П - паразитарное число (в базе 10) является положительным натуральным числом , которое может быть умножено на п , перемещая крайнюю правую цифру его десятичного представления на фронт. Здесь n - однозначное положительное натуральное число. Другими словами, десятичное представление подвергается круговому сдвигу вправо на одну позицию. Например, 4 • 128205 = 512820, поэтому 128205 является 4-паразитным. Большинство авторов не допускают использования начальных нулей, и эта статья следует этому соглашению. Таким образом, даже если 4 • 025641 = 102564, число 025641 не является 4-паразитным.
Вывод
П -parasitic число может быть получено путем , начиная с цифры к (который должен быть равен п или больше) в крайнем правом (единиц) месте, и работает на одну цифру за один раз. Например, для n = 4 и k = 7
- 4 • 7 = 2 8
- 4 • 8 7 = 3 48
- 4 • 48 7 = 1 948
- 4 • 948 7 = 3 7948
- 4 • 7948 7 = 3 17948
- 4 • 17948 7 = 717948 .
Итак, 179487 - это 4-паразитное число с цифрой 7 единиц. Остальные - 179487179487, 179487179487179487 и т. Д.
Обратите внимание, что повторяющаяся десятичная дробь
Таким образом
В общем, n -паразитарное число можно найти следующим образом. Выберите однозначное целое число k такое, что k ≥ n , и возьмите период повторяющейся десятичной дроби k / (10 n −1). Это будетгде m - длина периода; т.е. мультипликативный порядок 10 по модулю (10 n - 1) .
В другом примере, если n = 2, то 10 n - 1 = 19 и повторяющаяся десятичная дробь для 1/19 равна
Так что на 2/19 вдвое больше:
Длина m этого периода равна 18, такая же, как порядок 10 по модулю 19, поэтому 2 × (10 18 - 1) / 19 = 105263157894736842.
105263157894736842 × 2 = 210526315789473684, что является результатом перемещения последней цифры 105263157894736842 на передний план.
Дополнительная информация
Алгоритм пошагового вывода, изображенный выше, является отличной базовой техникой, но он не может найти все n-паразитные числа. Он застрянет в бесконечном цикле, когда производное число будет равно источнику вывода. Пример этого происходит, когда n = 5 и k = 5. 42-значное n-паразитное число, которое необходимо получить, равно 102040816326530612244897959183673469387755. Проверьте шаги в таблице 1 ниже. Алгоритм начинает строиться справа налево, пока не достигнет шага 15, после чего возникает бесконечный цикл. Строки 16 и 17 изображены, чтобы показать, что ничего не меняется. Для этой проблемы существует исправление, и при его применении алгоритм не только найдет все n -паразитарные числа по основанию десять, он также найдет их по основанию 8 и основанию 16. Посмотрите на строку 15 в Таблице 2. Исправление, когда это условие выявлено и n -паразитарное число не найдено, просто не сдвигать произведение из умножения, а использовать его как есть и добавлять n (в данном случае 5) в конец. После 42 шагов будет найден правильный паразитный номер.
Таблица первая
1. 5 × 5 = 25 - Shift = 55 |
2. 5 × 55 = 275 - Shift = 755 |
3. 5 × 755 = 3775 - Shift = 7755 |
4. 5 × 7755 = 38775 - Shift = 87755 |
5. 5 × 87755 = 438775 - Shift = 387755 |
6. 5 × 387755 = 1938775 - Shift = 9387755 |
7. 5 × 9387755 = 46938775 - Shift = 69387755 |
8. 5 × 69387755 = 346938775 - Shift = 469387755 |
9. 5 × 469387755 = 2346938775 - Shift = 3469387755 |
10. 5 × 3469387755 = 17346938775 - Shift = 73469387755 |
11. 5 × 73469387755 = 367346938775 - Shift = 673469387755 |
12. 5 × 673469387755 = 3367346938775 - Shift = 3673469387755 |
13. 5 × 3673469387755 = 18367346938775 - Shift = 83673469387755 |
14. 5 × 83673469387755 = 418367346938775 - Shift = 183673469387755 |
15. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - Shift = 183673469387755 |
16. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - Shift = 183673469387755 |
17. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - Shift = 183673469387755 |
Таблица 2
1. 5 × 5 = 25 - Shift = 55 |
2. 5 × 55 = 275 - Shift = 755 |
3. 5 × 755 = 3775 - Shift = 7755 |
4. 5 × 7755 = 38775 - Shift = 87755 |
5. 5 × 87755 = 438775 - Shift = 387755 |
6. 5 × 387755 = 1938775 - Shift = 9387755 |
7. 5 × 9387755 = 46938775 - Shift = 69387755 |
8. 5 × 69387755 = 346938775 - Shift = 469387755 |
9. 5 × 469387755 = 2346938775 - Shift = 3469387755 |
10. 5 × 3469387755 = 17346938775 - Shift = 73469387755 |
11. 5 × 73469387755 = 367346938775 - Shift = 673469387755 |
12. 5 × 673469387755 = 3367346938775 - Shift = 3673469387755 |
13. 5 × 3673469387755 = 18367346938775 - Shift = 83673469387755 |
14. 5 × 83673469387755 = 418367346938775 - Shift = 183673469387755 |
15. 5 × 183673469387755 = 918367346938775 - Shift = 9183673469387755 |
16. 5 × 9183673469387755 = 45918367346938775 - Shift = 59183673469387755 |
17. 5 × 59183673469387755 = 295918367346938775 - Shift = 959183673469387755 |
Есть еще одно условие, о котором следует помнить при работе с этим алгоритмом: ведущие нули не должны быть потеряны. Когда номер смены создается, он может содержать начальный ноль, который имеет позиционную важность и должен быть перенесен на следующий шаг и через него. Калькуляторы и методы компьютерной математики удаляют ведущие нули. Посмотрите на Таблицу 3 ниже, в которой показаны шаги деривации для n = 4 и k = 4. Номер сдвига, созданный на шаге 4, 02564, имеет начальный ноль, который вводится на шаг 5, создавая начальный нулевой продукт. Результирующий сдвиг подается на шаг 6, на котором отображается произведение, доказывающее, что 4-паразитное число, заканчивающееся на 4, равно 102564.
