Цирельсон связанный верхний предел для квантово - механических корреляций между удаленными событиями. Учитывая, что квантовая механика нелокальна (т. Е. Что квантово-механические корреляции нарушают неравенства Белла ), возникает естественный вопрос: «Насколько нелокальной может быть квантовая механика?» Или, точнее, насколько может быть неравенство Белла быть нарушенным. Ответ - это как раз оценка Цирельсона для конкретного рассматриваемого неравенства Белла. В общем, эта граница ниже, чем то, что было бы возможно без передачи сигналов со скоростью, превышающей скорость света, и большое количество исследований было посвящено вопросу, почему это так.
Границы Цирельсона названы в честь Бориса С. Цирельсона (или Цирельсона в другой транслитерации ), автора статьи [1], в которой была получена первая из них.
Граница для неравенства ЧШ
Первая граница Цирельсона была получена как верхняя граница корреляций, измеренных в неравенстве CHSH . В нем говорится, что если у нас есть четыре ( эрмитовых ) дихотомических наблюдаемых, , , (т.е. две наблюдаемые для Алисы и две для Боба ) с результатами такой, что для всех , тогда
Для сравнения, в классическом (или локальном реалистическом случае) верхняя граница равна 2, тогда как при любом произвольном присвоении разрешено, это равно 4. Граница Цирельсона достигается уже, если Алиса и Боб проводят измерения на кубите , простейшей нетривиальной квантовой системе.
Существует несколько доказательств этой границы, но, пожалуй, наиболее поучительное из них основано на тождестве Хальфина – Цирельсона – Ландау. Если мы определим наблюдаемую
а также , т. е. если наблюдаемые связаны с результатами проективных измерений, то
Если или же , который можно рассматривать как классический случай, уже следует, что . В квантовом случае достаточно заметить, что, и оценка Цирельсона следует.
Другие неравенства Белла
Цирельсон также показал, что для любого двудольного неравенства Белла с полной корреляцией с m входами для Алисы и n входами для Боба отношение между границей Цирельсона и локальной границей не превышает где а также - постоянная Гротендика порядка d . [2] Обратите внимание, что, поскольку, из этой оценки следует полученный выше результат о неравенстве CHSH.
В общем, получение оценки Цирельсона для данного неравенства Белла - сложная задача, которую необходимо решать в каждом конкретном случае. Это даже не известно, что оно разрешимо. Самый известный вычислительный метод для определения верхнего предела - это конвергентная иерархия полуопределенных программ , иерархия NPA, которая, как правило, не останавливается. [3] [4] Точные значения известны еще для нескольких неравенств Белла:
Для неравенств Браунштейна – Кейвса имеем
Для неравенств WWŻB оценка Цирельсона имеет вид
Для неравенства оценка Цирельсона точно не известна, но конкретные реализации дают нижнюю оценку 0,250 875 38 , а иерархия NPA дает верхнюю границу0,250 875 39 . Предполагается, что только бесконечномерные квантовые состояния могут достичь границы Цирельсона. [5] [6]
Вывод из физических принципов
Значительные исследования были посвящены поиску физического принципа, объясняющего, почему квантовые корреляции доходят только до границы Цирельсона и не более того. Было обнаружено три таких принципа: отсутствие преимуществ для нелокальных вычислений [7], информационная причинность [8] и макроскопическая локальность. [9] Другими словами, если бы можно было достичь корреляции CHSH, превышающей предел Цирельсона, все эти принципы были бы нарушены. Оценка Цирельсона также следует, если эксперимент Белла допускает строго положительную квантовую меру. [10]
Проблема Цирельсона
Есть два разных способа определения границы Цирельсона для выражения Белла. Один требует, чтобы измерения выполнялись в структуре тензорного произведения, а другой требует только коммутации. Проблема Цирельсона заключается в том, эквивалентны ли эти два определения. Более формально, пусть
быть выражением Белла, где вероятность получения результатов с настройками . Граница Цирельсона тензорного произведения тогда является супремумом значения, полученного в этом выражении Белла путем проведения измерений а также на квантовом состоянии :
Переходная граница Цирельсона - это верхняя грань значения, полученного в этом выражении Белла путем проведения измерений а также такой, что на квантовом состоянии :
Поскольку алгебры тензорных произведений, в частности, коммутируют, . В конечных размерностях коммутирующие алгебры всегда изоморфны (прямым суммам) алгебр тензорного произведения, поэтому только для бесконечных размерностей возможно, что. Проблема Цирельсона заключается в том, для всех ли выражений Белла.
Впервые этот вопрос был рассмотрен Борисом Цирельсоном в 1993 году, где он без доказательств утверждал, что. [11] Когда в 2006 году Антонио Ачин попросил предоставить доказательство, он понял, что то, что он имел в виду, не работает, [12] и выдал вопрос как нерешенную проблему. [13] Вместе с Мигелем Наваскуэсом и Стефано Пиронио Антонио Ацин разработал иерархию полуопределенных программ, иерархию NPA, которая сходилась к коммутирующей границе Цирельсона.сверху, [4] и хотел знать, сходится ли оно также к тензорному произведению оценки Цирельсона, наиболее физически значимый.
