Усеченная модель нормального препятствия

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Февраль 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В эконометрике модель усеченных нормальных препятствий является вариантом модели Тобита и впервые была предложена Крэггом в 1971 г. ^[1]

В стандартной модели Tobit, представленной как , где Эта конструкция модели неявно накладывает два предположения первого порядка: ^[2] ${\ Displaystyle у = (х \ бета + и) 1 [х \ бета + и> 0]}$ ${\ Displaystyle и | х \ сим N (0, \ sigma ^ {2})}$

Поскольку: и , частичное влияние на вероятность и условное ожидание: имеет тот же знак: ^[3] ${\ displaystyle \ partial P [y> 0] / \ partial x_ {j} = \ varphi (x \ beta / \ sigma) \ beta _ {j} / \ sigma}$ $\partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{j}=\beta _{j}\{1-\theta (x\beta /\sigma \}$ $x_{j}$ $P[y>0]$ $\operatorname {E} [y\mid x,y>0]$
Относительные эффекты и на и идентичны, то есть: $x_{h}$ $x_{j}$ $P[y>0]$ $\operatorname {E} [y\mid x,y>0]$

{\frac {\partial P[y>0]/\partial x_{h}}{\partial P[y>0]/\partial x_{j}}}={\frac {\partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{h}}{\partial \operatorname {E} [y\mid x,y>0]/\partial x_{j}}}={\frac {\beta _{h}}{\beta _{j}}}|

Однако эти два неявных предположения слишком сильны и несовместимы со многими контекстами в экономике . Например, когда нам нужно решить, инвестировать ли и построить завод, стоимость строительства может иметь большее влияние, чем цена продукта ; но после того, как мы уже построили завод, цена продукта определенно больше влияет на выручку . Следовательно, неявное предположение (2) не соответствует этому контексту. ^[4] Суть этой проблемы заключается в том, что стандартный Tobit неявно моделирует очень сильную связь между решением об участии или решением о сумме (величина, когда $(y=0$ $y>0)$ $y$ $y>0$ ). Если модель углового решения представлена в общем виде:, где - решение об участии, а - решение о количестве, стандартная модель Tobit предполагает: $y=s\centerdot w,$ $s$ $w$

s=1[x\beta +u>0];

w=x\beta +u.

Чтобы сделать модель совместимой с большим количеством контекстов, естественным улучшением является предположение:

s=1[x\gamma +u>0],{\text{ where }}u\sim N(0,1);

$w=x\beta +e,$ где член ошибки ( ) распределен как усеченное нормальное распределение с плотностью как $e$ $\varphi (\cdot )/\Phi \left({\frac {x\beta }{\sigma }}\right)/\sigma ;$

$s$ и независимы при условии . $w$ $x$

Это называется усеченной моделью нормальных препятствий, предложенная Крэггом (1971). ^[1] Добавив еще один параметр и отделив решение о сумме от решения об участии, модель может соответствовать большему количеству контекстов. В соответствии с этой установкой модели, то плотность в данности можно записать в виде: $y$ $x$

f(y\mid x)=[1-\Phi (\chi \gamma )]^{1}[_{y-0}]\cdot \left[{\frac {\Phi \ (\chi \gamma )}{\Phi (\chi \beta /\sigma )}}\left.\varphi \left({\frac {y-\chi \beta }{\sigma }}\right)\right/\sigma \right]^{1}[_{^{y}>0}]

Из этого плотностного представления очевидно, что оно вырождается в стандартную модель Тобита, когда это также показывает, что усеченная модель нормальных препятствий является более общей, чем стандартная модель Тобита. $\gamma =\beta /\sigma .$

Модель усеченных нормальных препятствий обычно оценивается с помощью MLE. Функцию логарифма правдоподобия можно записать как:

{\begin{aligned}\ell (\beta ,\gamma ,\sigma )={}&\sum _{i=1}^{N}1[y_{i}=0]\log[1-\Phi (x_{i}\gamma )]+1[y_{i}>0]\log[\Phi (x_{i}\gamma )]\\[5pt]&{}+1[y_{i}>0]\left[-\log \left[\Phi \left({\frac {x_{i}\beta }{\sigma }}\right)\right]+\log \left(\varphi \left({\frac {y_{i}-x_{i}\beta }{\sigma }}\right)\right)-\log(\sigma )\right]\end{aligned}}

На основе функции логарифма правдоподобия может быть оценена пробит-модель и может быть оценена усеченная модель нормальной регрессии. ^[5] На основе оценок можно сделать соответствующие оценки для среднего частичного эффекта. $\gamma$ $(\beta ,\sigma )$

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b Крэгг, Джон Г. (сентябрь 1971 г.). «Некоторые статистические модели для ограниченных зависимых переменных применительно к спросу на товары длительного пользования». Econometrica . 39 (5): 829–844. DOI : 10.2307 / 1909582 . JSTOR 1909582 .
^ Вулдридж, Дж. (2002): Эконометрический анализ поперечных сечений и панельных данных, MIT Press, Cambridge, Mass, pp 690.
^ Здесь обозначения соответствуют Вулдриджу (2002). Функция,гдеможет быть доказано, что она находится между 0 и 1. $\theta (x)=\lambda '$ $\lambda (x)=\varphi (\chi )/\Phi (\chi ),$
^ Для получения дополнительных примеров применения модели углового решения см .: Daniel J. Phaneuf, (1999): «Двойной подход к моделированию угловых решений в рекреационном спросе», Журнал экономики и управления окружающей средой, том 37, выпуск 1, стр. 85 -105, ISSN 0095-0696.
^ Вулдридж, Дж. (2002): Эконометрический анализ поперечных сечений и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс, стр 692-694.

[Cragg1971-1] Крэгг, Джон Г. (сентябрь 1971 г.). «Некоторые статистические модели для ограниченных зависимых переменных применительно к спросу на товары длительного пользования». Econometrica . 39 (5): 829–844. DOI : 10.2307 / 1909582 . JSTOR 1909582 .

[2] Вулдридж, Дж. (2002): Эконометрический анализ поперечных сечений и панельных данных, MIT Press, Cambridge, Mass, pp 690.

[3] Здесь обозначения соответствуют Вулдриджу (2002). Функция,гдеможет быть доказано, что она находится между 0 и 1. $\theta (x)=\lambda '$ $\lambda (x)=\varphi (\chi )/\Phi (\chi ),$

[4] Для получения дополнительных примеров применения модели углового решения см .: Daniel J. Phaneuf, (1999): «Двойной подход к моделированию угловых решений в рекреационном спросе», Журнал экономики и управления окружающей средой, том 37, выпуск 1, стр. 85 -105, ISSN 0095-0696.

[5] Вулдридж, Дж. (2002): Эконометрический анализ поперечных сечений и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс, стр 692-694.

[1]