Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В физике энтропия Тсаллиса является обобщением стандартной энтропии Больцмана – Гиббса .

Обзор [ править ]

Понятие было введено в 1988 году Константино Тсоллис [1] в качестве основы для обобщения стандартных статистической механики и идентичен по форме Havrda-Charvát структурной альфа-энтропии , [2] введена в 1967 году в рамках теории информации . В научной литературе обсуждается физическая значимость энтропии Цаллиса. [3] [4] [5] Однако, начиная с 2000 года, был идентифицирован все более широкий спектр природных, искусственных и социальных сложных систем, которые подтверждают прогнозы и последствия, полученные из этой неаддитивной энтропии, такие как неэкстенсивные статистические механика, [6] которое обобщает теорию Больцмана – Гиббса.

Среди различных экспериментальных проверок и приложений, доступных в настоящее время в литературе, следует особо упомянуть следующие:

  1. Распределение, характеризующее движение холодных атомов в диссипативных оптических решетках, предсказанное в 2003 г. [7] и наблюдаемое в 2006 г. [8]
  2. Колебания магнитного поля в солнечном ветре позволили вычислить q-триплет (или триплет Цаллиса). [9]
  3. Распределение скоростей в ведомой диссипативной пылевой плазме. [10]
  4. Расслабление спинного стекла . [11]
  5. Захваченный ион, взаимодействующий с классическим буферным газом . [12]
  6. Эксперименты по столкновению высоких энергий на LHC / CERN (детекторы CMS, ATLAS и ALICE) [13] [14] и RHIC / Brookhaven (детекторы STAR и PHENIX). [15]

Среди различных доступных теоретических результатов, которые разъясняют физические условия, при которых применяется энтропия Цаллиса и связанная с ней статистика, можно выбрать следующие:

  1. Аномальная диффузия . [16] [17]
  2. Теорема единственности . [18]
  3. Чувствительность к начальным условиям и производство энтропии на грани хаоса. [19] [20]
  4. Множества вероятностей, которые делают неаддитивную энтропию Тсаллиса обширной в термодинамическом смысле. [21]
  5. Сильно квантово-запутанные системы и термодинамика. [22]
  6. Термостатика сверхзатухающего движения взаимодействующих частиц. [23] [24]
  7. Нелинейные обобщения уравнений Шредингера, Клейна – Гордона и Дирака . [25]
  8. Расчет энтропии черной дыры. [26]

Для получения дополнительных сведений библиография доступна на http://tsallis.cat.cbpf.br/biblio.htm.

Учитывая дискретный набор вероятностей с условием и любое действительное число, энтропия Тсаллиса определяется как

где - действительный параметр, иногда называемый энтропийным индексом . В пределе as восстанавливается обычная энтропия Больцмана – Гиббса, а именно

Для непрерывных распределений вероятностей определим энтропию как

где - функция плотности вероятности .

Энтропия Цаллиса использовалась вместе с Принципом максимальной энтропии для получения распределения Цаллиса .

Различные отношения [ править ]

Дискретная энтропия Тсаллиса удовлетворяет

где D q - q-производная по x . Это можно сравнить со стандартной формулой энтропии:

Неаддитивность [ править ]

Даны две независимые системы A и B , для которых совместная плотность вероятности удовлетворяет

энтропия Тсаллиса этой системы удовлетворяет

Из этого результата очевидно, что параметр является мерой отклонения от аддитивности. В пределе, когда q = 1,

что и ожидается от аддитивной системы. Это свойство иногда называют «псевдоаддитивностью».

Экспоненциальные семейства [ править ]

Многие распространенные распределения, такие как нормальное распределение, принадлежат к семействам статистических экспонент . Энтропию Тсаллиса для экспоненциального семейства можно записать [27] как

где F - логарифмический нормализатор, а k - член, обозначающий меру несущей. Для многомерной нормали член k равен нулю, и поэтому энтропия Тсаллиса находится в замкнутой форме.

