на одну позицию влево)
• 142857 × 5 = 714285 (циклический сдвиг на одно место вправо)
• 128205 × 4 = 512820 (циклический сдвиг на одну позицию вправо)
• 076923 × 9 = 692307 (циклический сдвиг на два места влево)

Эти конкретные целые числа, известные как переносимые целые числа , могут быть, но не всегда, циклическими числами . Характеристика таких чисел может быть выполнена с использованием повторяющихся десятичных знаков (и, следовательно, соответствующих дробей) или напрямую.

Общие [ править ]

Для любого целого числа, взаимно простого с 10, его обратным значением является повторяющееся десятичное число без каких-либо неповторяющихся цифр. Например, 1 ⁄ 143 = 0. 006993 006993 006993 ...

Хотя выражение одной серии с винкулумом наверху является адекватным, цель приведенного выше выражения состоит в том, чтобы показать, что шесть циклических перестановок 006993 могут быть получены из этого повторяющегося десятичного разделителя, если мы выберем шесть последовательных цифр из повторяющегося десятичного разделителя, начиная с разных цифры.

Это показывает, что циклические перестановки каким-то образом связаны с повторяющимися десятичными знаками и соответствующими дробями.

Наибольший общий делитель (GCD) между любой циклической перестановкой в м -значных целом и 10 ^м  - 1 постоянен. Выражаясь формулой,

${\ displaystyle \ gcd \ left (N, 10 ^ {m} -1 \ right) = \ gcd \ left (N_ {c}, 10 ^ {m} -1 \ right),}$

где N - m- значное целое число; и N _с какой - либо циклической перестановкой N .

Например,

 gcd (091575, 999999) = gcd (3 2 × 5 2 × 11 × 37, 3 3 × 7 × 11 × 13 × 37) = 3663 = gcd (915750, 999999) = gcd (157509, 999999) = gcd (575091, 999999) = gcd (750915, 999999) = gcd (509157, 999999)

Если N является m- значным целым числом, число N _c , полученное путем циклического сдвига N влево, может быть получено из:

${\displaystyle N_{c}=10N-d\left(10^{m}-1\right),\,}$

где d - первая цифра N, а m - количество цифр.

Это объясняет вышеупомянутый общий gcd, и это явление верно для любой базы, если 10 заменить на b , базу.

Таким образом, циклические перестановки связаны с повторяющимися десятичными знаками, соответствующими дробями и делителями 10 ^м -1. Например, дроби, относящиеся к вышеуказанным циклическим перестановкам, таковы:

• 091575 ⁄ 999999 , 915750 ⁄ 999999 , 157509 ⁄ 999999 , 575091 ⁄ 999999 , 750915 ⁄ 999999 и 509157 ⁄ 999999 .

Уменьшенные до самых низких значений с использованием общего gcd, они:

• 25 ⁄ 273 , 250 ⁄ 273 , 43 ⁄ 273 , 157 ⁄ 273 , 205 ⁄ 273 и 139 ⁄ 273 .

То есть, эти дроби, когда они выражены наименьшим числом , имеют один и тот же знаменатель. Это верно для циклических перестановок любого целого числа.

Метод дроби [ править ]

Интегральный множитель [ править ]

Под интегральным множителем понимается, что множитель n является целым числом:

1. Целое число X циклически сдвигается вправо на k позиций при умножении на целое число n . Х затем повторяющиеся цифры 1 / F , в результате чего Р является Р ₀ = п  10 ^к - 1 ( F ₀ является взаимно просты до 10), или фактор F ₀ ; исключая любые значения F , не превышающие n .
2. Целое число X циклически сдвигается влево на k позиций при умножении на целое число n . X - это повторяющиеся цифры 1 / F , при этом F равно F ₀ = 10 ^k - n , или коэффициент F ₀ ; исключая любые значения F, которые не больше n и которые не взаимно просты с 10.

