В математике , что числа Фибоначчи образуют последовательность , определенную рекурсивно по:
То есть после двух начальных значений каждое число является суммой двух предыдущих чисел.
Последовательность Фибоначчи широко изучалась и обобщалась многими способами, например, начиная с чисел, отличных от 0 и 1, путем добавления более двух чисел для генерации следующего числа или путем добавления объектов, отличных от чисел.
Расширение до отрицательных целых чисел [ править ]
Используя , можно расширить числа Фибоначчи до отрицательных целых чисел. Получаем:
- ... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
и . [1]
См. Также Негафибоначчи .
Расширение на все действительные или комплексные числа [ править ]
Существует ряд возможных обобщений чисел Фибоначчи, которые включают действительные числа (а иногда и комплексные числа ) в свой домен. Каждый из них включает золотое сечение φ и основан на формуле Бине
Аналитическая функция
имеет свойство, что для четных чисел . [2] Аналогично аналитическая функция:
удовлетворяет для нечетных целых чисел .
Наконец, сложив их вместе, аналитическая функция
удовлетворяет для всех целых чисел . [3]
Поскольку для всех комплексных чисел эта функция также обеспечивает расширение последовательности Фибоначчи на всю комплексную плоскость. Следовательно, мы можем вычислить обобщенную функцию Фибоначчи комплексной переменной, например,
Векторное пространство [ править ]
Термин последовательность Фибоначчи также применяется в более общем смысле к любой функции от целых чисел до поля, для которого . Эти функции в точности имеют форму , поэтому последовательности Фибоначчи образуют векторное пространство с функциями и в качестве основы.
В более общем смысле, в качестве диапазона можно взять любую абелеву группу (рассматриваемую как Z -модуль ). Тогда таким же образом последовательности Фибоначчи образуют двумерный -модуль.
Подобные целочисленные последовательности [ править ]
Целочисленные последовательности Фибоначчи [ править ]
Двумерный -модуль целочисленных последовательностей Фибоначчи состоит из всех целочисленных последовательностей, удовлетворяющих . Выражаясь двумя исходными значениями, мы имеем:
где золотое сечение.
Отношение между двумя последовательными элементами сходится к золотому сечению, за исключением случая последовательности, которая постоянно равна нулю, и последовательностей, где соотношение двух первых членов равно .
Последовательность можно записать в виде
в котором тогда и только тогда . В такой форме имеет простейший нетривиальный пример , который представляет собой последовательность чисел Люка :
У нас есть и . Свойства включают:
Каждая нетривиальная последовательность целых чисел Фибоначчи появляется (возможно, после сдвига на конечное число позиций) как одна из строк массива Wythoff . Сама последовательность Фибоначчи является первой строкой, а смещение последовательности Люка - второй строкой. [4]
См. Также целочисленные последовательности Фибоначчи по модулю n .
Последовательности Лукаса [ править ]
Другое обобщение последовательности Фибоначчи - это последовательности Люка, которые определяются следующим образом:
- ,
где нормальная последовательность Фибоначчи является частным случаем и . Другой вид последовательности Лукаса начинается с , . Такие последовательности имеют приложения в теории чисел и доказательстве простоты .
Когда эта последовательность называется последовательностью P- Фибоначчи , например, последовательность Пелла также называется последовательностью 2-Фибоначчи .
Последовательность 3-Фибоначчи является
- 0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835050, 55602393, 183642229, 606529080, ... (последовательность A006190 в OEIS )
Последовательность 4-Фибоначчи является
- 0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176, 31622993, 133957148, 567451585, 2403763488, ... (последовательность A001076 в OEIS )
Последовательность 5-Фибоначчи является
- 0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001, 71351280, 370497401, 1923838285, 9989688826, ... (последовательность A052918 в OEIS )
Последовательность 6-Фибоначчи :
- 0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989, 474094764, 2921503573, 18003116202, ... (последовательность A005668 в OEIS )
Константа n- Фибоначчи - это отношение, к которому стремятся соседние числа -Фибоначчи; его также называют n- м металлическим средним , и это единственный положительный корень от . Например, это или золотое сечение , и случай есть , или серебряное сечение . Как правило, дело обстоит именно так . [ необходима цитата ]
Как правило, это можно назвать ( P , -Q ) -последовательностью Фибоначчи , а V ( n ) можно назвать ( P , -Q ) -последовательностью Лукаса .