Поскольку можно произвести сходящуюся последовательность приближений к снизу, рассматривая конечномерные состояния и наблюдаемые, если , то эта процедура может быть объединена с иерархией NPA для создания алгоритма остановки для вычисления границы Цирельсона, что делает его вычислимым числом (обратите внимание, что по отдельности ни одна процедура не останавливается в целом). Наоборот, если не вычислимо, то . В январе 2020 года Джи, Натараджан, Видик, Райт и Юэн заявили, что доказали, чтоне вычислимо, что решает проблему Цирельсона. [14]
Было показано, что проблема Цирельсона эквивалентна проблеме вложения Конна . [15]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Цирельсон, BS (1980). «Квантовые обобщения неравенства Белла» . Письма по математической физике . 4 (2): 93–100. Bibcode : 1980LMaPh ... 4 ... 93C . DOI : 10.1007 / bf00417500 . ISSN 0377-9017 .
- ^ Борис Цирельсон (1987). «Квантовые аналоги неравенств Белла. Случай двух пространственно разделенных областей» (PDF) . Журнал советской математики . 36 (4): 557–570.
- ^ Наваскес, Мигель; Пиронио, Стефано; Ацин, Антонио (2007-01-04). «Ограничение набора квантовых корреляций». Письма с физическим обзором . 98 (1): 010401. Arxiv : колич-фот / 0607119 . Bibcode : 2007PhRvL..98a0401N . DOI : 10.1103 / physrevlett.98.010401 . ISSN 0031-9007 . PMID 17358458 .
- ^ а б М. Наваскес; С. Пиронио; А. Асин (2008). «Конвергентная иерархия полуопределенных программ, характеризующая множество квантовых корреляций». Новый журнал физики . 10 (7): 073013. arXiv : 0803.4290 . Bibcode : 2008NJPh ... 10g3013N . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 10/7/073013 .
- ^ Коллинз, Дэниел; Гисин, Николас (01.06.2003). «Соответствующее неравенство двух кубитов Белла, не эквивалентное неравенству CHSH». Журнал физики A: математический и общий . 37 (5): 1775–1787. arXiv : квант-ph / 0306129 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 37/5/021 .
- ^ К.Ф. Пал; Т. Вертези (2010). «Максимальное нарушение неравенства I3322 с использованием бесконечномерных квантовых систем». Physical Review . 82 : 022116. arXiv : 1006.3032 . DOI : 10.1103 / PhysRevA.82.022116 .
- ^ Линден, Ной; Попеску, Санду; Коротко, Энтони Дж .; Зима, Андреас (30.10.2007). «Квантовая нелокальность и не только: пределы нелокальных вычислений». Письма с физическим обзором . 99 (18): 180502. Arxiv : колич-фот / 0610097 . Bibcode : 2007PhRvL..99r0502L . DOI : 10.1103 / physrevlett.99.180502 . ISSN 0031-9007 . PMID 17995388 .
- ^ Павловский, Марцин; Патерек, Томаш; Кашликовский, Дагомир; Скарани, Валерио; Зима, Андреас ; Луковский, Марек (2009). «Информационная причинность как физический принцип». Природа . 461 (7267): 1101–1104. arXiv : 0905.2292 . Bibcode : 2009Natur.461.1101P . DOI : 10,1038 / природа08400 . ISSN 0028-0836 . PMID 19847260 .
- ^ Наваскес, Мигель; Вундерлих, Харальд (11 ноября 2009 г.). «Взгляд за пределы квантовой модели» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 466 (2115): 881–890. DOI : 10.1098 / rspa.2009.0453 . ISSN 1364-5021 .
- ^ Крейг, Дэвид; Даукер, Фэй ; Хенсон, Джо; Майор, Сет; Rideout, Дэвид; Соркин, Рафаэль Д. (2007). «Аналог неравенства Белла в квантовой теории меры». Журнал физики A: математический и теоретический . 40 (3): 501–523. arXiv : квант-ph / 0605008 . Bibcode : 2007JPhA ... 40..501C . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 40/3/010 . ISSN 1751-8113 .
- ^ Цирельсон, Б.С. (1993). «Некоторые результаты и проблемы о квантовых неравенствах типа Белла» (PDF) . Приложение к адронному журналу . 8 : 329–345.
- ^ Цирельсон, Б. "Неравенства Белла и операторные алгебры" . Проверено 20 января 2020 года .
- ^ Цирельсон, Б. "Неравенства Белла и операторные алгебры" (PDF) . Проверено 20 января 2020 года .
- ^ Z. Ji; А. Натараджан; Т. Видик; Дж. Райт; Х. Юэнь (2020). «MIP * = RE». arXiv : 2001.04383 [ квант-ф ].
- ^ М. Юнге; М. Наваскес; К. Палазуэлос; Д. Перес-Гарсия; В. Б. Шольц; РФ Вернер (2011). «Проблема вложения Конна и проблема Цирельсона». Журнал математической физики . 52 (1): 012102. arXiv : 1008.1142 . Bibcode : 2011JMP .... 52a2102J . DOI : 10.1063 / 1.3514538 .