Таблица 3
1. 4 × 4 = 16 - Shift = 64 |
2. 4 × 64 = 256 - Shift = 564 |
3. 4 × 564 = 2256 - Shift = 2564 |
4. 4 × 2564 = 10256 - Shift = 02564 |
5. 4 × 02564 = 010256 - Shift = 102564 |
6. 4 × 102564 = 410256 - Shift = 102564 |
Наименьшие n -паразитарные числа
Наименьшие n -паразитарные числа также известны как числа Дайсона после загадки относительно этих чисел, поставленной Фрименом Дайсоном . [1] [2] [3] Это: (ведущие нули не допускаются) (последовательность A092697 в OEIS )
п | Наименьшее n -паразитарное число | Цифры | Время |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1/9 |
2 | 105263157894736842 | 18 | 2/19 |
3 | 1034482758620689655172413793 | 28 год | 3/29 |
4 | 102564 | 6 | 4/39 |
5 | 142857 | 6 | 7 /49 = 1/7 |
6 | 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966 | 58 | 6/59 |
7 | 1014492753623188405797 | 22 | 7/69 |
8 | 1012658227848 | 13 | 8/79 |
9 | 10112359550561797752808988764044943820224719 | 44 год | 9/89 |
Общее примечание
В общем, если мы ослабим правила, чтобы разрешить начальный ноль, то для каждого n будет 9 n -паразитарных чисел . В противном случае, только если k ≥ n, числа не начинаются с нуля и, следовательно, соответствуют действительному определению.
Другие n -паразитарные целые числа могут быть построены конкатенацией. Например, поскольку 179487 - 4-паразитное число, то 179487179487, 179487179487179487 и т. Д.
Другие базы
В двенадцатеричной системе наименьшие n -паразитарные числа: (используются перевернутые два и три для десяти и одиннадцати, соответственно) (ведущие нули не допускаются)
п | Наименьшее n -паразитарное число | Цифры | Время |
---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 / Ɛ |
2 | 10631694842 | Ɛ | 2 / 1Ɛ |
3 | 2497 | 4 | 7 / 2Ɛ = 1/5 |
4 | 10309236 ᘔ 88206164719544 | 1Ɛ | 4 / 3Ɛ |
5 | 1025355 ᘔ 9433073 ᘔ458409919Ɛ715 | 25 | 5 / 4Ɛ |
6 | 1020408142854 997732650 ᘔ 18346916306 | 2Ɛ | 6 / 5Ɛ |
7 | 101899,864406,33,15423913745949305255,17 | 35 год | 7 / 6Ɛ |
8 | 131 ᘔ 8 ᘔ | 6 | ᘔ / 7Ɛ = 2/17 |
9 | 101419648634459Ɛ9384Ɛ26Ɛ533040547216ᘔ1155Ɛ3Ɛ12978ᘔ 399 | 45 | 9 / 8Ɛ |
ᘔ | 14Ɛ36429ᘔ 7085792 | 14 | 12 / 9Ɛ = 2/15 |
Ɛ | 1011235930336 ᘔ 53909 ᘔ873Ɛ325819Ɛ9975055Ɛ54ᘔ 3145 ᘔ42694157078404491Ɛ | 55 | Ɛ / ᘔƐ |
Строгое определение
В строгом определении наименьшее число m, начинающееся с 1, такое, что частное m / n получается простым сдвигом крайней левой цифры 1 числа m на правый конец, равно
- 1, 105263157894736842, 1034482758620689655172413793, 102564, 102040816326530612244897959183673469387755, 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, 1014492753623188405797, 1012658227848, 10112359550561797752808988764044943820224719, 10, 100917431192660550458715596330275229357798165137614678899082568807339449541284403669724770642201834862385321, 100840336134453781512605042016806722689075630252, ... (последовательность A128857 в OEIS )
Это период n / (10 n - 1), а также период десятичного целого числа - n / (10 n - 1).
Количество цифр в них
Смотрите также
Заметки
- ^ Dawidoff Николай (25 марта 2009), "Гражданский Еретик" , New York Times Magazine.
- ^ Тирни, Джон (6 апреля 2009 г.), «Математическая головоломка Фримена Дайсона для 4-го класса» , New York Times.
- ^ Тирни, Джон (13 апреля 2009 г.), «Приз за головоломку Дайсона» , New York Times.
Рекомендации
- CA Pickover , Чудеса чисел , глава 28, Oxford University Press UK, 2000.
- Последовательность OEIS : A092697 в Он-лайн энциклопедии целочисленных последовательностей .
- Бернштейн, Леон (1968), "Мультипликативные близнецы и примитивные корни", Mathematische Zeitschrift , 105 : 49-58, DOI : 10.1007 / BF01135448 , МР 0225709