Последовательность (1,2) -Fibonacci является
- 0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, 699051, 1398101, 2796203, 5592405, 11184811, 22369621, 44739243, 89478485, ... (последовательность A001045 в OEIS )
Последовательность (1,3) -Фибоначчи есть
- 1, 1, 4, 7, 19, 40, 97, 217, 508, 1159, 2683, 6160, 14209, 32689, 75316, 173383, 399331, 919480, 2117473, 4875913, 11228332, 25856071, 59541067, ... ( последовательность A006130 в OEIS )
Последовательность (2,2) -Fibonacci является
- 0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 2781184, 7598336, 20759040, 56714752, ... (последовательность A002605 в OEIS )
Последовательность (3,3) -Fibonacci является
- 0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 27663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... (последовательность A030195 в OEIS )
Числа Фибоначчи высшего порядка [ править ]
Последовательность Фибоначчи порядка n - это целочисленная последовательность, в которой каждый элемент последовательности является суммой предыдущих элементов (за исключением первых элементов в последовательности). Обычные числа Фибоначчи представляют собой последовательность Фибоначчи порядка 2. Случаи и были тщательно исследованы. Количество композиций неотрицательных целых чисел на части, которые не больше, является последовательностью порядка Фибоначчи . Последовательность из числа строк длины нулей и единиц , содержащих не более последовательных нулей, также является последовательностью порядка Фибоначчи .
Эти последовательности, их предельные отношения и предел этих предельных соотношений были исследованы Марком Барром в 1913 г. [5]
Числа Трибоначчи [ править ]
Эти номера tribonacci похожи числами Фибоначчей, но вместо того , начиная с двумя заранее определенными терминами, последовательность начинается с тремя заранее определенными условиями , и каждый термином впоследствии является суммой предыдущих три слагаемых. Первые несколько чисел трибоначчи:
- 0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012,… (последовательность A000073 в OEIS )
Впервые эта серия была официально описана Агрономофом в 1914 г. [6], но ее первое непреднамеренное использование - в « Происхождении видов » Чарльза Р. Дарвина . В примере, иллюстрирующем рост популяции слонов, он опирался на расчеты, сделанные его сыном Джорджем Х. Дарвином . [7] Термин трибоначчи был предложен Файнбергом в 1963 году. [8]
Константа трибоначчи
- (последовательность A058265 в OEIS )
- отношение, к которому стремятся соседние числа трибоначчи. Это корень многочлена , который также удовлетворяет уравнению . Это важно при изучении курносого куба .
Обратная константа tribonacci , выражается соотношением , можно записать в виде:
- (последовательность A192918 в OEIS )
Числа трибоначчи также даются [9]
где обозначает ближайшую целочисленную функцию, а
Числа Тетраначчи [ править ]
Эти цифры tetranacci начать с четырьмя заранее определенными условиями, каждый член впоследствии является суммой предыдущих четырех слагаемых. Первые несколько чисел тетраначчи:
- 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 15 , 29 , 56 , 108 , 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569, 39648, 76424, 147312, 283953, 547337, … (Последовательность A000078 в OEIS )
Константа тетраначчи - это отношение, к которому стремятся соседние числа тетраначчи. Это корень полинома , приблизительно 1,927561975482925 OEIS : A086088 , и он также удовлетворяет уравнению .
Константа тетраначчи выражается в радикалах по формуле [10]
куда
Высшие порядки [ править ]
Были вычислены числа пентаначчи, гексаначчи и гептаначчи. Числа пентаначчи:
- 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624,… (последовательность A001591 в OEIS )
Числа Гексаначчи:
- 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109,… (последовательность A001592 в OEIS )
Числа Гептаначчи:
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808,… (последовательность A122189 в OEIS )
Числа Октаначчи:
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... ( последовательность A079262 в OEIS )
Числа Эннеаначчи:
- 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272, .. . (последовательность A104144 в OEIS )
Предел отношения последовательных членов ряда anacci стремится к корню уравнения ( OEIS : A103814 , OEIS : A118427 , OEIS : A118428 ).