Обобщенные энтропии [ править ]

Несколько интересных физических систем [28] подчиняются энтропийным функционалам, которые являются более общими, чем стандартная энтропия Тсаллиса. Поэтому было введено несколько физически значимых обобщений. К двум наиболее общим из них относятся: суперстатистика, введенная К. Беком и Э. Г. Д. Коэном в 2003 г. [29], и спектральная статистика, представленная Г. А. Цекоурасом и Константино Цаллисом в 2005 г. [30] Обе эти энтропийные формы имеют Цаллис и Больцман - Статистика Гиббса как частный случай; Было доказано, что спектральная статистика по крайней мере содержит суперсстатистику, и предполагалось, что она также охватывает некоторые дополнительные случаи. [ необходима цитата ]

См. Также [ править ]

  • Энтропия Реньи
  • Распределение Цаллиса

Ссылки [ править ]

  1. ^ Tsallis, С. (1988). «Возможное обобщение статистики Больцмана-Гиббса». Журнал статистической физики . 52 (1–2): 479–487. Bibcode : 1988JSP .... 52..479T . DOI : 10.1007 / BF01016429 . hdl : 10338.dmlcz / 142811 . S2CID  16385640 .
  2. ^ Havrda, J .; Чарват Ф. (1967). «Метод количественной оценки процессов классификации. Понятие структурной α-энтропии» (PDF) . Кибернетика . 3 (1): 30–35.
  3. Перейти ↑ Cho, A. (2002). «Свежий взгляд на беспорядок или беспорядочная наука?». Наука . 297 (5585): 1268–1269. DOI : 10.1126 / science.297.5585.1268 . PMID 12193769 . S2CID 5441957 .  
  4. ^ Abe, S .; Раджагопал, АК (2003). «Возвращаясь к статистике беспорядка и Цаллиса». Наука . 300 (5617): 249–251. DOI : 10.1126 / science.300.5617.249d . PMID 12690173 . S2CID 39719500 .  
  5. ^ Pressé, S .; Ghosh, K .; Lee, J .; Дилл, К. (2013). «Неаддитивные энтропии дают вероятностные распределения с ошибками, не подтвержденными данными». Phys. Rev. Lett . 111 (18): 180604. arXiv : 1312.1186 . Bibcode : 2013PhRvL.111r0604P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.180604 . PMID 24237501 . S2CID 2577710 .  
  6. ^ Tsallis, Константино (2009). Введение в неэкстенсивную статистическую механику: приближение к сложному миру (Online-Ausg. Ed.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-85358-1.
  7. Перейти ↑ Lutz, E. (2003). «Аномальная диффузия и статистика Цаллиса в оптической решетке». Physical Review . 67 (5): 051402. arXiv : cond-mat / 0210022 . Bibcode : 2003PhRvA..67e1402L . DOI : 10.1103 / PhysRevA.67.051402 . S2CID 119403353 . 
  8. ^ Дуглас, П .; Bergamini, S .; Рензони, Ф. (2006). "Настраиваемые распределения Цаллиса в диссипативных оптических решетках" (PDF) . Письма с физическим обзором . 96 (11): 110601. Bibcode : 2006PhRvL..96k0601D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.96.110601 . PMID 16605807 .  
  9. ^ Бурлага, LF; - Виньяс, AF (2005). «Треугольник для индекса энтропии q неэкстенсивной статистической механики, наблюдаемый космическим аппаратом Вояджер-1 в далекой гелиосфере». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 356 (2–4): 375. arXiv : Physics / 0507212 . Bibcode : 2005PhyA..356..375B . DOI : 10.1016 / j.physa.2005.06.065 . S2CID 18823047 . 
  10. ^ Лю, B .; Гори, Дж. (2008). "Супердиффузия и негауссовская статистика в управляемой диссипативной двумерной пылевой плазме". Письма с физическим обзором . 100 (5): 055003. arXiv : 0801.3991 . Bibcode : 2008PhRvL.100e5003L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.100.055003 . PMID 18352381 . S2CID 2022402 .  
  11. ^ Пикап, R .; Cywinski, R .; Папас, С .; Farago, B .; Фуке, П. (2009). «Обобщенная релаксация спинового стекла». Письма с физическим обзором . 102 (9): 097202. arXiv : 0902.4183 . Bibcode : 2009PhRvL.102i7202P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.097202 . PMID 19392558 . S2CID 6454082 .  