Необходимо, чтобы F было взаимно просто с 10, чтобы 1 ⁄ F было повторяющимся десятичным числом без каких-либо предшествующих неповторяющихся цифр (см. Несколько разделов Повторяющегося десятичного числа ). Если есть цифры не в точке, то соответствующего решения нет.

Для этих двух случаев числа, кратные X , т.е. ( j X ), также являются решениями при условии, что целое число i удовлетворяет условию n j ⁄ F <1. Чаще всего удобно выбрать наименьшее F, которое соответствует приведенному выше. Решения можно выразить формулой:

${\displaystyle X=j{\frac {10^{p}-1}{F}}}$

где p - длина периода 1 / F ; и F является множителем F _0, взаимно простым с 10.

Например, F ₀ = 1260 = 2 ² × 3 ² × 5 × 7. Множители, исключая 2 и 5, преобразовываются в F = 3 ² × 7 = 63. В качестве альтернативы вычеркните все конечные нули из 1260, чтобы получить 126, затем разделите это на 2 (или 5) итеративно, пока частное не перестанет делиться на 2 (или 5). Результат также F = 63.

Чтобы исключить из решений целые числа, начинающиеся с нулей, выберите такое целое число j , чтобы j ⁄ F > 1 ⁄ 10 , то есть j > F ⁄ 10 .

Когда n > F, решения нет .

Дробный множитель [ править ]

Целое число X циклически сдвигается влево на k позиций при умножении на дробную часть n / s . X - это повторяющиеся цифры s ⁄ F , при этом F равно F ₀ = s 10 ^k - n или коэффициенту F ₀ ; и F должно быть взаимно просто с 10.

Для этого третьего случая решения, кратные X , то есть ( j X ), снова являются решениями, но условие, которое должно выполняться для целого числа j, состоит в том, что n j ⁄ F <1. Снова удобно выбрать наименьшее F, которое соответствует приведенному выше.

Решения можно выразить формулой:

${\displaystyle X=js{\frac {10^{p}-1}{F}}}$

где p определяется аналогично; и F сделана взаимно простой с 10 тем же способом, что и раньше.

Чтобы исключить из решений целые числа, начинающиеся с нулей, выберите такое целое число j , чтобы j s ⁄ F > 1 ⁄ 10 , то есть j > F ⁄ 10 s .

Опять же, если j s ⁄ F > 1, решения нет.

Прямое представительство [ править ]

Подход прямой алгебры к вышеупомянутым случаям интегрального множителя приводит к следующей формуле:

1. ${\displaystyle X=D{\frac {10^{m}-1}{n10^{k}-1}},}$

   где т есть число цифр X и D , то к -значное число смещается от нижнего конца X в высоком конце п X , удовлетворяет D <10 ^K .

   Если цифры не должны иметь ведущие нули, то п  10 ^{к  - 1} ≤ D .

2. ${\displaystyle X=D{\frac {10^{m}-1}{10^{k}-n}},}$

   где т есть число цифр X и D , то к -значное число смещается от высокого конца X в нижний конец п X , удовлетворяет:

   1. ${\displaystyle D<{\frac {10^{k}}{n}}-1,}$
   2. и 10-часть (продукт из слагаемых , соответствующих простых чисел 2 и 5 факторизации ) 10 ^к  -  п делит D .

      Десятичная часть целого числа t часто сокращается.${\displaystyle \operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).}$

   Если цифры не должны иметь ведущие нули, то 10 ^{K  - 1} ≤ D .