Альтернативная рекурсивная формула для предела отношения двух последовательных чисел -наччи может быть выражена как
- .
Особый случай - это традиционный ряд Фибоначчи, дающий золотое сечение .
Приведенные выше формулы для отношения справедливы даже для рядов -наччи, созданных из произвольных чисел. Предел этого отношения равен 2 при увеличении. Последовательность "бесконечностей", если бы ее можно было описать, после бесконечного числа нулей дала бы последовательность
- [..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32,…
которые являются просто степенью двойки .
Предел отношения для любого - положительный корень характеристического уравнения [10]
Корень находится в интервале . Отрицательный корень характеристического уравнения находится в интервале (−1, 0), когда является четным. Этот корень и каждый комплексный корень характеристического уравнения имеет модуль . [10]
Ряд положительного корня для любого равен [10]
При 5 ≤ n ≤ 11 решение характеристического уравнения в радикалах отсутствует . [10]
К й элемент п -nacci последовательности задается
где обозначает ближайшую целую функцию, а - константа -nacci, которая является корнем из ближайшего к 2 [11]
Проблема монета бросание связана с -nacci последовательности. Вероятность того, что при подбрасывании идеализированной монеты не будет ни одной решки подряд, равна . [12]
Слово Фибоначчи [ править ]
По аналогии со своим числовым эквивалентом, слово Фибоначчи определяется следующим образом:
где обозначает объединение двух строк. Последовательность строк Фибоначчи начинается:
- b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab,… (последовательность A106750 в OEIS )
Длина каждой строки Фибоначчи является числом Фибоначчи, и аналогично существует соответствующая строка Фибоначчи для каждого числа Фибоначчи.
Строки Фибоначчи появляются как входные данные для худшего случая в некоторых компьютерных алгоритмах .
Если «a» и «b» представляют два разных материала или длины атомных связей, структура, соответствующая струне Фибоначчи , является квазикристаллом Фибоначчи , апериодической квазикристаллической структурой с необычными спектральными свойствами.
Свернутые последовательности Фибоначчи [ править ]
Свертке последовательность Фибоначчи получается применением свертки операцию в последовательности Фибоначчи один или более раз. В частности, определите [13]
и
Первые несколько последовательностей
- : 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71,… (последовательность A001629 в OEIS ).
- : 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111,… (последовательность A001628 в OEIS ).
- : 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105,… (последовательность A001872 в OEIS ).
Последовательности могут быть рассчитаны с использованием повторения
Производящая функция от й свертки
Последовательности связаны с последовательностью полиномов Фибоначчи соотношением
где - th производная от . Эквивалентно коэффициент при разложении по степеням .
Первая свертка может быть записана в терминах чисел Фибоначчи и Люка как
и следует за повторением
Подобные выражения можно найти для все большей сложности по мере увеличения. Числа представляют собой суммы строк треугольника Хосои .
Как и в случае с числами Фибоначчи, существует несколько комбинаторных интерпретаций этих последовательностей. Например, количество способов можно записать как упорядоченную сумму, включающую только 0, 1 и 2, причем 0 используется ровно один раз. В частности и 2 можно записать 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . [14]
Другие обобщения [ править ]
Эти многочлены Фибоначчи являются еще одним обобщением чисел Фибоначчи.
Последовательность Падована порождается повторением .
Последовательность коров Нараяны порождается повторением .
Случайная последовательность Фибоначчи может быть определена с помощью бросание монеты для каждой позиции последовательности и принимать , если он приземляется головы и если он приземляется хвосты. Работа Фюрстенберга и Кестена гарантирует, что эта последовательность почти наверняка растет экспоненциально с постоянной скоростью: константа не зависит от подбрасывания монеты и была вычислена в 1999 году Дивакаром Вишванатом . Теперь она известна как постоянная Вишваната .