  12. ^ Дево, R. (2009). "Степенные распределения для захваченного иона, взаимодействующего с классическим буферным газом". Письма с физическим обзором . 102 (6): 063001. arXiv : 0903.0637 . Bibcode : 2009PhRvL.102f3001D . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.102.063001 . PMID 19257583 . S2CID 15945382 .  
  13. ^ Хачатрян, В .; Сирунян, А .; Тумасян, А .; Adam, W .; Bergauer, T .; Dragicevic, M .; Erö, J .; Fabjan, C .; Friedl, M .; Frühwirth, R .; Гете, ВМ; Hammer, J .; Hänsel, S .; Hoch, M .; Hörmann, N .; Hrubec, J .; Jeitler, M .; Kasieczka, G .; Kiesenhofer, W .; Krammer, M .; Liko, D .; Mikulec, I .; Pernicka, M .; Rohringer, H .; Schöfbeck, R .; Strauss, J .; Таурок, А .; Тейшингер, Ф .; Waltenberger, W .; и другие. (2010). «Распределение поперечного импульса и псевдобыстрот заряженных адронов в pp-столкновениях при √ s = 7 ТэВ». Письма с физическим обзором . 105 (2): 022002. arXiv : 1005.3299 . Bibcode : 2010PhRvL.105b2002K . doi :10.1103 / PhysRevLett.105.022002 . PMID  20867699 . S2CID  119196941 .
  14. ^ Chatrchyan, S .; Хачатрян, В .; Сирунян AM; Тумасян, А .; Adam, W .; Bergauer, T .; Dragicevic, M .; Erö, J .; Fabjan, C .; Friedl, M .; Frühwirth, R .; Гете, ВМ; Hammer, J .; Hänsel, S .; Hoch, M .; Hörmann, N .; Hrubec, J .; Jeitler, M .; Kiesenhofer, W .; Krammer, M .; Liko, D .; Mikulec, I .; Pernicka, M .; Rohringer, H .; Schöfbeck, R .; Strauss, J .; Таурок, А .; Тейшингер, Ф .; Вагнер, П .; и другие. (2011). «Спектры поперечного импульса заряженных частиц в pp-столкновениях при $ √ s = 0,9 и 7 ТэВ». Журнал физики высоких энергий . 2011 (8): 86. arXiv : 1104.3547 . Bibcode : 2011JHEP ... 08..086C . doi :10.1007 / JHEP08 (2011) 086 . S2CID  122835798 .
  15. ^ Adare, A .; Афанасьев, С .; Aidala, C .; Ajitanand, N .; Akiba, Y .; Al-Bataineh, H .; Александр, J .; Aoki, K .; Aphecetche, L .; Armendariz, R .; Аронсон, SH; Asai, J .; Atomssa, ET; Averbeck, R .; Awes, TC; Azmoun, B .; Бабинцев, В .; Bai, M .; Баксай, Г .; Баксай, Л .; Baldisseri, A .; Бариш, КН; Barnes, PD; Bassalleck, B .; Басье АТ; Купаться, S .; Batsouli, S .; Baublis, V .; Baumann, C .; и другие. (2011). «Измерение нейтральных мезонов в p + p- столкновениях при √ s = 200 ГэВ и масштабные свойства рождения адронов». Physical Review D . 83 (5): 052004. arXiv : 1005.3674 . Bibcode : 2011PhRvD..83e2004A. DOI : 10.1103 / PhysRevD.83.052004 . S2CID  85560021 .
  16. ^ Пластино, АР; Пластино, А. (1995). «Неэкстенсивная статистическая механика и обобщенное уравнение Фоккера-Планка». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 222 (1–4): 347–354. Bibcode : 1995PhyA..222..347P . DOI : 10.1016 / 0378-4371 (95) 00211-1 .
  17. ^ Цаллис, C .; Букман Д. (1996). «Аномальная диффузия при наличии внешних сил: точные решения, зависящие от времени, и их термостатистическая основа». Physical Review E . 54 (3): R2197 – R2200. arXiv : cond-mat / 9511007 . Bibcode : 1996PhRvE..54.2197T . DOI : 10.1103 / PhysRevE.54.R2197 . PMID 9965440 . S2CID 16272548 .  
  18. Перейти ↑ Abe, S. (2000). «Аксиомы и теорема единственности для энтропии Цаллиса». Физика Буквы A . 271 (1-2): 74–79. arXiv : cond-mat / 0005538 . Bibcode : 2000PhLA..271 ... 74А . DOI : 10.1016 / S0375-9601 (00) 00337-6 . S2CID 119513564 . 
  19. ^ Лира, М .; Цаллис, К. (1998). «Неэкстенсивность и мультифрактальность в низкоразмерных диссипативных системах». Письма с физическим обзором . 80 (1): 53–56. arXiv : cond-mat / 9709226 . Bibcode : 1998PhRvL..80 ... 53L . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.80.53 . S2CID 15039078 . 
  20. ^ Балдовин, Ф .; Робледо, А. (2004). «Неэкстенсивная идентичность Песина: точные результаты анализа ренормгруппы для динамики на краю хаоса логистической карты». Physical Review E . 69 (4): 045202. arXiv : cond-mat / 0304410 . Bibcode : 2004PhRvE..69d5202B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.69.045202 . PMID 15169059 . S2CID 30277614 .  