Циклическая перестановка умножением [ править ]

Деление 1 на 7 в столбик дает:

 0,142857 ... 7) 1,000000 .7 3 28 год 2 14 6 56 4 35 год 5 49 1

На последнем шаге снова появляется 1 как остаток. Циклические остатки равны {1, 3, 2, 6, 4, 5}. Мы перепишем частные с соответствующими дивидендами / остатками над ними на всех этапах:

 Дивиденды / остаток 1 3 2 6 4 5 Коэффициенты 1 4 2 8 5 7

а также обратите внимание, что:

• 1 ⁄ 7 = 0,142857 ...
• 3 ⁄ 7 = 0,428571 ...
• 2 ⁄ 7 = 0,285714 ...
• 6 ⁄ 7 = 0,857142 ...
• 4 ⁄ 7 = 0,571428 ...
• 5 ⁄ 7 = 0,714285 ...

Таким образом, наблюдая остатки на каждом шаге, мы можем выполнить желаемую циклическую перестановку умножением. Например,

• Целое число 142857, соответствующее остатку 1, переставляется в 428571 при умножении на 3, соответствующий остаток от последнего.
• Целое число 142857, соответствующее остатку 1, переставляется в 857142 при умножении на 6, соответствующий остаток от последнего.
• Целое число 857142, соответствующее остатку 6, переставляется в 571428 при умножении на 5 ⁄ 6 ; т.е. делится на 6 и умножается на 5, получается соответствующий остаток от последнего.

Таким образом может выполняться циклический сдвиг влево или вправо на любое количество позиций.

Что менее важно, этот метод может применяться к любому целому числу для циклического сдвига вправо или влево на любое заданное количество мест по следующей причине:

• Каждую повторяющуюся десятичную дробь можно выразить рациональным числом (дробью).
• Каждое целое число, добавленное с десятичной запятой впереди и сцепленное с собой бесконечное количество раз, может быть преобразовано в дробь, например, мы можем преобразовать 123456 таким образом в 0,123456123456 ..., что, таким образом, может быть преобразовано в дробь 123456 ⁄ 999999 . Эту дробь можно еще больше упростить, но здесь этого делать не будем.
• Чтобы переставить целое число 123456 в 234561, все, что нужно сделать, это умножить 123456 на 234561 ⁄ 123456 . Это похоже на обман, но если 234561 ⁄ 123456 - целое число (в данном случае это не так), миссия завершена.

Доказательство формулы для циклической операции сдвига вправо [ править ]

Целое число X циклически сдвигается вправо на k позиций при умножении на целое число n . Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала узнайте, что X - это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби , которая всегда имеет циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное n X будут иметь следующие отношения:

1. Целое число X - это повторяющиеся цифры дроби 1 ⁄ F , скажем, d _p d _p-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ , где d _p , d _p-1 , ..., d ₃ , d ₂ и d ₁ представляет собой цифру, а p - количество цифр.
2. Кратное n X , таким образом, является повторяющимися цифрами дроби n ⁄ F , скажем, d _k d _k-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ... d _{k + 2} d _{k + 1} , представляющие результаты после правого циклического сдвига k позиций.
3. F должен быть взаимно простым с 10, чтобы, когда 1 ⁄ F выражалось в десятичном виде, не было предшествующих неповторяющихся цифр, в противном случае повторяющееся десятичное число не имело циклического поведения при умножении.
4. Если первый остаток принят равным n, то 1 будет ( k + 1) -м остатком в длинном делении для n ⁄ F, чтобы эта циклическая перестановка имела место.
5. Для того, чтобы n × 10 ^k = 1 (mod F ), тогда F должно быть либо F ₀ = ( n × 10 ^k - 1), либо множителем F ₀ ; но исключая любые значения, не превышающие n, и любое значение, имеющее нетривиальный общий множитель с 10, как было установлено выше.

Это завершает доказательство.

Доказательство формулы для циклической операции сдвига влево [ править ]

Целое число X циклически сдвигается влево на k позиций, когда оно умножается на целое число n . Докажите его формулу.