Repfigit или номер Кит , представляет собой целое число такое , что, когда его цифры начать последовательность Фибоначчи с таким количеством цифр, исходное число, в конце концов достигнута. Пример - 47, потому что последовательность Фибоначчи, начинающаяся с 4 и 7 (4, 7, 11, 18, 29, 47), достигает 47. Повторная цифра может быть последовательностью трибоначчи, если в числе 3 цифры, числом тетраначчи, если номер состоит из четырех цифр и т. д. Первые несколько изменений:
- 14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909,… (последовательность A007629 в OEIS )
Поскольку множество последовательностей, удовлетворяющих этому соотношению , замкнуто при почленном сложении и при почленном умножении на константу, его можно рассматривать как векторное пространство . Любая такая последовательность однозначно определяется выбором двух элементов, поэтому векторное пространство является двумерным. Если мы сокращаем такую последовательность как , последовательность Фибоначчи и смещенная последовательность Фибоначчи, как видно, образуют каноническую основу для этого пространства, что дает тождество:
для всех таких последовательностей S . Например, если S - последовательность Люка 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , то мы получаем
- .
N -генерированная последовательность Фибоначчи [ править ]
Мы можем определить N- порожденную последовательность Фибоначчи (где N - положительное рациональное число): если
где p r - r- е простое число, то определим
Если , то , а если , то . [ необходима цитата ]
Последовательность N Последовательность OEIS Последовательность Фибоначчи 6 A000045 Последовательность Пелля 12 A000129 Последовательность Якобсталя 18 A001045 Последовательность трибоначчи 30 A000073 Последовательность тетраначчи 210 A000288 Падованская последовательность 15 A000931 Последовательность коров Нараяны 10 A000930
Последовательность полу-Фибоначчи [ править ]
Последовательность пола-Фибоначчи (последовательность A030067 в OEIS ) определяется с помощью одной и той же рекурсии для нечетных индексированных терминов и , но для четных индексов , . Следовательно, бисекция A030068 нечетно проиндексированных терминов проверяется и строго увеличивается. Он дает набор полу-чисел Фибоначчи.
- 1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... ( последовательность A030068 в OEIS )
которые встречаются как .
Ссылки [ править ]
- ^ Триана, Хуан. Числа Негафибоначчи через матрицы. Бюллетень TICMI , 2019, стр. 19-24.
- ^ Что такое число Фибоначчи?
- ^ Правин Чандра и Эрик В. Вайстейн . «Число Фибоначчи» . MathWorld .
- ^ Моррисон, Д. Р. (1980), «Массив Столярски пар Уайтхофф», Сборник рукописей, относящихся к последовательности Фибоначчи (PDF) , Санта-Клара, Калифорния: Ассоциация Фибоначчи, стр. 134–136, заархивировано с оригинала ( PDF) на 2016-03-04 , извлекаться 2012-07-15 .
- ^ Гарднер, Мартин (1961). Книга "Математические головоломки и решения" Scientific American, Vol. II . Саймон и Шустер. п. 101.
- ^ Agronomof, М. (1914). "Sur une suite re´currente". Матезис . 4 : 125–126.
- ^ Подани, Янош; Кун, Адам; Szilágyi, András (2018). "Как быстро растет популяция дарвиновских слонов?" (PDF) . Журнал истории биологии . 51 (2): 259–281. DOI : 10.1007 / s10739-017-9488-5 .
- Перейти ↑ Feinberg, M. (1963). «Фибоначчи-Трибоначчи». Ежеквартальный отчет Фибоначчи . 1 : 71–74.
- ^ Simon Plouffe, 1993
- ^ а б в г д Вольфрам, DA (1998). «Решение обобщенных повторений Фибоначчи» (PDF) . Фиб. Кварта .
- ^ Ду, Чжао Хуэй, 2008
- ^ Эрик В. Вайсштейн . «Подбрасывание монет» . MathWorld .
- ^ В. Hoggatt, младший и М. Bicknell-Джонсон, "Фибоначчи" свертки последовательности , Fib. Кварта. , 15 (1977), стр. 117-122.
- ^ Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A001629» . Он -лайн энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
Внешние ссылки [ править ]
- «Число Трибоначчи» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]