Тропическая геометрия
В математике тропическая геометрия — это изучение многочленов и их геометрических свойств , когда сложение заменяется минимизацией, а умножение заменяется обычным сложением:
Так, например, классический многочлен станет . Такие полиномы и их решения имеют важные приложения в задачах оптимизации, например, задача оптимизации времени отправления сети поездов.
Тропическая геометрия — вариант алгебраической геометрии , в котором полиномиальные графы напоминают кусочно-линейные сетки, а числа принадлежат тропическому полукольцу , а не полю. Поскольку классическая и тропическая геометрия тесно связаны между собой, результаты и методы могут быть преобразованы между ними. Алгебраические многообразия можно сопоставить с тропическим аналогом, и, поскольку этот процесс по-прежнему сохраняет некоторую геометрическую информацию об исходном многообразии, его можно использовать для доказательства и обобщения классических результатов алгебраической геометрии, таких как теорема Брилла – Нётер , с помощью инструментов тропической геометрии. [1]
Основные идеи тропического анализа были разработаны независимо друг от друга с использованием одних и тех же обозначений математиками, работающими в различных областях. [2] Центральные идеи тропической геометрии проявлялись в различных формах в ряде более ранних работ. Например, Виктор Павлович Маслов представил тропический вариант процесса интеграции. Он также заметил, что преобразование Лежандра и решения уравнения Гамильтона – Якоби являются линейными операциями в тропическом смысле. [3] Однако только с конца 1990-х годов были предприняты усилия по консолидации основных определений теории. Это было мотивировано его применением к перечислительной алгебраической геометрии с идеями изМаксима Концевича [4] и работы Григория Михалкина [5] и др.
Прилагательное тропический было придумано французскими математиками в честь бразильского ученого-компьютерщика венгерского происхождения Имре Симона , писавшего на поле. Жан-Эрик Пин приписывает чеканку Доминику Перрену [6] , тогда как сам Саймон приписывает это слово Кристиану Шоффруту. [7]
Тропическая геометрия основана на тропическом полукольце . Это определяется двумя способами, в зависимости от максимального или минимального соглашения.