Доказательство

Сначала узнайте, что X - это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби , которая всегда имеет циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное n X будут иметь следующие отношения:

1. Целое число X - это повторяющиеся цифры дроби 1 ⁄ F , скажем, d _p d _p-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ .
2. Кратное n X , таким образом, является повторяющимися цифрами дроби n ⁄ F , скажем, d _p-k d _p-k-1 ... d ₃ d ₂ d ₁ d _p d _p-1 ... d _{p-k + 1} ,

который представляет результаты после циклического сдвига влево на k позиций.

1. F должен быть взаимно прост с 10, чтобы 1 ⁄ F не имела предшествующих неповторяющихся цифр, в противном случае повторяющееся десятичное число не имеет циклического поведения при умножении.
2. Если первый остаток принимается равным 1, то n должно быть ( k + 1) -м остатком в длинном делении для 1 / F, чтобы эта циклическая перестановка имела место.
3. Для того, чтобы 1 × 10 ^k = n (режим F ), тогда F должно быть либо F ₀ = (10 ^k - n ), либо коэффициентом F ₀ ; но исключая любое значение, не превышающее n , и любое значение, имеющее нетривиальный общий множитель с 10, как было установлено выше.

Это завершает доказательство. Доказательство для нецелого множителя, такого как n / s, может быть получено аналогичным образом и здесь не документируется.

Циклический сдвиг целого числа [ править ]

Перестановки могут быть:

• Циклическое переключение вправо на одну позицию ( паразитные числа );
• Циклическое переключение вправо на двойное положение;
• Циклическое переключение вправо на любое количество позиций;
• Циклическое переключение влево на одну позицию;
• Циклическое переключение влево на двойное положение; а также
• Циклическое переключение влево на любое количество позиций

Паразитические числа [ править ]

Когда паразитное число умножается на n, оно не только демонстрирует циклическое поведение, но и перестановка такова, что последняя цифра паразитного числа теперь становится первой цифрой кратного. Например, 102564 х 4 = 410256. Следует отметить , что это 102564 повторяющиеся цифры 4 / 39 и 410256 повторяющиеся цифры 16 / 39 .

Циклический сдвиг вправо на двойные позиции [ править ]

Целое число X циклически сдвигается вправо на двойные позиции, когда оно умножается на целое число n . X - это повторяющиеся цифры 1 / F , при этом F = n × 10 ² - 1; или его фактор; но исключая значения, для которых 1 ⁄ F имеет длину периода, делящую 2 (или, что то же самое, меньше 3); и F должно быть взаимно просто с 10.

Чаще всего удобно выбирать самую маленькую F, которая подходит к вышеперечисленным.

Сводка результатов [ править ]

Следующее умножение перемещает последние две цифры каждого исходного целого числа в первые две цифры и сдвигает все остальные цифры вправо:

Обратите внимание, что:

• 299 = 13 x 23, а период 1 ⁄ 299 точно определяется по формуле LCM (6, 22) = 66, согласно Repeating decimal # Generalization .
• 399 = 3 x 7 x 19, а период 1 ⁄ 399 точно определяется по формуле: НОК (1, 6, 18) = 18.

Есть много других возможностей.

Циклический сдвиг влево на одну позицию [ править ]

Проблема: целое число X сдвиг влево циклически одной позиции , когда она умножается на 3. Найдите X .

Решение: сначала узнайте, что X - это повторяющиеся цифры повторяющейся десятичной дроби , которая всегда проявляет интересное циклическое поведение при умножении. Тогда целое число X и его кратное будут иметь следующие отношения:

• Целое число X - это повторяющиеся цифры дроби 1 ⁄ F , скажем ab *** .
• Таким образом, кратное - это повторяющиеся цифры дроби 3 ⁄ F , скажем, b *** a .
• Для того , чтобы этой циклической перестановкой иметь место, то 3 должен быть следующий остаток в конечном делении на 1 / F . Таким образом, F будет 7, поскольку 1 × 10 ÷ 7 дает остаток 3.