  21. ^ Цаллис, C .; Гелл-Манн, М .; Сато, Ю. (2005). «Асимптотически масштабно-инвариантное заполнение фазового пространства делает энтропию Sq обширной» . Труды Национальной академии наук . 102 (43): 15377–82. arXiv : cond-mat / 0502274 . Bibcode : 2005PNAS..10215377T . DOI : 10.1073 / pnas.0503807102 . PMC 1266086 . PMID 16230624 .  
  22. ^ Карузо, Ф .; Цаллис, К. (2008). «Неаддитивная энтропия согласовывает закон площадей в квантовых системах с классической термодинамикой». Physical Review E . 78 (2): 021102. arXiv : cond-mat / 0612032 . Bibcode : 2008PhRvE..78b1102C . DOI : 10.1103 / PhysRevE.78.021102 . PMID 18850781 . S2CID 18006627 .  
  23. ^ Андраде, Дж .; Da Silva, G .; Морейра, А .; Nobre, F .; Курадо, Э. (2010). «Термостатистика сверхзатухающего движения взаимодействующих частиц». Письма с физическим обзором . 105 (26): 260601. arXiv : 1008.1421 . Bibcode : 2010PhRvL.105z0601A . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.105.260601 . PMID 21231636 . S2CID 14831948 .  
  24. ^ Рибейро, М .; Nobre, F .; Курадо, Э.М. (2012). «Временная эволюция взаимодействующих вихрей при сверхзатухающем движении» (PDF) . Physical Review E . 85 (2): 021146. Bibcode : 2012PhRvE..85b1146R . DOI : 10.1103 / PhysRevE.85.021146 . PMID 22463191 .  
  25. ^ Nobre, F .; Rego-Monteiro, M .; Цаллис, К. (2011). «Нелинейные релятивистские и квантовые уравнения с общим типом решения». Письма с физическим обзором . 106 (14): 140601. arXiv : 1104.5461 . Bibcode : 2011PhRvL.106n0601N . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.106.140601 . PMID 21561176 . S2CID 12679518 .  
  26. ^ Majhi, Абхишек (2017). «Неэкстенсивная статистическая механика и энтропия черной дыры из квантовой геометрии». Физика Письма Б . 775 : 32–36. arXiv : 1703.09355 . Bibcode : 2017PhLB..775 ... 32M . DOI : 10.1016 / j.physletb.2017.10.043 . S2CID 119397503 . 
  27. ^ Nielsen, F .; Нок Р. (2012). "Выражение в замкнутой форме для энтропии Шармы – Миттала экспоненциальных семейств". Журнал физики A: математический и теоретический . 45 (3): 032003. arXiv : 1112.4221 . Bibcode : 2012JPhA ... 45c2003N . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 45/3/032003 . S2CID 8653096 . 
  28. ^ García-Morales, V .; Кришер, К. (2011). «Суперстатистика в наноразмерных электрохимических системах» . Труды Национальной академии наук . 108 (49): 19535–19539. Bibcode : 2011PNAS..10819535G . DOI : 10.1073 / pnas.1109844108 . PMC 3241754 . PMID 22106266 .  
  29. ^ Бек, C .; Коэн, EGD (2003). «Суперстатистика». Physica A: Статистическая механика и ее приложения . 322 : 267–275. arXiv : cond-mat / 0205097 . Bibcode : 2003PhyA..322..267B . DOI : 10.1016 / S0378-4371 (03) 00019-0 .
  30. ^ Цекоурас, Джорджия; Цаллис, К. (2005). «Обобщенная энтропия, возникающая из распределения q индексов». Physical Review E . 71 (4): 046144. arXiv : cond-mat / 0412329 . Bibcode : 2005PhRvE..71d6144T . DOI : 10.1103 / PhysRevE.71.046144 . PMID 15903763 . S2CID 16663654 .  

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Фуруичи, Сигэру; Митрой-Симеонидис, Флавия-Корина; Симеонид, Элевферий (2014). «О некоторых свойствах гипоэнтропий и гиподивергенций Цаллиса» . Энтропия . 16 (10): 5377–5399. DOI : 10.3390 / e16105377 .
  • Фуруичи, Сигэру; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Математические неравенства при некоторых расхождениях». Physica . 391 (1–2): 388–400. arXiv : 1104,5603 . DOI : 10.1016 / j.physa.2011.07.052 . S2CID  92394 .
  • Фуруичи, Сигэру; Минкулет, Никушор; Митрой, Флавия-Корина (2012). «Некоторые неравенства об обобщенных энтропиях» . Журнал неравенств и приложений . 2012 : 226. DOI : 10,1186 / 1029-242X-2012-226 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Статистика Цаллиса, статистическая механика для неэкстенсивных систем и дальнодействующих взаимодействий