Это дает следующие результаты:

X = повторяющиеся цифры 1 ⁄ 7

= 142857 и

кратное = 142857 × 3 = 428571, повторяющиеся цифры 3 ⁄ 7

Другое решение представлено как 2 ⁄ 7 x 3 = 6 ⁄ 7 :

• 285714 х 3 = 857142

Других решений нет ^[1], потому что:

• Целое число п должен быть последующим остатком в течение длительного разделения фракции 1 / F . Учитывая, что n = 10 - F и F взаимно просто с 10, чтобы 1 ⁄ F была повторяющейся десятичной дробью, тогда n должно быть меньше 10.
• Для n = 2 F должно быть 10-2 = 8. Однако 1 ⁄ 8 не генерирует повторяющуюся десятичную дробь, аналогично для n = 5.
• Для n = 7 F должно быть 10-7 = 3. Однако 7> 3 и 7 ⁄ 3 = 2,333> 1 и не соответствует цели.
• Точно так же нет решения для любого другого целого числа n меньше 10, кроме n = 3.

Однако, если множитель не ограничен целым числом (хотя и уродливым), есть много других решений из этого метода. Например, если целое число Х сдвиг вправо циклически одной позиции , когда она умножается на 3 / 2 , а затем 3 должен быть следующий остаток от 2 в течение длительного разделения фракции 2 / F . Это делает вывод , что Р = 2 х 10 - 3 = 17, что дает X в качестве повторяющихся цифр 2 / 17 , т.е. 1176470588235294, а его кратное 1764705882352941.

Ниже приведены некоторые результаты, полученные таким образом:

Циклический сдвиг влево на двойные позиции [ править ]

Целое число X циклически сдвигается влево на двойные позиции, когда оно умножается на целое число n . X - это повторяющиеся цифры 1 / F , при этом F равно R = 10 ² - n, или коэффициент R ; исключая значения F, для которых 1 / F имеет длину периода, делящую 2 (или, что то же самое, меньше 3); и F должно быть взаимно просто с 10.

Чаще всего удобно выбирать самую маленькую F, которая подходит к вышеперечисленным.

Сводка результатов [ править ]

Ниже приведены некоторые результаты, полученные таким образом, где пробелы между цифрами делят цифры на группы из 10 цифр:

Другие базы [ править ]

В двенадцатеричной системе можно использовать следующие транспонируемые целые числа: (используя перевернутые два и три для десяти и одиннадцати, соответственно)

Обратите внимание, что задача «Циклическое смещение влево на одну позицию» не имеет решения для множителя меньше 12, кроме 2 и 5, та же проблема в десятичной системе не имеет решения для множителя меньше 10, кроме 3.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• П. Ю, k-перемещаемые вправо целые числа, k-перемещаемые влево целые числа Глава 18.1, 18.2 стр. 168/360 в «Рекреационной математике», https://web.archive.org/web/20090901180500/http:/ /math.fau.edu/Yiu/RecreationalMat Mathematics2003.pdf
• CA Pickover , Чудеса чисел , глава 28, Oxford University Press UK, 2000.
• Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A092697 (для 1 <= n <= 9, a (n) = наименьшее число m такое, что произведение n * m получается просто путем сдвига крайней правой цифры m в левый конец)» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
• Гарднер, Мартин. Математический цирк: больше головоломок, игр, парадоксов и других математических развлечений от журнала Scientific American. Нью-Йорк: Математическая ассоциация Америки, 1979. С. 111–122.
• Кальман, Дэн; «Дроби с циклическими схемами цифр» The College Mathematics Journal, Vol. 27, No. 2. (март 1996 г.), стр. 109–115.
• Лесли, Джон. «Философия арифметики: демонстрация прогрессивного взгляда на теорию и практику…» , Лонгман, Херст, Рис, Орм и Браун, 1820, ISBN 1-4020-1546-1 
• Уэллс, Дэвид; " Словарь любопытных и интересных чисел Penguin " , Penguin Press. ISBN 0-14-008029-5